Bài Tập Đạo Hàm - Toán Lớp 11

Trang chủ » đạo Hàm U/v Bài Tập » Bài Tập Đạo Hàm - Toán Lớp 11

Có thể bạn quan tâm

Bài tập Đạo hàm Viết phương trình tiếp tuyến Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 11 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Bài tập Toán lớp 11: Đạo hàm

  • A. Đạo Hàm
    • 1. Đạo hàm là gì?
    • 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
    • 3. Quy Tắc Đạo Hàm
    • 4. Công thức Đạo hàm
    • 5. Công thức tính gần đúng đạo hàm
    • 6. Phương trình tiếp tuyến
  • 2. Bài tập Đạo hàm lớp 11

Đạo hàm là một trong những khái niệm cốt lõi trong Giải tích và có vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình Toán học THPT cũng như trong các kỳ thi tốt nghiệp, đại học. Trong đó, việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số dựa trên kiến thức đạo hàm là một dạng bài tập phổ biến và thường xuyên xuất hiện. Ở bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng bài tập đạo hàm, đặc biệt là cách giải và phương pháp viết phương trình tiếp tuyến một cách dễ hiểu, có ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết để bạn có thể nắm vững kiến thức và áp dụng linh hoạt vào bài thi.

A. Đạo Hàm

1. Đạo hàm là gì?

Cho hàm số y = f(x)\(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a;b)\((a;b)\) và điểm x_{0} \in (a;b)\(x_{0} \in (a;b)\).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x)\(y = f(x)\) tại x_{0}\(x_{0}\).

Kí hiệu: f\(y' \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}\)

A. m \geq 3\(m \geq 3\).                   B. m \geq 1\(m \geq 1\).                   C. m \geq 4\(m \geq 4\).                     D. m \geq 4\sqrt{2}\(m \geq 4\sqrt{2}\).

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: y\(y' = 3\left\lbrack (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \right\rbrack\)

Do đó y\(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + f\left( x_{0} \right)\)

Ví dụ: Cho hàm số y = x^{2} + 2x - 4\(y = x^{2} + 2x - 4\) có đồ thị (C)\((C)\)

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (C)\((C)\) tại điểm có hoành độ x_{0} = 1\(x_{0} = 1\) thuộc (C)\((C)\) .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_{0} = 0\(x_{0} = 0\) thuộc (C)\((C)\) .

Hướng dẫn giải

Tại x_{0}\mathbb{\in R}\(x_{0}\mathbb{\in R}\) ta có:

f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{2} + 2x - 4 - {x_{0}}^{2} - 2x_{0} + 4\(f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{2} + 2x - 4 - {x_{0}}^{2} - 2x_{0} + 4\)

= \left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)\(= \left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)\)

\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)}{x - x_{0}}\(\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)}{x - x_{0}}\)

= x + x_{0} + 2\(= x + x_{0} + 2\)

\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( x + x_{0} + 2 \right) = 2x_{0} + 2\(\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( x + x_{0} + 2 \right) = 2x_{0} + 2\)

\Rightarrow y\(\Rightarrow y' = 2x + 2\)

a) Hệ số góc tiếp tuyến của (C)\((C)\) tại điểm có hoành độ x_{0} = 1\(x_{0} = 1\) là:

k = y\(k = y^{'\left( x_{0} \right)} = 3x_{0}^{2} - 2mx_{0} - m\)

= 3\left( x_{0} - \frac{m}{3} \right)^{2} - \left( \frac{m^{2}}{3} + m \right) \geq - \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right)\(= 3\left( x_{0} - \frac{m}{3} \right)^{2} - \left( \frac{m^{2}}{3} + m \right) \geq - \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right)\) .

Để mọi đường thẳng tiếp xúc với (C)\((C)\) đều có hệ số góc dương thì:

- \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 0\(- \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( \frac{m^{2} + 3m}{3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 0\) .

\Rightarrow\(\Rightarrow\) Tập các giá trị nguyên của m\(m\) là: T = \left\{ - 2;\ - 1 \right\}\(T = \left\{ - 2;\ - 1 \right\}\) .

Vậy tổng các phần tử của T\(T\) là: - 3\(- 3\) .

2. Bài tập Đạo hàm lớp 11

Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = \frac{1}{2}{x^5} + \frac{2}{3}{x^4} - {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 4x - 5\(y = \frac{1}{2}{x^5} + \frac{2}{3}{x^4} - {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 4x - 5\)

b) y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x + {x^2} - 0,5{x^4}\(y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x + {x^2} - 0,5{x^4}\)

c) y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x\(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x\)

d) y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x\(y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x\)

e) y = \frac{x}{a} + \frac{b}{{{x^2}}} + c\sqrt x + \frac{{{a^2}}}{2} - \sqrt[3]{b}\(y = \frac{x}{a} + \frac{b}{{{x^2}}} + c\sqrt x + \frac{{{a^2}}}{2} - \sqrt[3]{b}\) (với a; b; c là hằng số).

