Bài Tập Tìm M để Hàm Số Có Tiệm Cận đứng - Tự Học 365

Bài tập tìm m để hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang có đáp án

Một số câu trắc nghiệm tìm điều kiện của m để hàm số có tiệm cận

Bài tập 1: [Đề thi minh họa Bộ GD{}ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số: $y=\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}$ có 2 tiệm cận ngang. A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. $m<0$ C. $m=0$ D. $m>0$

Lời giải chi tiết

Với $m>0$ ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{m}}\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{m}}$ là một tiệm cận ngang.

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1-\frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{-x}}=\frac{-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{-1}{\sqrt{m}}\Rightarrow y=\frac{-1}{\sqrt{m}}$ là một tiệm cận ngang.

Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Với $m=0$ suy ra $y=\frac{x+1}{1}$ đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang.

Với $m<0$ đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y$ . Chọn D.

Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số $y=\frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4mx+1}$ có đúng một đường tiệm cận là A. $\left[ -1;1 \right]$  B. $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right).$  C. $\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right).$               D. $\left( -1;1 \right)$

Lời giải chi tiết

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang $y=0$.

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Khi đó phương trình $4{{x}^{2}}+4mx+1=0$ vô nghiệm.

$\Leftrightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m<0\Leftrightarrow -1<m<1\Leftrightarrow m\in \left( -1;1 \right)$. Chọn D.

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-m}$ không có tiệm cận đứng. A. $m>1$.  B. $m\ne 0.$  C. $m=1.$  D. $m=1$ và $m=0$.

Lời giải chi tiết

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng $x=m$ thì là nghiệm của $p\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3x+m$

$\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m+m=0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m=0\Leftrightarrow 2m\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=1 \\ \end{array} \right..$ Chọn D.

Bài tập 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-mx+m}$ có đúng một tiệm cận đứng. A. $m=0.$  B. $m\le 0.$  C. $m\in \left\{ 0;4 \right\}$ D. $m\ge 4.$

Lời giải chi tiết

Xét phương trình $g\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+m=0$

Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép khác 1 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{m}^{2}}-4m>0 \\  {} g\left( 1 \right)=0 \\ \end{array} \right. \\  {} \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{m}^{2}}-4m=0 \\  {} g\left( 1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=4 \\  {} m=0 \\ \end{array} \right.$ . Chọn C.

Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{{{x}^{2}}-2x+m}$ có hai tiệm cận đứng. A. $\left\{ \begin{array}{} m\ne 1 \\{} m\ne -8 \\\end{array} \right..$  B. $\left\{ \begin{array}{} m>-1 \\{} m\ne 8 \\\end{array} \right..$  C. $\left\{ \begin{array}{} m=1 \\{} m=-8 \\\end{array} \right.$  D. $\left\{ \begin{array}{} m<1 \\{} m\ne -8 \\\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{{{x}^{2}}-2x+m}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-2x+m}$

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left\{ \begin{array}  {} x\ne 1 \\  {} x\ne -2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'>0 \\  {} f\left( 1 \right)\ne 0 \\  {} f\left( -2 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-m>0 \\  {} m-1\ne 0 \\  {} m+8\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m<1 \\  {} m\ne -8 \\ \end{array} \right.$ . Chọn D.

Bài tập 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x}-m}{x-1}$ có đúng hai đường tiệm cận. A. $\left( -\infty ;+\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$.  B. $\left( -\infty ;+\infty  \right)\backslash \left\{ -1;0 \right\}$               C. $\left( -\infty ;+\infty  \right)$               D. $\left( -\infty ;+\infty  \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $D=\left( 0;+\infty  \right)$

Khi đó $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-m}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$ .

Chú ý: Với $m=1\Rightarrow y=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Với $m\ne 1$ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.

Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì $m\ne 1$. Chọn A.

