Không Gian Vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces) | Toán Cho Vật Lý

Có thể bạn quan tâm

7. Định nghĩa 5: (hệ vec-tơ trực giao)

Cho E là không gian vec-tơ Euclide.

1. Hai vec-tơ $x,y \in E$ được gọi là trực giao, $x \perp y$ nếu $\langle{x,y}\rangle = 0$

2. Hệ vec-tơ $x_1, x_2, ... , x_m \in E$ được gọi là một hệ trực giao nếu chúng đôi môt trực giao với nhau, nghĩa là: $x_i \perp x_j ; \forall i \ne j$ hay $\langle{x_i,x_j}\rangle = 0$

Một cơ sở mà là hệ trực giao được gọi là cơ sở trực giao.

3.Hệ vec-tơ $x_1,x_2,..., x_m \in E$ được gọi là hệ trực chuẩn nếu chúng là một hệ trực giao và độ dài của mỗi vec-tơ đều bằng 1. Nghĩa là:

$\left\{\begin{array}{l} x_i \perp x_j ; \forall i \ne j \in \{1,2,...,m\} \\ ||x_i|| = 1 ; \forall i = \overline{1,m} \\ \end{array} \right.$

4. Vec-tơ $x \in E$ gọi là trực giao với tập $A \subset E$ nếu x trực giao với mọi vec-tơ của A. Ký hiệu: $x \perp A$

Ví dụ 7.1: Trong không gian vec-tơ Euclide $C[0;\pi]$ với tích vô hướng tích phân, hệ vec-tơ $f_k(x) = coskx ; k = \overline{0;n}$ là một hệ trực giao.

Thật vậy: $\langle{f_k(x);f_l(x)}\rangle = \int\limits_0^{\pi} cos(kx).cos(lx) \, dx = 0 ; \forall k \ne l$

Ví dụ 7.2: Trong không gian vec-tơ Euclide ${R^3}$ ta có 1 cơ sở trực giao là: $(1,0,1) ; \left(\dfrac{1}{2},2,-\dfrac{1}{2}\right) ; \left(\dfrac{2}{9}, -\dfrac{1}{9}, - \dfrac{2}{9}\right)$

Ví dụ 7.3: Trong không gian Euclide $P_2[0;1]$ – các đa thức P(x) có $degP(x) \le 2$ (bậc bé hơn hoặc bằng 2) với tích vô hướng tích phân trên đoạn [0;1] ta có 1 cơ sở trực giao của $P_2[0;1]$ là:

$P_1(x) = 1 ; P_2(x) = x - \dfrac{1}{2} ; P_3(x) = x^2 - x + \dfrac{1}{6}$

8. Định lý:

Mọi hệ trực giao không chứa vec-tơ không đều độc lập tuyến tính.

Chứng minh:

Giả sử $x_1, x_2, ... , x_n (\ne 0_E)$ là 1 hệ vec-tơ trực giao của không gian Euclide E.

Xét: ${\alpha}_1x_1+{\alpha}_2x_2 + ... + {\alpha}_nx_n = 0_E$

Nhân vô hướng hai vế với $x_i ; i = \overline{1,n}$ ta có:

$\langle{{\alpha}_1x_1+{\alpha}_2x_2+...+{\alpha}_nx_n,x_i}\rangle = \langle{0_E,x_i}\rangle = 0$ (*)

Mà: $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ là hệ trực giao nên: $\langle{x_j,x_i}\rangle = 0; \forall j \ne i$

Do đó: từ (*) ta có: ${\alpha}_i\langle{x_i,x_i}\rangle = 0 ; \forall i = \overline{1,n}$

Hơn nữa: do $x_i \ne 0$ nên $\langle{x_i,x_i}\rangle \ne 0$

Suy ra: ${\alpha}_i = 0 ; \forall i = \overline{1,n}$

Nghĩa là: hệ vec-tơ $x_1, x_2, ..., x_n$ độc lập tuyến tính ♦

9. Định lý: (Trực giao hóa Gram – Schmid)

Cho hệ vec-tơ độc lập tuyến tính $x_1, x_2, ..., x_m ( m \ge 2)$ trong không gian vec-tơ Euclide E. Khi đó trong E tồn tại hệ vec-tơ độc lập tuyến tính $y_1, y_2, ..., y_m$ thỏa mãn:

1. Hệ $x_1, x_2, ..., x_m$ biểu thị tuyến tính qua hệ $y_1, y_2, ... y_m$

2. Hệ $y_1, y_2, ..., y_m$ biểu thị tuyến tính qua $x_1, x_2, ..., x_m$

3. $y_1, y_2, ..., y_m$ là hệ trực giao.

Chứng minh:

1. Xây dựng hệ vec-tơ $y_1, y_2, ... , y_m$ :

Ta chọn $y_1 = x_1$ , hiển nhiên $y_1 \ne 0$

Chọn $y_2 = x_2 + ty_1 , t \in R$ . Khi đó:

– $y_2 \ne 0$ (nếu không $x_2, y_1$ hay $x_1, x_2$ phụ thuộc tuyến tính).

– Ta chọn $t \in R$ sao cho: $y_2 \perp y_1$ .

Ta có: $y_2 \perp y_1 \Leftrightarrow \langle{y_2,y_1}\rangle = 0 \Leftrightarrow \langle{x_2,y_1}\rangle + t. \langle{y_1,y_1}\rangle = 0$

Vậy: $t = - \dfrac{\langle{x_2,y_1}\rangle}{\langle{y_1,y_1}\rangle}$

Chọn $y_3 = x_3 + t_{31}y_1+t_{32}y_2$ . Khi đó:

$y_3 \perp y_i, i = 1, 2 \Leftrightarrow \langle{y_3,y_i}\rangle = 0 \Leftrightarrow t_{3i} = - \dfrac{\langle{x_3,y_i}\rangle}{\langle{y_i,y_i}\rangle}, (i = 1, 2)$

Ngoài ra, $y_3 \ne 0$ (vì nếu không $x_1,x_2,x_3$ phụ thuộc tuyến tính)

Tương tự, ta xây dựng vec-tơ $y_{k}$ như sau:

$y_{k} = x_{k} + t_1y_1+t_2y_2 + t_3y_3 + ... + t_{k-1}y_{k-1}$

Khi đó: để hệ $y_1,y_2,..., y_k$ trực giao thì: $\langle{y_k,y_i}\rangle = 0 , \forall i =\overline{1;k-1}$

$\Leftrightarrow \langle{x_k,y_i}\rangle + t_i\langle{y_i,y_i}\rangle = 0 ; \forall i = \overline{1;k-1}$

Vậy: $t_i =\dfrac{\langle{x_k,y_i}\rangle}{\langle{y_i,y_i}\rangle} \forall i = \overline{1;k-1}$

Ngoài ra, $y_k \ne 0$

Vậy ta đã xây dựng hệ vec-tơ $y_1, y_2, ..., y_m$ thỏa mãn (3).

Với hệ vec-tơ $y_1,y_2, ..., y_m$ xây dựng như trên, ta dễ dàng kiểm tra được hệ thỏa mãn (1),(3). Hơn nữa, từ định lý 8, rõ ràng hệ $y_1,y_2,...,y_m$ là hệ độc lập tuyến tính.