Đáp số:

a. y\(y' = \frac{5}{2}{x^4} + \frac{8}{3}{x^3} - 3{x^2} - 3x + 4\)

b. y\(y' = - \frac{1}{3} + 2x - 2{x^3}\)

c. y' = x3 - x2 + x - 1

Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x - 3)(x5 - 2x)                                 b) y = x(2x - 1)(3x + 2)

c) y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right)\(y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right)\)             d) y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)                      e) y = \frac{3}{{2x - 5}}\(y = \frac{3}{{2x - 5}}\)

f) y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x - 1}}\)                      g) y = \frac{{2{x^2} - 4x + 5}}{{2x + 1}}\(y = \frac{{2{x^2} - 4x + 5}}{{2x + 1}}\)                h) y = x + 1 - \frac{2}{{x + 1}}\(y = x + 1 - \frac{2}{{x + 1}}\)

i) y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}\(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}\)                      k) y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

Đáp số:

a. y' = 12x5 - 8x -15x4 + 6 b. y' = 18x2 + 2x - 2
c. y\(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{2x\sqrt x }}\) d. y' = -1/(x- 1)2
e. y' = -6/(2x - 5)2 f. y' = (x2 - 2x -1)/(x - 1)2
g. y'=(8x3 - 8x2 + 4x - 10)/(2x + 1)2 h. y' = 1 + 2/(x + 1)2
i. y' = (-5x2 + 6x + 8)/(x2 + x + 1)2 k. y' = (-5x2 + 6x + 8)/(x2 - x + 1)2

Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = {\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 6x + 1} \right)^2}\(y = {\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 6x + 1} \right)^2}\)                      b) y = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}}}\(y = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^5}}}\)

c) y = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}\(y = {\left( {{x^2} - x + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}\)             d) y = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\(y = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\)

e) y = \sqrt {1 + 2x - {x^2}}\(y = \sqrt {1 + 2x - {x^2}}\)                                     f) y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {1 - {x^2}}\(y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {1 - {x^2}}\)

Bài 4: Cho hàm số y = - \frac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\(y = - \frac{1}{3}m{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - mx + 3\). Xác định giá trị của tham số m để:

a. y' ≤ 0, ∀ x∈ \mathbb{R}\(\mathbb{R}\).

b. y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm.

c. y' = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = 3.

Bài 5: Cho hàm số (C): y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) (m là tham số). Xác định giá trị của m để hàm số có y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 6: Cho hàm số (C): y = x2 - 2x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a. Tại điểm có hoành độ x0 = 2.

b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x - y = 9.

c. Vuông góc với đường thẳng 2x + 4y - 2011 = 0.

d. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0).

Bài 7: Cho hàm số: y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\(y = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\) (1).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-1;-1).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 4x - y + 1 = 0.

e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d'): 4x + y - 8 = 0.

Bài 8: Cho hàm số y = x3 - 3x2 (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1;-2).

b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.

Bài 9: Cho hàm số: y = \frac{{3x + 1}}{{x + 1}}\(y = \frac{{3x + 1}}{{x + 1}}\) (1). Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm sô (1) tại điểm M(-2; 5).

Bài 10: Cho hàm số (C): y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\(y = \frac{{2x}}{{x + 1}}\). Tìm điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 2.

Bài 11:

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + 5 tại điểm A(2;13).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến song song với d có phương trình y = -3x + 2.

d. Cho hàm số y = 3x3 + x2 - 2 có đồ thị C. Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y" = 0 là bao nhiêu?

e. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = x3 - 3x + 1 tại điểm có hoành độ = 1 có hệ số góc là k bằng bao nhiêu? Tìm điểm cực tiểu của hàm số: y = -x2 + 2x - 1?

---------------------------------------------------------

Thông qua những ví dụ và hướng dẫn cụ thể trong bài viết, hy vọng bạn đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Đây là một trong những ứng dụng thực tế và quan trọng nhất của đạo hàm trong Toán học. Để thành thạo kỹ năng này, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao và thường xuyên ôn lại các công thức đạo hàm cơ bản.

Nếu bạn đang tìm kiếm thêm tài liệu, bài giảng, hay bộ đề luyện tập về bài tập đạo hàm hoặc muốn nắm vững phương pháp viết phương trình tiếp tuyến theo từng dạng bài cụ thể, đừng ngần ngại theo dõi các bài viết tiếp theo trên website của chúng tôi. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới!

Từ khóa » đạo Hàm U/v Bài Tập