Bài Giảng đại Số Tuyến Tính Chương 5 (không Gian Euclide) Lê Xuân đại

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (73 trang)

Trang chủ

Khoa Học Tự Nhiên

Toán học

Bài giảng đại số tuyến tính chương 5 (không gian euclide) lê xuân đại

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (630.34 KB, 73 trang )

KHÔNG GIAN EUCLIDETS. Lê Xuân ĐạiTrường Đại học Bách Khoa TP HCMKhoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụngTP. HCM — 2011.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.1 / 56Không gian EuclideĐịnh nghĩaCho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gianEuclide (thực) nếu< ·, · >: E × E → R(x, y ) −→< x, y > − gọi là tích vôhướng của 2 véctơ.Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề< x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E< x + y , z >=< x, z > + < y , z >,∀x, y , z ∈ E< αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R.< x, x >> 0, x = 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 01234TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.2 / 56Không gian EuclideVí dụVí dụR−kgv Rn là không gian Euclide nếu đã cho tíchvô hướng< ·, · >: Rn × Rn → Rn(x, y ) −→< x, y >=xi yii=1với x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ).TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.3 / 56Không gian EuclideVí dụVí dụKhông gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trênđoạn [a, b] là không gian Euclide nếu đã cho tíchvô hướng< ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → Rb(f , g ) −→< f , g >=f (x)g (x)dxaTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.4 / 56Không gian EuclideVí dụChứng minh.b< f , g >=bf (x)g (x)dx =a< g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b]g (x)f (x)dx =ab< f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx =abbf (x)h(x)dx +ag (x)h(x)dx =a< f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b]TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.5 / 56Không gian EuclideVí dụb< αf , g >= (αf (x))g (x)dx =abαf (x)g (x)dx = α < f , g >,a∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R.b< f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = 0 vàab< f , f >= (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0aTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.6 / 56Không gian EuclideVí dụVí dụTrong R2 cho quy tắc∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2< x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2.Tìm m để < x, y > là tích vô hướng.< x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 +y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.7 / 56Không gian EuclideVí dụ< x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 +(x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 +x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) =< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2< αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 +m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) =α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R.< x, x >= x12 + x1x2 + x2x1 + mx22 =(x1 + x2)2 + (m − 1)x22 > 0, (x = 0) ⇒ m > 1.< x, x >= 0 ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 = 0 ⇔x1 = x2 = 0 hay x = 0 thì m = 1. Vậy m > 1.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.8 / 56Không gian EuclideVí dụVí dụTrong không gian P2(x) cho tích vô hướng1< p, q >=p(x)q(x)dx,0∀p(x) = a1x 2 + b1x + c1, q(x) = a2x 2 + b2x + c2.Tính tích vô hướng củap(x) = x 2 − 4x + 5, q(x) = x + 1TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.9 / 56Ví dụKhông gian EuclideTích vô hướng của p(x) và q(x) là1< p, q >=p(x)q(x)dx =01(x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx ==0TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDE194TP. HCM — 2011.10 / 56Không gian EuclideĐộ dài véctơ (chuẩn của véctơ)Định nghĩaCho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, tagọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là√||x|| = < x, x >TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.11 / 56Không gian EuclideĐộ dài véctơ (chuẩn của véctơ)Định nghĩaCho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, tagọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là√||x|| = < x, x >Ví dụTrong R2 cho tích vô hướng< x, y >= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìmđộ dài của véctơ u.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.11 / 56Không gian EuclideVí dụĐộ dài của véctơ u là ||u|| =√< u, u >.