Bài Toán Liên Quan đến Quãng đường, Vận Tốc, Gia Tốc Và Thời Gian

Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian - Ứng dụng tích phân

Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là $v\left( t \right)$ thì $v\left( t \right)=s'\left( t \right)$

Gia tốc tức thời của vật: $a\left( t \right)=v'\left( t \right)=s''\left( t \right)$

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{2}}$ là $S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{v\left( t \right)dt.}$

Vận tốc tức thời của vật: $v\left( t \right)=\int{a\left( t \right)dt}$

Ví dụ 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right)=-4t+20$ (m/s) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m.

Lời giải:

Khi vật dừng hẳn thì $v=0\Rightarrow -4t+20=0\Leftrightarrow t=5\left( s \right).$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là: $S\left( t \right)=\int\limits_{0}^{5}{v\left( t \right)dt=\int\limits_{0}^{5}{\left( -4t+20 \right)dt=50}}$m.

Chọn A.

Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc ${{v}_{1}}\left( t \right)=2t+12\,\,\left( m/s \right),$ sau khi đi được khoảng thời gian ${{t}_{1}}$ thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc ${{v}_{2}}\left( t \right)=24-6t\left( m/s \right),$ và đi thêm một khoảng thời gian ${{t}_{2}}$ nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ? A. $12\text{ }m.$  B. $156\text{ }m.$  C. $108\text{ }m.$  D. $48\text{ }m.$

Lời giải:

Ta có: ${{v}_{02}}=24\,\,\left( m/s \right)$ do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là $24\,\,m/s$

Khi đó ${{v}_{1}}\left( t \right)=2t+12=24\Leftrightarrow t=6\,\,\left( s \right)$

Vật dừng lại khi ${{v}_{2}}\left( t \right)=24-6t=0\Leftrightarrow {{t}_{2}}=4\,\,\left( s \right)$

Quãng đường vật đi được là: $s=\int\limits_{0}^{6}{{{v}_{1}}\left( t \right)dt}+\int\limits_{0}^{4}{{{v}_{2}}\left( t \right)dt=\int\limits_{0}^{6}{\left( 2t+12 \right)dt}+\int\limits_{0}^{4}{\left( 24-6t \right)dt}}=156\text{ }m.$

Chọn B.

Ví dụ 3: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${{v}_{0}}=16\,\,\left( m/s \right)$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t \right)={{t}^{2}}+3t\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $4s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. $\frac{160}{3}\,\,\left( m \right).$  B. $\frac{352}{3}\,\,\left( m \right).$  C. $\frac{400}{3}\,\,\left( m \right).$               D. $\frac{250}{3}\,\,\left( m \right).$

Lời giải:

Ta có: $v\left( t \right)=\int{a\left( t \right)dt=\int{\left( {{t}^{2}}+3t \right)dt=\frac{{{t}^{3}}}{3}}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}}+C$

Khi đó ${{v}_{0}}=v\left( 0 \right)=C=16\Rightarrow v\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16$

Khi đó quãng đường đi được bằng: $s\left( t \right)=\int\limits_{0}^{4}{v\left( t \right)dt=\int\limits_{0}^{4}{\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16 \right)dt}}$

$\left. \left( \frac{{{t}^{4}}}{12}+\frac{{{t}^{3}}}{2}+16t \right) \right|_{0}^{4}=\frac{352}{3}\,\,\left( m \right).$ Chọn B.

Ví dụ 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${{v}_{1}}\left( t \right)=2t\,\,\left( m/s \right).$ Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-12\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Tính quãng đường $s\left( m \right)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn A. $s=168\,\,m.$  B. $s=166\,\,m.$  C. $s=144\,\,m.$  D. $s=152\,\,m.$

Lời giải:

Quãng đường xe đi được trong 12 s đầu là: ${{s}_{1}}=\int\limits_{0}^{12}{2tdt=144\text{ }m.}$

Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc $v=24\,\,m/s,$ sau đó vận tốc của vật có phương trình $v=24-12t$

Vật dừng hẳn sau $2\text{ }s$ kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là: ${{s}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 24-12t \right)dt=24\text{ }m.}$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=144+24=168\text{ }m.$ Chọn A.

Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian $t\left( s \right)$ là $a\left( t \right)=2t-7\,\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Biết vận tốc ban đầu bằng $10\,\,\left( m/s \right),$ hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. $5\,\,\left( s \right).$  B. $6\,\,\left( s \right).$  C. $1\,\,\left( s \right).$  D. $2\,\,\left( s \right).$

Lời giải:

Vận tốc của vật được tính theo công thức $v\left( t \right)=10+{{t}^{2}}-7t\,\,\left( m/s \right).$

Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức $S\left( t \right)=\int{v\left( t \right)dt=\frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{7}{2}{{t}^{2}}+10t\,\,\left( m \right).}$

Ta có ${S}'\left( t \right)={{t}^{2}}-7t+10\Rightarrow {S}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=2 \\  & t=5 \\ \end{align} \right..$

Suy ra $\left\{ \begin{align}  & S\left( 0 \right)=0 \\  & S\left( 2 \right)=\frac{26}{6} \\  & S\left( 5 \right)=\frac{25}{6} \\  & S\left( 6 \right)=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{Max}}\,S\left( t \right)=S\left( 2 \right)=\frac{26}{3}.$ Chọn D.

