Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết
Có thể bạn quan tâm
Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đề bất đẳng thức là mảng kiến thức “khó nhằn” với rất nhiều dạng bài khác nhau. Để giải chính xác các dạng bài tập này, các em cần biết vận dụng các bất đẳng thức cơ bản một cách hợp lý. Trong đó, bất đẳng thức Mincopxki được xem là một “trợ thủ đắc lực” hỗ trợ các em giải quyết các bài tập giải phương trình, bất phương trình chứa căn hay chứng minh bất đẳng thức. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em nội dung về bất đẳng thức Mincopxki và những bài tập vận dụng.
>>> Xem thêm:
Bất Đẳng Thức Cosi Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết
Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10
Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
Bất đẳng thức Mincopxki
Dạng tổng quát
Cho 2 dãy số thực: a1, a2,…, an và b1, b2,…, bn, ta luôn có:
\sqrt{a^2_1+b^2_1}\ +\sqrt{a^2_2+b^2_2}\ +...+\sqrt{a^2_n+b^2_n}\ge\sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}Quy ước: Nếu b1 = 0 thì a1 = 0, tương tự với b2, b3,.., bn.
>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết
Dạng cụ thể
Dạng 1: Cho a, b, c, d ∈ R, ta có:
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}Dạng 2: Cho a, b, c, d, e, f ∈ R, ta có:
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge \sqrt{(a+c+e)^2+(b+d+f)^2}Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}Các em chú ý bất đẳng thức Mincopxki cũng được xem là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Thẳng ĐĂNG KÝ NGAYChứng minh bất đẳng thức Mincopxki
Chứng minh rằng, với mọi a, b, x, y ∈ R ta luôn có bất đẳng thức sau:
\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}Bài giải:
Các em thực hiện bình phương 2 vế và biến đổi tương đương:
\begin{aligned} &\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}\\ &\Leftrightarrow a^2+x^2+b^2+y^2+2\sqrt(a^2+x^2)(b^2+y^2)\ge a^2+x^2+b^2+y^2+2ab+2xy\\ &\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge 2ab+2xy\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge ab+xy \ (*) \end{aligned}- Nếu ab + xy ≤ 0 thì (*) luôn đúng.
- Nếu ab + xy > 0 thì (*) ⇔ (a2 + x2) (b2 + y2) ≥ (ab + xy)2 ⇔ (bx – ay)2 ≥ 0 luôn đúng.
Vậy dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi bx = ay.
Chú ý: Các em cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức vectơ như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Đặt }\vec{u}=(a;x) \text{ và }\vec{v}=(b;y). \text{ Khi đó }\vec{u}+\vec{v}=(a+b;x+y).\\ &\footnotesize \text{Từ bất đẳng thức véc tơ }|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}| \text{ và công thức độ dài vectơ ta có ngay điều phải chứng minh.} \end{aligned}Nếu áp dụng 2 lần bất đẳng thức đẳng thức đã cho ở trên ta có bất đẳng thức Mincopxki cho 6 số như sau:
\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}với a, b, c, x, y, z ∈ R
Ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để giải bài tập
Dạng 1: Giải bài tập bất phương trình
Ví dụ: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc
Các em hãy ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để chứng minh:
\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt3Bài giải:
Ta biến đổi giả thiết:
ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow\frac1a+\frac1b+\frac1c=1Ta có:
\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}=\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2} + \frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2} + \frac{2}{a^2}}Sử dụng bất đẳng thức Mincopxki ta có:
\begin{aligned} &\small\sqrt{\frac{1}{a^2}+\left(\frac{\sqrt2}{b}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\left(\frac{\sqrt2}{c}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\left(\frac{\sqrt2}{a}\right)^2} \ge \sqrt{\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2 +2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2}\\ &\text{Mà: }\frac1a+\frac1b+\frac1c =1 \Rightarrow \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac} \ge\sqrt3 \end{aligned}Dạng 2: Giải bài tập số phức