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{mx+2}{x-1}$ có tiệm cận đứng. A. $m\ne 2$  B. $m<2$  C. $m\le -2$  D. $m\ne -2$

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số có TCĐ $\Leftrightarrow g\left( x \right)=mx+2=0$ không có nghiệm $x=1\Leftrightarrow g\left( 1 \right)\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2.$ . Chọn D.

Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}-3x+2}$ có đúng một tiệm cận đứng. A. $m\in \left\{ -1;-4 \right\}.$  B. $m=-1$  C. $m=4.$  D. $m\in \left\{ 1;4 \right\}$

Lời giải chi tiết

Ta có $y=\frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}-3x+2}=\frac{{{x}^{2}}+m}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}$ , đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}+m$ .

Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}  {} f\left( 1 \right)=0 \\  {} f\left( 2 \right)=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m+1=0 \\  {} m+4=0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=-1 \\  {} m=-4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left\{ -1;-4 \right\}$ . Chọn A.

Bài tập 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}+m}}$ có 3 tiệm cận A. $\left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=-16 \\ \end{array} \right.$  B. $\left[ \begin{array}  {} m=-16 \\  {} m=0 \\  {} m=4 \\ \end{array} \right.$               C. $\left[ \begin{array}  {} m=-16 \\  {} m=-8 \\ \end{array} \right.$               D. $\left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=16 \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{4}{x}}{\sqrt{1+\frac{m}{{{x}^{2}}}}}=1;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{4}{x}}{-\sqrt{1+\frac{m}{{{x}^{2}}}}}=-1$ nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}+m$ có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm $x=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=-16 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Bài tập 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+x+2}}{x+1}$ có đúng một tiệm cận ngang. A. $m<1$ hoặc $m>1.$  B. $m>0.$  C. $m=\pm 1.$  D. Với mọi giá trị m

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+x+2}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{m}^{2}}-1+\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}}{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{{{m}^{2}}-1} \\  {} \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+x+2}}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,-\frac{\sqrt{{{m}^{2}}-1+\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}}{1+\frac{1}{x}}=-\sqrt{{{m}^{2}}-1} \\ \end{array} \right.$ . (Với $\left( {{m}^{2}}-1 \right)\ge 0$)

Đồ thị hàm số có một TCN khi và chỉ khi $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-1}=-\sqrt{{{m}^{2}}-1}\Leftrightarrow m=\pm 1$.

Chọn C.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{\left( m+2 \right){{x}^{2}}-3x-3m}-\left| x \right|}{x-2}$ có đồ thị (C). Đồ thị (C) có 3 đường tiệm cận khi tham số thực m thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. $\left( -2;2 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)$  B. $\left( -2;2 \right)$  C. $\left( 2;+\infty  \right)$               D. $\left( -3;-1 \right)$

Lời giải chi tiết

Với $m<-2$ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ (không t/mãn)

Với $m=-2\Rightarrow y=\frac{\sqrt{-3x-6}-\left| x \right|}{x-2}$ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang (không t/mãn)

Với $m>-2$ đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\sqrt{m+2}-1;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=1\sqrt{m+2}+1;$

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng.

Khi đó tử số không có nghiệm $x=2$ và $f\left( x \right)=\left( m+2 \right){{x}^{2}}-3x-3m$ xác định tại $x=2$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}  {} f\left( 2 \right)=4\left( m+2 \right)-6-3m\ge 0 \\  {} \sqrt{f\left( 2 \right)}-2\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+2\ge 0 \\  {} \sqrt{m+2}-2\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ge -2 \\  {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.$

Do đó $m>-2;\,\,m\ne 2$ là giá trị cần tìm. Chọn A.

Bài tập 12: Tập hợp các giá trị thức của m để đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{\left( m{{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+4mx+1 \right)}$ có đúng một đường tiệm cận là A. $\left\{ 0 \right\}$  B. $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left\{ 0 \right\}\cup \left( 1;+\infty  \right)$  C. $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)$               D. $\varnothing $

Lời giải chi tiết

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang $y=0$.

Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

TH1: Phương trình: $\left( m{{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+4mx+1 \right)=0$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1-m<0 \\  {} 4{{m}^{2}}-4<0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>1 \\  {} -1<m<1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m\in \varnothing $

TH2: Phương trình $4{{x}^{2}}+4mx+1=0$ vô nghiệm, phương trình: $m{{x}^{2}}-2x+1=0\,\,\,\left( * \right)$ có đúng 1 nghiệm đơn $x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 4{{m}^{2}}-4<0 \\  {} m=0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1<m<1 \\  {} m<0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow m=0$ .

Kết hợp 2 trường hợp suy ra $m=0$ . Chọn A.

Bài tập 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( 2\text{x}-m \right)}{\sqrt{4\text{x}-{{x}^{2}}}-2}$ có tiệm cận đứng. A. $m\ne 4.$  B. $m\in \mathbb{R}$  C. $m\ne 2$  D. $m\ne \left\{ 2;4 \right\}$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định $D=\left[ 0;4 \right]\backslash \left\{ 2 \right\}$ .

Ta có: $y=\frac{{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( 2\text{x}-m \right)}{\sqrt{4\text{x}-{{x}^{2}}}-2}=-\frac{{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( 2\text{x}-m \right)\left( \sqrt{4\text{x}-{{x}^{2}}}+2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

Với $m=2\Rightarrow y=-\left( 2\text{x}-2 \right)\left( \sqrt{4\text{x}-{{x}^{2}}}+2 \right)\Rightarrow $ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Với $m=4\Rightarrow y=-\frac{2{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( \sqrt{4\text{x}-{{x}^{2}}}+2 \right)}{x-2}\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .

Với $m\ne \left\{ 2;4 \right\}$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ .

Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì $m\ne 2$. Chọn C.

Bài tập 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=\frac{2017+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-mx-3m}}$ có hai đường tiệm cận đứng là: A. $\left[ \frac{1}{4};\frac{1}{2} \right]$  B. $\left( 0;\frac{1}{2} \right].$  C. $\left( 0;+\infty  \right)$               D. $\left( -\infty ;-12 \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)$

Lời giải chi tiết

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-m\text{x}-3m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\ge -1$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta >0 \\  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge -2 \\  {} \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta ={{\left( -m \right)}^{2}}-4\left( -3m \right)>0 \\  {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\ge -2 \\  {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{m}^{2}}+12m>0 \\  {} m\ge -2 \\  {} 1-2m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]$. Chọn B.

Bài tập 15: Cho hàm số $y=\sqrt{m{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}}-x$ . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang. A. $m=1.$  B. $m\in \left\{ -2;2 \right\}$  C. $m\in \left\{ -1;1 \right\}$              D. $m>0$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{m{{\text{x}}^{2}}-{{x}^{2}}+2\text{x}}{\sqrt{m{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}}+x}=\frac{\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\text{x}}{\sqrt{m{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}}+x}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>0 \\  {} m-1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=1.$ Chọn A.

Bài tập 16: Điều kiện cần và đủ của tham số thực m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{2x+\sqrt{m{{x}^{2}}+4}}$ có đúng 1 tiệm cận ngang là A. $m=4$ B. $0\le m\le 4$ C. $m=0.$ D. $m=0$ hoặc $m=4$.

Lời giải chi tiết

+) Với $m=0$, ta có $y=\frac{x-1}{2x+2}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Với $m<0$ đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang vì không tồn tại $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y$ .

+) Với $m>0$ , ta có $y=\frac{x-1}{2\text{x}+\sqrt{m{{\text{x}}^{2}}+4}}=\frac{x\left( 1-\frac{1}{x} \right)}{2\text{x}+\left| x \right|\sqrt{m+\frac{4}{{{x}^{2}}}}}\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\frac{1}{2+\sqrt{m}} \\  {} \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\frac{1}{2-\sqrt{m}} \\ \end{array} \right.$

Để hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang thì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\frac{1}{2-\sqrt{m}}=\infty $

Cho $2-\sqrt{m}=0\Leftrightarrow m=4\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\infty $. Vậy $m=0$ hoặc $m=4$ là giá trị cần tìm. Chọn D.