Ví dụ 6: [Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh 2017] Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $v\left( t \right)=10t-{{t}^{2}},$ trong đó $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $v\left( t \right)$ được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là A. $v=7\,\,\left( m/p \right).$  B. $v=9\,\,\left( m/p \right).$  C. $v=5\,\,\left( m/p \right).$               D. $v=3\,\,\left( m/p \right).$

Lời giải:

Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s=162\,\,m$

Ta có: $S=\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{\left( 10t-{{t}^{2}} \right)dt=\left. \left( 5t-\frac{{{t}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{{{t}_{0}}}=5t_{0}^{2}-\frac{t_{0}^{3}}{3}}$ (trong đó ${{t}_{0}}$ là thời điểm vật tiếp đất)

Cho $5t_{0}^{2}-\frac{t_{0}^{3}}{3}=162\Rightarrow {{t}_{0}}=9$ (Do $v\left( t \right)=10t-{{t}^{2}}\Rightarrow 0\le t\le 10)$

Khi đó vận tốc của vật là: $v\left( 9 \right)=10.9-{{9}^{2}}=9\text{ }\left( m/p \right).$ Chọn B.

Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right)=\frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t\,\,\left( m/s \right),$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động  thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 10 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $25\,\,\left( m/s \right).$  B. $15\,\,\left( m/s \right).$  C. $9\,\,\left( m/s \right).$               D. $42\,\,\left( m/s \right).$

Lời giải:

Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là:

$S=\int\limits_{0}^{25}{\left( \frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t \right)dt=\frac{375}{2}\,\,m.}$

Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $t\left( s \right)$ tính từ lúc B xuất phát là: ${{v}_{B}}\left( t \right)=at.$

Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là:

\[S=\int\limits_{0}^{10}{atdt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{10}=\frac{225}{2}a\left( m \right).\] Suy ra $\frac{225}{2}a=\frac{375}{2}\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: ${{v}_{B}}\left( 15 \right)=15a=25\,\,\left( m/s \right).$ Chọn A.

Ví dụ 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right)=\frac{1}{180}{{t}^{2}}+\frac{11}{18}t$ (m/s), trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động  thẳng cùng hướng với $A$, nhưng chậm hơn 5 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left( m/{{s}^{2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $22$(m/s).  B. 15 (m/s). C. 10 (m/s). D. 7 (m/s).

Lời giải:

Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là:

$S=\int\limits_{0}^{15}{\left( \frac{1}{180}{{t}^{2}}+\frac{11}{8}t \right)dt=75\,\,m.}$

Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $t\left( s \right)$ tính từ lúc B xuất phát là: ${{v}_{B}}\left( t \right)=at.$

Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là:

\[S=\int\limits_{0}^{10}{atdt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{10}=50a\,\,\left( m \right).\] Suy ra $50a=75\Leftrightarrow a=1,5$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: ${{v}_{B}}\left( 10 \right)=10a=15\,\,\left( m/s \right).$ Chọn B.

Ví dụ 9: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v\left( km/h \right)$ phụ thuộc thời gian $t\left( h \right)$ có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left( 2;9 \right)$ với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó? A. $s=27\,\,\left( km \right).$  B. $s=24\,\,\left( km \right).$ C. $s=28,5\,\,\left( km \right).$  D. $s=26,5\,\,\left( km \right).$

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta tính được phương trình vận tốc của vật

Từ 0 đến 3 giây: ${{v}_{1}}\left( t \right)=-\frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t\,\,\left( km/h \right).$

Từ 3 giây trở đi: ${{v}_{2}}\left( t \right)=\frac{27}{4}\,\,\left( km/h \right).$

Suy ra quãng đường vật đi được trong 4 giây sẽ bằng $s=\int\limits_{0}^{3}{\left( -\frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t \right)dt}+\int\limits_{3}^{4}{\frac{27}{4}dt=27\,\,\left( km \right).}$

Chọn A. 

Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc $v\left( km/h \right)$ phụ thuộc thời gian $t\left( h \right)$ có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh $I\left( \frac{1}{2};8 \right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường $s$ người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. $s=4,0\,\,\left( km \right).$ B. $s=2,3\,\,\left( km \right).$ C. $s=4,5\,\,\left( km \right).$ D. $s=5,3\,\,\left( km \right).$

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta tính được PT vận tốc là $v\left( t \right)=a{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+8$

Do parabol $\left( P \right)$ qua điểm $\left( 1;0 \right)\Rightarrow a=-32\Rightarrow v\left( t \right)=-32{{t}^{2}}+32t\,\,\left( km/h \right).$

Suy ra quãng đường đi được trong 45 phút bằng $0,75\,\,\left( h \right)$ là $S=\int\limits_{0}^{0,75}{\left( -32{{t}^{2}}+32t \right)dt=4,5\,\,\left( km \right).}$

Chọn C.