Cho số phức:
z=a+bi\ (a,b\in\R) \text{ thỏa mãn } |z-4-3i|=|\overline{z}-2+1|Các em hãy tính giá trị biểu thức:
P = a^2 + b^2 \text{ khi }| z + 1 - 3i | + | z - 1 + i | \text{ đạt giá trị nhỏ nhất.}Bài giải:
Cách Tìm Đạo Hàm Sin2x. Bài Tập Vận Dụng Có Đáp ÁnTừ giả thiết ta có:
\small \begin{aligned} (a-4)^2 + (b-3)^2 &= (a-2)^2 + (1-b)^2 ⇔ b = 5-a\\ |z+1-3i|+|z-1+i|&=\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}\\ &=\sqrt{(a+1)^2+(2-a)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(6-a)^2}\\ &=\sqrt{2a^2-2a+5}+\sqrt{2a^2-14a+37}\\ &=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a \right)^2+\left(\sqrt{\frac92}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{25}{2}}\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a+\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2} \right)^2+ \left(\sqrt{\frac92}+\sqrt{\frac{25}{2}} \right)^2}=5\sqrt2 \end{aligned}Dấu bằng xảy ra khi:
\frac{\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a}{\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt{\frac92}}{\sqrt{\frac{25}{2}}}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{13}{8}\\b=\frac{27}{8}\end{cases} \Rightarrow P=\frac{13^2+27^2}{8^2}=\frac{449}{32}Dạng 3: Giải bài tập hình học tọa độ
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + z2 = 25 và 2 điểm A(7;9;0), B(0;8;0). Điểm M là một điểm di động trên mặt cầu (S). Các em hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: MA + 2MB.
Bài giải:
Với M(x;y;z) ∈ (S) ⇒ (x – 1)2 + (y – 1)2 + z2 = 25
Khi đó:
\small \begin{aligned} MA+2MB&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^2}+2\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\\ &=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^3+3[(x-1)^2+(y-1)^2+z^2-25]}+2\sqrt{x^3+(y-8)^2+z^2}\\ &=2\left[\sqrt{\left(\frac52-x \right)^2+(3-y)^2+(-z)^2}+\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\right]\\ &\ge 2\sqrt{\left( \frac52-x+x\right)^2+(3-y+8-y)^2+(-z+z)^2}=5\sqrt5 \end{aligned}Dấu bằng xảy ra khi:
\begin{cases} \frac{\frac52-x}{x}=\frac{3-y}{y-8}=k >0\\ z=0\\ (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=25 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} x=1\\ y=6\\z=0\end{cases}\Leftrightarrow M(1;6;0)Gia sư Online Học Online Toán 12 Học Online Hóa 10 Học Online Toán 11 Học Online Toán 6 Học Online Toán 10 Học Online Toán 7 Học Online Lý 10 Học Online Lý 9 Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai - Lý Thuyết Toán 10 Học Online Toán 8 Học Online Toán 9 Học Tiếng Anh 6 Học Tiếng Anh 7Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Như vậy, bài viết này của Marathon Education đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Mincopxki. Bằng những bài tập cụ thể, anh chị hy vọng có thể giúp các em biết cách ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki khi làm các bài tập.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
Từ khóa » Bài Tập Về Bất đẳng Thức Minkowski
-
Phương Pháp Chứng Minh Bất đẳng Thức (hơn 300 Bài Tập)
-
Các Phương Pháp Chứng Minh Bất đẳng Thức Hay (mở Rộng, Nâng Cao)
-
ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER Và MINKOWSKI ...
-
[PDF] PH¦¥NG PH¸P CHøNG MINH BÊT §¼NG THøC
-
Bất đẳng Thức Minkowski - Toán Học Việt Nam - MathVn.Com
-
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER RẤT HAY
-
Bất đẳng Thức Mincopxki - Hữu ích Mỗi Ngày!
-
Bất đẳng Thức Mincopxki Và Các Ví Dụ - Thầy Nghiệp Toán
-
Bất Đẳng Thức Holder Và Minkowski - Diễn đàn Toán Học
-
[] Vận Dụng Nâng Cao Bất đẳng Thức Mincopski GV - YouTube
-
Bất đẳng Thức Mincopxki (Minkowski) Là Gì Và Những điều Cần Biết
-
Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng Thức Và Các ứng Dụng - Thư Viện Đề Thi
-
Chuyên đề Phương Pháp Về Chứng Minh Bất đẳng Thức - Đề Thi Mẫu
-
Băn Khoăn Về Bất đẳng Thức Mincốpxki - Diễn đàn Toán Học