Bài Toán Về Quỹ Tích Và Cung Chưa Góc

1. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh một quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

• Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
• Phần đảo: Mọi điểm M thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích hay tập hợp các điểm M có tính chất T là hình H.

2. Quỹ tích cung chứa góc

Quỹ tích(tập hợp): Các điểm M tạo với hai nút của đoạn thẳng AB cho trước một góc $\widehat{AMB}$có số đo $\alpha $ cho trước 000 là hai cung tròn có số đo là $360{}^\circ -2\alpha $ đối xứng với nhau qua AB.

                                                 

Bài tập: Cho \[\Delta ABC\] có cạnh BC cố định và \[\widehat{A}=\alpha \] không đổi (000 ). Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác \[\Delta ABC\]

Hướng dẫn giải.

                                                

* Phần thuận:

Vì I của đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của \[\widehat{B}\], do đó: \[\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\]

CI là phân giác \[\widehat{ACB}\], do đó \[\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}\]

Trong \[\Delta BCI\] có \[~\widehat{BIC}={{180}^{o}}-\frac{1}{2}\left( \widehat{ABC}+\widehat{ACB} \right)\]=\[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]

Suy ra điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới một góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \] nên I thuộc cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]dừng trên đoạn thẳng BC (trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A).

* Phần đảo:

Lấy I’ thuộc cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]nói trên. Vẽ các tia Bx và Cy sao cho BI’ là tia phân giác của \[\widehat{CBx}\] và CI’ là tia phân giác của góc \[\widehat{CBy}\]. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A’.

Vì I’ thuộc cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \] dựng trên đoạn BC nên: \[\widehat{BI'C}=\text{ }{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]

Do đó:\[\widehat{~I'BC}+\widehat{I'CB\text{ }}={{180}^{o}}-\widehat{BIC}={{90}^{o}}-\frac{1}{2}\alpha \]

Vì BI’ là phân giác của \[\widehat{A'BC}\] à CI’ là phân giác của \[\widehat{A'CB}\] nên \[\widehat{A'CB}+\widehat{A'BC}=2(\widehat{~I'BC}+\widehat{I'CB\text{ }})={{180}^{o}}-\alpha \]

Mặt khác I’ là giao điểm các tia phân giác của \[\widehat{A'CB}\] và \[\widehat{A'BC}\] nên I’ là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta A'BC\]

Kết luận: Quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\]là cung chứa góc \[{{90}^{o}}+\frac{1}{2}\alpha \]  dựng trên đoạn BC.

Bài viết gợi ý:

1. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và bên ngoài đường tròn

2. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

3. Lí thuyết về góc nội tiếp đường tròn

4. Hướng dẫn giải bài toán bằng cách lập phương trình

5. Giải phương trình bằng cách quy về phương trình bậc hai một ẩn

6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

7. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ax^2+bx+c=0 (a ≠ 0)