< u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11√⇒ ||u|| = 11TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.12 / 56Không gian EuclideVí dụVí dụTrong P2(x) cho tích vô hướng1p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và< p, q >=0f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)||TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.13 / 56Ví dụKhông gian EuclideVí dụTrong P2(x) cho tích vô hướng1p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và< p, q >=0f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)||√Ta có ||f (x)|| = < f , f > trong đó112f (x)dx = (x + 2)2dx =< f , f >=0đó ||f (x)|| =TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)019. Do3193KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.13 / 56Không gian EuclideKhoảng cách giữa hai véctơĐịnh nghĩaTrong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệud (u, v ). Vậy d (u, v ) = ||u − v ||.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.14 / 56Không gian EuclideKhoảng cách giữa hai véctơĐịnh nghĩaTrong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệud (u, v ). Vậy d (u, v ) = ||u − v ||.Ví dụTrong R2 cho tích vô hướng< x, y >= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1),v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.14 / 56Không gian EuclideVí dụKhoảng cách giữa 2 véctơ u, v là√d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v >. Ta cóu − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >== 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58.√√Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.15 / 56Không gian EuclideVí dụVí dụTrong P2(x) cho tích vô hướng1p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và< p, q >=0f (x) = x + 1, g (x) = 2x + m. Tìm m để khoảngcách giữa f (x), g (x) bằng 31TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.16 / 56Không gian EuclideTa có d (f , g ) =√Ví dụ< f − g , f − g > trong đó1< f − g , f − g >= (f (x) − g (x))2dx =010(−x + 1 − m)2dx = m2 − m + 31 . Để d (f , g ) =thìm2 − m + 31 =TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)1313⇔ m = 13 ∨ m = 32 .KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.17 / 56Không gian EuclideGóc giữa 2 véctơĐịnh lý(Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trongkhông gian Euclide E , ta có| < x, y > |||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E .Dấu = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyếntính.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.18 / 56Không gian EuclideGóc giữa 2 véctơĐịnh lý(Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trongkhông gian Euclide E , ta có| < x, y > |||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E .Dấu = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyếntính.Chứng minh. ∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có< x − λy , x − λy >TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDE0TP. HCM — 2011.18 / 56Không gian EuclideGóc giữa 2 véctơ⇔< x, x > −2λ < x, y > +λ2 < y , y >⇔ ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||20.0.Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên∆ = (< x, y >)2 − ||x||2.||y ||2 0⇔ (< x, y >)2⇔ | < x, y > |TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)||x||2.||y ||2||x||.||y ||KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.19 / 56Không gian EuclideGóc giữa 2 véctơNếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆ = 0 khi đó||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2.Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộctuyến tính.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)KHÔNG GIAN EUCLIDETP. HCM — 2011.20 / 56Không gian EuclideGóc giữa 2 véctơĐịnh nghĩaTa gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là gócθ(0 θ π) sao cho< x, y >cos θ =||x||.||y ||Hệ quảNếu x, y ∈ E , E là không gian Euclide thì|||x|| − ||y |||TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)||x + y ||KHÔNG GIAN EUCLIDE||x|| + ||y ||TP. HCM — 2011.21 / 56

Tài liệu liên quan

Tài liệu Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính ppt
- 66
- 1
- 17
Bài giảng Kiến trúc máy tính-Chương 5 ppt
- 23
- 1
- 3
bài giảng cơ sở dữ liệu chương 5: ngôn ngữ truy vấn có cấu trúc - ths. nguyễn thị khiêm hòa
- 28
- 631
- 0
BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 3 ppsx
- 39
- 5
- 3
Bài giảng kiến trúc máy tính chương 5 phan trung kiên
- 97
- 819
- 0
Bài giảng kiến trúc dân dụng chương IV không gian kiến trúc
- 55
- 346
- 2
Bài giảng kiến trúc máy tính chương 5 hệ thống bộ nhớ
- 76
- 403
- 1
Bài giảng cơ sở dữ liệu chương 5 SQL (structured query language)
- 24
- 235
- 0
Bài giảng cơ sở dữ liệu chương 5 ths lê ngọc lãm
- 58
- 274
- 0
Bài giảng cơ sở dữ liệu chương 5 ths lương thị ngọc khánh
- 62
- 313
- 0