BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 CHƯƠNG 2 CÓ LÒI GIẢI ...

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng  và  Phương pháp :  Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng  và   Đường thẳng đi qua hai điểm chung

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11

Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng () và ()

Phương pháp :  Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng () và ()

 Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm

Chú ý : Để tìm chung của () và () thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần

lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là

điểm chung của hai mặt phẳng

Bài tập :

1 Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S() a Xác định giao tuyến của (SAC)và (SBD)

b Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)

c Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Giải

a Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Trong (), gọi O = AC  BD

 O  AC mà AC  (SAC)  O  (SAC)

 O  BD mà BD  (SBD)  O  (SBD)

 O là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)

Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Trong () , AB không song song với CD

Gọi I = AB  CD

 I  AB mà AB  (SAB)  I  (SAB)

 I  CD mà CD  (SCD)  I  (SCD)

 I là điểm chung của (SAB) và (SCD)

Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)

c Tương tự câu a, b

2 Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng

Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD

lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song

song với BC Tìm giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)

Giải

 P  BD mà BD  ( BCD)  P  ( BCD)

 P  ( MNP)

 P là điểm chung của ( BCD) và ( MNP)

 E  BC mà BC  ( BCD)  E  ( BCD)

 E  MN mà MN  ( MNP)  E  ( MNP)

 E là điểm chung của ( BCD) và ( MNP)

Vậy : PE là giao tuyến của ( BCD) và ( MNP)

3 Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC ) , một điểm I thuộc đoạn SA

Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K

Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :

a mp ( I,a) và mp (SAC )

b mp ( I,a) và mp (SAB )

c mp ( I,a) và mp (SBC )

Giải

a Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAC ) :

Ta có:  I SA mà SA  (SAC )  I  (SAC )

 I( I,a)

 I là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC )

Trong (ABC ), a không song song với AC

C A

J

C B

E

N

D P M

O I

S

Vậy : IO là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SAC )

b Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI

c Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SBC )

Ta có : K là điểm chung của hai mp ( I,a) và mp (SBC )

Trong mp (SAC) , gọi L = IO  SC

 L  SC mà SC  (SBC )  L  (SBC )

 L  IO mà IO  ( I,a)  L  ( I,a )

 L là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SBC )

Vậy: KL là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SBC )

4 Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mp

a Chứng minh AB và CD chéo nhau

b Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm

M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường

thẳng BD tại I Hỏi điểm I thuộc những mp nào

Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD)

Giải

a Chứng minh AB và CD chéo nhau :

Giả sử AB và CD không chéo nhau

Do đó có mp () chứa AB và CD

 A ,B ,C , D nằm trong mp () mâu thuẩn giả thuyết

Vậy : AB và CD chéo nhau

b Điểm I thuộc những mp :

 I  MN mà MN  (ABD )  I  (ABD )

 I  MN mà MN  (CMN )  I  (CMN )

 I  BD mà BD  (BCD )  I  (BCD )

Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) là CI

5 Cho tam giác ABC nằm trong mp ( P) và a là mộtđường thẳng nằm trong mp ( P) và không

song song với AB và AC S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là một điểm thuộc SA

Xđ giao tuyến của các cặp mp sau

a mp (A’,a) và (SAB)

b mp (A’,a) và (SAC)

c mp (A’,a) và (SBC)

Giải

a Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB)

 A’  ( A’,a)

Trong ( P) , ta có a không song song với AB

Gọi E = a  AB

 E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB )

 E  ( A’,a)

 E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )

Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB )

b Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)

 A’  SA mà SA  ( SAC)  A’ ( SAC)

 A’  ( A’,a)

 A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )

Trong ( P) , ta có a không song song với AC

Gọi F = a  AC

 F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC )

 E  ( A’,a)

 F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )

Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )

c Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC)

Trong (SAB ) , gọi M = SB  A’E

 M  SB mà SB  ( SBC)  M ( SBC)

 M  A’E mà A’E  ( A’,a)  M ( A’,a)

 M là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )

Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F

F

a

P E B

C

N M

A

A' S

 N là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )

Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC )

6 Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam

giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mp sau

a (AMN) và (BCD)

b (DMN) và (ABC )

Giải

a Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD)

Trong (ABD ) , gọi E = AM  BD

 E  AM mà AM  ( AMN)  E ( AMN)

 E  BD mà BD  ( BCD)  E ( BCD)

 E là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD )

Trong (ACD ) , gọi F = AN  CD

 F  AN mà AN  ( AMN)  F ( AMN)

 F  CD mà CD  ( BCD)  F ( BCD)

 F là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD )

Vậy: EF là giao tuyến của mp ( AMN) và (BCD )

b Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC)

Trong (ABD ) , gọi P = DM  AB

 P  DM mà DM  ( DMN)  P (DMN )

 P  AB mà AB  ( ABC)  P (ABC)

 P là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC )

Trong (ACD) , gọi Q = DN  AC

 Q  DN mà DN  ( DMN)  Q ( DMN)

