Không Gian Vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
Có thể bạn quan tâm
Shortlink: http://wp.me/P8gtr-14w
Chúng ta đã biết: một vec-tơ trong không gian 3 chiều là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều, độ lớn. Từ hình học giải tích ta xây dựng khái niệm độ lớn của 1 vec-tơ thông qua khái niệm tích vô hướng. Từ đó, ta cũng tìm được góc hợp bởi 2 vec-tơ thông qua khái niệm tích vô hướng. Do vậy, ta sẽ trang bị cho không gian vec-tơ tổng quát 1 tích vô hướng thích hợp để có thể xây dựng các khái niệm về độ dài của 1 vec-tơ, góc giữa 2 vec-tơ… 1 cách tương ứng.
1. Định nghĩa 1: (Khái niệm tích vô hướng)
Cho V là 1 không gian vec-tơ trên trường số thực R.
Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ:
thỏa mãn các tính chất sau đây:
1.
2.
3.
4.
Lưu ý: một số giáo trình xây dựng tích vô hướng của không gian vec-tơ trên trường số phức C (đây là tích vô hướng tổng quát)
Ví dụ 1: cho không gian vec-tơ ,
Ta định nghĩa: . thì đây là 1 tích vô hướng trên và được gọi là tích vô hướng chính tắc.
Ví dụ 2: Cho – không gianvec-tơ các hàm số thực liên tục trên a,b. Với mọi ta định nghĩa tích vô hướng (được gọi là tích vô hướng tích phân) như sau:
2. Định nghĩa 2: (không gian vec-tơ Euclide)
Không gian vec-tơ V trên trường số thực R được trang bị trên nó 1 tích vô hướng trên R được gọi là không gian vec-tơ Euclide. Ký hiệu
Lưu ý: một số giáo trình định nghĩa không gian vec-tơ Euclide là không gian vec-tơ trên trường số phức C được trang bị 1 tích vô hướng trên C. Tuy nhiên, rất nhiều giáo trình Toán định nghĩa đó là không gian Unita chứ không phải là không gian Euclide.
3. Định nghĩa 3: (Độ dài của 1 vec-tơ)
Cho E là không gian vec-tơ Euclide.
Với mỗi vec-tơ , ta định nghĩa độ dài của vec-tơ x, ký hiệu , là một số thực không âm xác định bởi:
Nhận xét:
1.
2. Trong không gian vec-tơ Euclide với tích vô hướng chính tắc. Ta có:
3. Trong không gian Euclide với tích vô hướng tích phân. Khi đó:
Ví dụ: Với ta có:
4. Định lý Cauchy – Schwarz:
Cho không gian vec-tơ Euclide E. Khi đó:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh:
Ta có:
Mặt khác:
(*) là tam thức bậc hai theo biến t khi
– Trường hợp 1: . Khi đó:
Thế vào bất đẳng thức (1) ta có:
nên bất đẳng thức (1) đúng; đồng thời: x,y là 2 vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.
– Trường hợp 2: . Khi đó:
(*) là tam thức bậc hai luôn dương với mọi t. Do đó:
Hay:
Do đó:
Suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Nghĩa là: (*) có nghiệm kép . Hay
Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
(**) chứng tỏ x, y là hai vec-tơ phụ thuộc tuyến tính.♦
Hệ quả:
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho không gian vec-tơ Euclide với tích vô hướng chính tắc ta có:
(Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) quen thuộc)
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho không gian C[a;b] với tích vô hướng tích phân ta có bất đẳng thức tích phân sau:
5. Bất đẳng thức tam giác:
Cho E là không gian vec-tơ Euclide. Khi đó:
Chứng minh:
– ?
Ta có: (theo bdt Cauchy – Schwarz)
Từ đó:
Suy ra:
– ?
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Suy ra: ♦
6. Định nghĩa 4: (góc giữa hai vec-tơ)
Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại 1 góc sao cho:
Vì vậy, từ đây, ta có thể định nghĩa góc hợp bởi 2 vec-tơ trong không gian vec-tơ Euclide như sau:
Cho E là không gian vec-tơ Euclide. Ta gọi góc giữa 2 vec-tơ khác không là số thực xác định bởi:
Nhận xét: rõ ràng khai niệm góc giữa 2 vec-tơ được xây dựng như trên, hoàn toàn tương ứng với khái niệm góc giữa 2 vec-tơ trong mặt phẳng và trong không gian 3 chiều của hình học giải tích.
Ví dụ 6.1: Trong không gian vec-tơ Euclide với chuẩn tích phân. Khi đó, góc giữa 2 vec-tơ được xác định như sau:
Mà:
(xem ví dụ ở phần 3)
Vậy:
Ví dụ 6.2: Trong không gian vec-tơ Euclide với tích vô hướng chính tắc. Cho
Khi đó:
Suy ra:
Trong trường hợp này ta nói 2 vec-tơ x, y trực giao nhau ( )
Đánh giá:
Chia sẻ:
- In
Trang: 1 2
Thảo luận
21 bình luận về “Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)”
Bình luận về bài viết này Hủy trả lời
Từ khóa » Tích Vô Hướng Euclid
-
Tích Vô Hướng – Wikipedia Tiếng Việt
-
[C5] Tích Vô Hướng Không Gian Euclide || Đại Số Tuyến Tính
-
Đại Số Tuyến Tính -B17: Không Gian Euclide - YouTube
-
Bài Giảng Số 2: Không Gian Vecto Euclide Và Các Dạng Bài Tập
-
[PDF] Không Gian Vec-tơ Với Tích Vô Hướng
-
đại Số Tuyến Tính 2 ( Không Gian Eculid ) - SlideShare
-
Đại Số Cơ Bản - Bài 18: Không Gian Vectơ Euclide - Đề Thi Mẫu
-
Bài Giảng đại Số Tuyến Tính Chương 5 (không Gian Euclide) Lê Xuân đại
-
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Chương Không Gian Euclide - Quê Hương
-
Không Gian Vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces) | Toán Cho Vật Lý
-
Đại Số Tuyến Tính - Chương 5: Không Gian Euclid - Tài Liệu, Ebook
-
Chương 4: Không Gian Euclid | CTCT - Chúng Ta Cùng Tiến
-
Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính (ĐH Bách Khoa Tp.HCM) - Chương 5 ...
-
Chương 7 Không Gian Euclid - Tài Liệu, Ebook, Giáo Trình, Hướng Dẫn
Thầy có thể giúp em giải bài này được không ạ: Trong không gian R3 cho tập W={x={x1,x2,x3} : x1=x3} Chứng minh rằng W là một không gian con của R3. Em cảm ơn Thầy.
ThíchThích
Posted by kim cận | 26/11/2014, 15:32 Reply to this commentCho B= {u ,v ,w } là một cơ sở của không gian véctơ V và tập S={2u+ v- w, 2u+ v-2w, u+ v-2w } 1. Chứng minh rằng S cũng là một cơ sở của V. 2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang B. 3. Biết tọa độ của véctơ z ∈V theo cơ sở B là (x )B= (3;-4;2) , tìm tọa độ của véctơ này theo co so S giúp e bài này
ThíchThích
Posted by kim khôi | 25/11/2014, 22:56 Reply to this comment