Bài tập 17: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=2x+\sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}+1$ có tiệm cận ngang. A. $m=4$  B. $m=-4$ C. $m=2$ D. $m=0$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\left( 2x+1 \right)+\sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}=\frac{4{{x}^{2}}+4x+1-\left( m{{x}^{2}}-x+1 \right)}{2x+1-\sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}}=\frac{\left( 4-m \right){{x}^{2}}+5x}{2x+1-\sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số và $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m>0 \\  {} 4-m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=4$ . Chọn A.

Bài tập 18: Biết đồ thị $y=\frac{\left( a-2b \right){{x}^{2}}+bx+1}{{{x}^{2}}+x-b}$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=0$. Tính $a+2b$ . A. 6.                                   B. 7.                                        C. 8.                                   D. 10.

Lời giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow PT:{{x}^{2}}+x-b=0$ có nghiệm $x=1$ và $\left( a-2b \right){{x}^{2}}+bx+1=0$ không có nghiệm $x=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} 1+1-b=0 \\  {} a-2b+b+1\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} b=2 \\  {} a\ne 1 \\ \end{array} \right.$ . Hàm số có dạng $y=\frac{\left( a-4 \right){{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}+x-2}$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=0\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( a-4 \right){{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}+x-2}=0$

$\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( a-4 \right)+\frac{2}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a-4}{1}=0\Leftrightarrow a-4=0\Rightarrow a=4\Rightarrow a+2b=8$. Chọn C.

Bài tập 19: Biết đồ thị $y=\frac{\left( a-3b \right){{x}^{2}}+bx-1}{{{x}^{2}}+ax-a}$ có đường tiệm cận đứng là $x=2$ và đường tiệm cận ngang là $y=1$ . Tính $a+b$ . A. 5.                                   B. 3.                                        C.                                       D.

Lời giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2\Rightarrow $ PT: ${{x}^{2}}+ax-a=0$ có nghiệm $x=2$

$\Rightarrow 4+2a-a=0\Rightarrow a=-4$

Hàm số có tiệm cận ngang $y=-1\Leftrightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=-1\Leftrightarrow \frac{a-3b}{1}=-1\Leftrightarrow a-3b=-1\Leftrightarrow b=\frac{a+1}{3}=-1$

Khi đó $y=\frac{-{{x}^{2}}-x-1}{{{x}^{2}}-4x+4}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=-1$

Vậy $a+b=-5$. Chọn C.

Bài tập 20: Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ , có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ P hoặc Q đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là: A. $4\sqrt{2}$                   B. $5\sqrt{2}$                        C. 4                                    D. $2\sqrt{2}$

Lời giải

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ , tiệm cận ngang $y=1$ .

Gọi $P\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2} \right)\in \left( C \right)$ khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận là:

$d=d\left( P,x=2 \right)+d\left( P,y=1 \right)=\left| {{x}_{0}}-2 \right|+\left| \frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}-1 \right|=\left| {{x}_{0}}-2 \right|+\left| \frac{4}{{{x}_{0}}-2} \right|$.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi $\left( AM-GM \right)$ ta có: $d\ge 2\sqrt{\left| {{x}_{0}}-2 \right|.\left| \frac{4}{{{x}_{0}}-2} \right|}=4$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left| {{x}_{0}}-2 \right|=\frac{4}{\left| {{x}_{0}}-2 \right|}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=4\Rightarrow y=3 \\  {} {{x}_{0}}=0\Rightarrow y=-1 \\ \end{array} \right.$

Khi đó $P\left( 4;3 \right),\,\,Q\left( 0;-1 \right)\Rightarrow PQ=4\sqrt{2}$. Chọn A.