 Q  AC mà AC  ( ABC)  Q ( ABCA)

 Q là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC )

Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và (ABC )

Phương pháp :  Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ()

 Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng ()

Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp () và mp ()  a

Cần chọn mp () chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của

mp () và mp () dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a

Bài tập :

1 Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy một điểm P

và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )

b Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ()

Giải

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )

Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP  MN

b Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp ()

Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB

A

b

a A





A M

D B

P

E

C N

S



 D  AB mà AB  ()  D ()

Vậy: D = MN  ()

Cách 2 :  Chọn mp phụ (SAB)  MN

 ( SAB)  () = AB

 Trong (SAB) , MN không song song với AB

Gọi D = MN  AB

D  AB mà AB  ()  D ()

D  MN Vậy : D = MN  ()

2 Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD )

Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C

Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )

Giải

 Chọn mp phụ (SBD)  SD

 Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM )

 Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM )

 Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM )

Trong (ABCD ) , gọi O = AC  BD

K SO mà SO  (SBD)  K ( SBD)

K AM mà AM  (ABM )  K ( ABM )

 K là điểm chung của ( SBD) và (ABM )

 ( SBD)  (ABM ) = BK

 Trong (SBD) , gọi N = SD  BK

N BK mà BK  (AMB)  N (ABM) N  SD Vậy : N = SD  (ABM) 3 Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy một điểm M , Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút )

a Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)

b Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)

 Chọn mp phụ (SAC)  AN

 Tìm giao tuyến của ( SAC) và (SBD)

Trong (ABCD) , gọi P = AC  BD

 ( SAC)  (SBD) = SP

 Trong (SAC), gọi I = AN  SP

I  AN

I  SP mà SP  (SBD)  I  (SBD)

Vậy : I = AN  (SBD) b Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)  Chọn mp phụ (SMC)  MN  Tìm giao tuyến của ( SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC  BD  ( SAC)  (SBD) = SQ  Trong (SMC), gọi J = MN  SQ J MN

J  SQ mà SQ  (SBD)  J  (SBD) Vậy: J = MN  (SBD) 4 Cho một mặt phẳng () và một đường thẳng m cắt mặt phẳng () tại C Trên m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng () là điểm A’ Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng () Giải

 Chọn mp phụ (SA’C)  SB  Tìm giao tuyến của ( SA’C ) và ()

Ta có ( SA’C )  () = A’C  Trong (SA’C ), gọi B’ = SB  A’C B’ SB mà SB  (SA’C )  B’  (SA’C)

M

A

D

B

S

K

N

Q

A

C P

D

N I

B M

S

A B

S m

C B'

A'



B’  A’C mà A’C  ()  B’  ()

Vậy : B’= SB  ()

5 Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng Gọi I, H lần lượt là trung điểm

của SA, AB Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS

Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK )

Giải

 Chọn mp phụ (ABC)  BC

 Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (IHK)

Trong (SAC) ,có IK không song song với AC

Gọi E’ = AC  IK

 ( ABC )  ( IHK) = HE’

 Trong (ABC ), gọi E = BC  HE’

E  BC mà BC  ( ABC)  E  ( ABC)

E  HE’ mà HE’  ( IHK)  E  ( IHK)

Vậy: E = BC  ( IHK)

6 Cho tứ diện SABC Gọi D là điểm trên SA ,

E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB

không song song )

a Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )

b Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )

c Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )

Giải

a Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )

Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)

Trong (SAB) , AB không song song với DE

Gọi M = AB  DE

 M  AB mà AB  (ABC)  M  (ABC)

 M  DE mà DE  (DEF)  M  (DEF)

 M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)

Vậy: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)

b Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )

 Tìm giao tuyến của ( SBC ) và (DEF)

Ta có: E là điểm chung của ( SBC ) và (DEF)

a Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )

b Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )

M E

B S

E E'

K

B H

I S

S

 N là điểm chung của ( SBD ) và (MNP)

8 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là

trung điểm AC và BC K là điểm trên BD và

không trùng với trung điểm BD

a Tìm giao điểm của CD và (MNK )

b Tìm giao điểm của AD và (MNK )

b Tìm giao điểm của AD và (MNK )

9 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD O là điểm bên trong tamgiác BCD.

Tìm giao điểm của :

a MN và (ABO )

b AO và (BMN )

P N

M

O

D

C B

K

M A

O

Q

P N

M

I

C

D B

A

Giải

a Tìm giao điểm của MN và (ABO ):

 Chọn mp phụ (ACD)  MN

 Tìm giao tuyến của (ACD ) và (ABO)

Ta có : A là điểm chung của (ACD ) và (ABO)

 Tìm giao tuyến của (ABP ) và (BMN)

Ta có : B là điểm chung của (ABP ) và (BMN)

10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB,

BC ( K không là trung điểm BC) Tìm giao điểm của :

 Tìm giao tuyến của (SAK ) và (SBD)

Ta có : S là điểm chung của (SAK ) và (SBD)

Trong (ABCD), gọi P = AK  BD

 Tìm giao tuyến của (SBD ) và (IJK)

Ta có : Q là điểm chung của (IJK ) và (SBD)

Trong (ABCD), gọi M = JK  BD

P

K J

I

C

B

D A

S

Ta có : I là điểm chung của (IJK ) và (SAC)

Trong (ABCD), gọi E = AC  JK

11.Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD.

Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )

b Tìm giao điểm của BC với (OMN)

c Tìm giao điểm của BD với (OMN)

Giải

a Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ):

Ta có : O là điểm chung của (OMN ) và (BCD )

Trong (ACD) , MN không song song CD

12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)

b Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)

Giải

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :

 Chọn mp phụ (SMN)  MN

 Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)

Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)

b Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :

C B

A

M N

Phương pháp :  Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt

 Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp

b Xác định giao điểm J = MN  (SBD)

 Chọn mp phụ (SMC)  MN

 Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)

S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD

 ( SAC)  (SBD) = SE

 Trong (SMC), gọi J = MN  SE

J MN J SE mà SE  ( SBD)  J  ( SBD)Vậy J = MN  ( SBD)

a Tìm giao điểm K = IJ  (SAC)

b Xác định giao điểm L = DJ  (SAC)

c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng

Giải

a Tìm giao điểm K = IJ  (SAC)

 Chọn mp phụ (SIB)  IJ

 Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)

S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)

Trong (ABCD) , gọi E = AC  BI

 (SIB)  ( SAC) = SE

 Trong (SIB), gọi K = IJ  SE

K IJ K SE mà SE  (SAC )  K  (SAC)Vậy: K = IJ  ( SAC)

b Xác định giao điểm L = DJ  (SAC)

 Chọn mp phụ (SBD)  DJ

 Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)

Trong (ABCD) , gọi F = AC  BD

 (SBD)  ( SAC) = SF

 Trong (SBD), gọi L = DJ  SF

I J

E

A

B

C M

N

D S

O

M K

F E

L A

D

C B

A

D

3 Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM

không song song với AB, LN không song song với SC.

a Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) và J = SC  ( LMN)

c Chứng minh M , I , J thẳng hàng

Giải

a Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)

Trong (SAB) , LM không song song với AB

4 Cho tứ giác ABCD và S  (ABCD) Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.

a Tìm giao điểm I = BN  ( SAC)

b Tìm giao điểm J = MN  ( SAC)

c Chứng minh C , I , J thẳng hàng

Giải

a Tìm giao điểm I = BN  ( SAC)

 Chọn mp phụ (SBD)  BN

 Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

Trong (ABCD), gọi O = AC  BD

S

K

J I

Trong (ABCD), gọi K = AC  DM

 (SMD)  ( SAC) = SK

 Trong (SMD), gọi J = MN  SK

J  MN

J  SK mà SK  (SAC )  J  (SAC)Vậy : J = MN  ( SAC)

1 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O

Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)

Giải

Trong (ABCD), gọi J = BD  MN

K = MN  AB

H = MN  BCTrong (SBD), gọi Q = IJ  SB

Trong (SAB), gọi R = KQ  SA

Trong (SBC), gọi P = QH  SC

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR

2 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N , P lần lượt

là trung điểm lấy trên AB , AD và SC

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)

Giải

Trong (ABCD) , gọi E = MN  DC

F = MN  BCTrong (SCD) , gọi Q = EP  SD

Trong (SBC) , gọi R = FP  SB

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR

3 Cho tứ diện ABCD Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD

lấy điểm M sao cho KM không song song với BD Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM )

Trong (ABD), gọi N = AD  HL

Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN

b M ở ngoài đoạn CD:

Trong (BCD), gọi L = KM  BD

Vậy : thiết diện là tam giác HKL

4 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên

AD và DC Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)

R

H S

A

O J

N

C B

B

C

D A

K

L H

K

A

D

C B

N

Q F

R

E

D M

P

A

S

R P

Q

N A

D

B

M S

Trong (SCD), gọi Q = EN  SC

Trong (SAD), gọi P = EM  SA

Trong (ABCD), gọi F = MN  BC

Trong (SBC), gọi R = FQ  SB

Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP

Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ :

Bài tập :

5 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC Giả sử AD và BC không

song song

a Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)

b Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

Giải

a Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :

Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC

Vậy : SI = (SAD)  ( SBC)

b Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

Trong (SBC) , gọi J = MN  SI

Trong (SAD) , gọi K = SD  AJ

Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK

6 Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M

trong tam giác SCD lấy một điểm N.

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)

b Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)

c Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD

Giải

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):

 Chọn mp phụ (SMN)  MN

 Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)

Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)

b Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :

c Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:

Trong (SBC), gọi P = EM  SB

Trong (SCD), gọi Q = EN  SD

Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ

7 Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm

lấy trên các cạnh SA, SB, SC Tìm thiết diện của

hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)

N' C B

M N A

D

C

B S

M N