Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng Thức Và Các ứng Dụng - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 9 Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng pdf

46 trang

minhphuc19 Lượt xem

3438

3 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản : 1.1 Số thực dương, số thực âm  Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu 0a  Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu 0a  Nếu a là số thực dương hoặc 0a , ta nói a là số thực không âm, ký hiệu 0a  Nếu a là số thực âm hoặc 0a , ta nói a là số thực không dương, ký hiệu 0a Chú ý:  Với hai số thực ,a b chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra: a b hoặc a b hoặc a b  Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0a "  Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0a " Tính chất quan trọng i) 2: 0  x R x (đẳng thức xảy ra khi 0x  ) ii) 2 0, ,   kx k N x R (đẳng thức xảy ra khi 0x  ) iii) 2 2 21 2 ... 0, ,       k k k n ix x x k N x R (đẳng thức xảy ra khi 1 2 ... 0 n x x x    ) 1.2 Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a b là một số dương, tức là 0a b  . Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b     Nếu a b hoặc a b , ta viết ba  . Ta có: 0 a b a b    Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 1.3 Định nghĩa 2 Giả sử A, B là hai biểu thức (bằng số hoặc chứa biến) Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu A B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu A B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B được gọi là một bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.  Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 1.4 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1.4.1 Tính chất 1. a b a c b c     (Bắc cầu) 1.4.2 Tính chất 2. a b a c b c     (Cộng hai vế với cùng một số) Hệ quả 1. a b a c b c     (Trừ hai vế với cùng một số) Hệ quả 2. a c b a b c     (Chuyển vế) 1.4.3 Tính chất 3. a b a c b d c d       (Cộng hai vế hai bđt cùng chiều) 1.4.4 Tính chất 4. khi c > 0 khi c < 0 ac bc a b ac bc      (Nhân hai vế với cùng một số) Hệ quả 3. a b a b   (Đổi dấu hai vế) Hệ quả 4. khi c > 0 khi c < 0 a b c c a b a b c c         (Chia hai vế với cùng một số) Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 3 1.4.5 Tính chất 5. 0 0 a b ac bd c d       (Nhân hai vế hai bđt cùng chiều) 1.4.6 Tính chất 6. 1 1 0 0a b a b      (Nghịch đảo hai vế) 1.4.7 Tính chất 7. nn baNnba  *,0 (Nâng lũy thừa bậc n) 1.4.8 Tính chất 8. n baNnba  n *,0 (Khai căn bậc n) Hệ quả 5. Nếu a và b là hai số dương thì : 22 baba  (Bình phương hai vế) Nếu a và b là hai số không âm thì : 22 baba  (Bình phương hai vế) 2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất. 2 20 , x , x x , -x xx x    Với mọi Rba , ta có :  a b a b    a b a b    . 0a b a b ab      . 0a b a b ab     3. Bất đẳng thức trong tam giác Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :  a > 0, b > 0, c > 0  b c a b c     c a b c a     a b c a b     a b c A B C     II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ cơ bản : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 4 1 , a b R 2 2 2 a b ab   a = b 2 , a b R 2 2 a b ab        a = b 3 , 0a b  2 a b ab   a = b 4 , a b R       2 2 22a b a b a b 5 , , a b c R 2 2 2a b c ab bc ca      4 4 4a b c abc a b c     a b c  6 , , a b c R     22 2 23 a b c a b c     a b c  7 , , a b c R     2 3a b c ab bc ca     a b c  8 , a b R và 1ab 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ³ + + + a b hoặc 1ab 9 , 0a b    1 1 4a b a b         1 1 4 a b a b    a b 10 , , 0a b c    1 1 1 9a b c a b c           1 1 1 9 a b c a b c      a b c  11 , 0a b    2 2 2 1 1 8a b a b         ( ) 22 2 1 1 8 a b a b + ³ + a b 12 , , a b c R , , , x y z R     2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z       (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) a b c x y z   13 , , a b c R , , , x y z R   22 2 2 x y zx y z a b c a b c        (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) a b c x y z   14 a, b, c, x, y, z, m, n, p > 0      33 3 3 3 3 3 3 3 3a b c x y z m n p axm byn czp         (Hệ quả bất đẳng thức Holder) Các dãy tương ứng tỉ lệ * Các bất đẳng thức quan trọng và mở rộng : Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 5 Bất đẳng thức AM - GM _________________________________________________ Nếu 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm thì 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   .  Bất đẳng thức AM - GM suy rộng ________________________________________ Cho các số dương 1 2, ,..., nw w w thoả mãn 1 2 ... 1nw w w    . Nếu 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm thì 1 2 1 1 2 2 1 2... ... nww w n n nw a w a w a a a a    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   .  Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz __________________________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có:     2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b          Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n aa a b b b     Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ______________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có:   222 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n a a aaa a b b b b b b           Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n aa a b b b     Bất đẳng thức Holder ____________________________________________________ Với m dãy số dương      1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 ,, ,... , , ,..., ... , ,...,n n m m m na a a a a a a a a ta có: , , 1 11 1 m m mn n m i j i j j ji i a a                    Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ. +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2.  Bất đẳng thức Minkowski ________________________________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có:     2 22 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b               Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng ____________________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Ta có: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 6     1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n nn n n na a a bb b a b a b a b     Dấu ‘‘=’’ của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz.  Bất đẳng thức Vonicur Schur _____________________________________________ Cho các số thực không âm a, b, c. Nếu r  0, thì          0r r ra a b a c b b c b a c c a c b         Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0, b = c và các hoán vị. Với bất đẳng thức này ta có các hệ quả sau:  Trong trường hợp r = 1, ta có các dạng tương đương sau: a. 3 3 3 3 ( ) ( ) ( )a b c abc ab a b bc b c ca c a         b. 3 3 3 34( ) 15 ( )a b c abc a b c      c. 2 2 2 9 2( ) abc a b c ab bc ca a b c         d. 4 2 ( )( )( ) a b c abc b c c a a b a b b c c a           Trong trường hợp r = 2, ta có các dạng tương đương: a. 4 2 2( ) ( )a abc a b c ab a b      b. 2 26 ( ) (2 )( )abc a b c ab a a ab         Bất đẳng thức Bernolli _________________________________________________ Với mọi số nguyên r  0 và x > -1  1 1 r x rx   III ) Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho 3x  . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 A x x   Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng 2a b ab  ta có: 1 1 2 . 2A x x x x     Ta thấy lời giải trên sai vì trong đánh giá trên , dấu bằng xảy ra khi 1 x x  , vì vậy x=1, tuy nhiên x=1 lại không nằm trong khoảng giá trị 3x  mà bài toán đã quy định. Vì vậy với lời giải trên thì ta đã tìm sai điểm rơi cho bài toán. Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ra thì ta có lời giải như sau: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 7 8 1 8.3 1 24 2 10 2 . 9 9 9 9 9 3 3 x x x A x x              Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho 1x  . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 3 2 B x x   Ví Dụ 3:Cho x>2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4 3 4 C x x     Ví Dụ 4:Cho a,b >0 và a+2b = 3 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2D ab Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: 6a b b c c a      2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > 0 , xyz=1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 1 1 1 2 x y z y z x       (Lê Việt Hưng) Lời giải : Từ xyz=1 ta có thể đặt : ; ; a b c x y c b c a     1 1 1 3 2 b c a a c b a c b a c a b b c b b c c a a             (Bất đẳng thức Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 3 3 3 a b c a b c bc ca ab a b c             (NguyenDungTN) Lời giải :Từ đây ta đặt: ; ; bc ca ab x y z a b c    Từ đó ta cần chứng minh: 3 3 xy yz zx x y z     Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 8     2 3 xy yz zx x y z     ( Đây là 1 dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > 0 , abc=1 . Chứng minh rằng :       1 1 1 3 21 1 1a b b c c a       (Sưu tầm) Lời giải : Từ abc=1 ta có thể đặt ; ; x y z a b c y z x    , khi đó : VT 1 1 1 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) yz zx xy x y y z z x xy zx yz xy zx yz y z z x x y              (Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a                         (IMO 2000) Lời giải :Từ abc=1 ta có thể đặt ; ; x y z a b c y z x    Ta có: ( )( )( ) 1 x y z y z x z x y VT xyz          ( )( )( )x y z y z x z x y xyz       (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 và 0b  .Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 a c a b T aa c b c       (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a c a b b T a aa c b c c b a c                Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 9 Đặt : ; c b x y a c   Ta được: 2 2 1 1 1 21 1 xy T x y       Từ đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức phụ: 2 2 1 1 2 11 1 xyx y      2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 21 1 xy xy T xyx y           Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 tại x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Chưng minh rằng: 2 1 1 1 a b     Lời giải: Đặt: 3 3 3; ;a x b y c z   , ta được: 3 6 1 1 1 x y     Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:         4 4 4 2 2 2 2 2 3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 4 2 1 1 1 1 1 1 z x z x x x yz z xy y x y x y z x y zx y z x y                           Vậy ta chỉ cần chứng minh:             2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 0 2 2 2 x y z x y z xyz x y z x y y z z x xyz x y z xy yz yz zx zx xy                       Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c          (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) Lời giải: Vì a,b,c nên ta có thể đặt: 2 2 2; ; xy yz zx a b z z x y    Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 10 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 1 x y z y z x yz x z x xy z y x y xyz z          Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:     2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 x y zx y z y z x yz x z x xy z y x y xyz z x y z xyz x y z                 Vậy ta chỉ cần chứng minh:             2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 0 2 2 2 x y z x y z xyz x y z x y y z z x xyz x y z xy yz yz zx zx xy                       Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1c bc a ca b ab          (Lê Việt Hưng) Lời giải: Vì abc=1 nên ta có thể đặt: ; ; x y z a b c y z x    Bất đẳng thức được viết lại thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 1 1 x y z x z yz y x zx z y xy x y z x x z x yz y x y xy z z y z xyz                    Chứng minh bất đẳng thức trên tương tự như ví dụ 7. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 3. 2a b c a b      (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Lời giải : 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ; ; 2 2 2a b b a b b c c b c c a a c a             (Cauchy-Swcharz)  1 1 1 1 1 13 9 2 2 2a b c a b b c c a                   Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 11  1 1 1 1 1 13 2 2 2a b c a b b c c a             Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 1 1 1 1 1 1 1b c c a a b          .Chứng minh rằng : a b c ab bc ca     ( Romania IBMO Team Selection Test 2007 ) Lời giải : Ta có: 1 1 1 1 b c b c b c         2 1 b c b c      Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:           2 1 a b b c c a VP b c b c               2 2 1 a b c a ab a        Từ đây ta suy ra được: a b c ab bc ca     Ví Dụ 3: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 42 2 2a b b c c a          (Iranian IMO Team Selection Test 2009) Lời giải:Ta có:   2 2 2 2 2 2 1 1 22 2 2 a b a b a b        Viết lại thành: 2 2 2 2 3 22 a b a b      Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 6 a b b c c a a b b c c a VT a b b c c a a b c                        Ta lại có:                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 a b b c c a a b c a b b c a b c a bc a b c a b c a b c                             Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 12     2 2 2 2 2 2 3 9 3 22 6 a b c VT a b c          Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 2 2 2 3a b c   .Chứng minh rằng:   2 2 2 2 9 1 1 1 2 2 2a b ca b c        Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: :             2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 9 b c b c a a b c a b c a b c a b c a b c                          Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5:Cho , ,a b c > 0 thõa mãn 3 cba . Chứng minh rằng: 1 111 222       bacacbcba Lời giải : Sử dụng BĐT Bunhia-copsxki cho 3 cặp số ta được :           2 2 22 2 31 1 1 2.3 3 1 91 a b cb c b c a b c a b c b c a b c a b c                          Bất đẳng thức đã được đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1 Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 a b c a b b c b c a b c a b          (Belarusian MO 1998) Lời giải: Có thể viết lại bất đẳng thức trên thành:       2 1 2 a a b b c c b b b c c b c a a b a b ca b bc a b a bb b c c b c a a b                                    Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 13               2 2 2 2 . b c a b cca b a c b a b a b ab b c c b c c b c c b c c a b                 Bất đẳng thức trên tương đương với:           2 2 2 0 a b c bc a b a bc a b a a b a b c bc a b c a b c a ca               Từ đây , bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c a b c a c a       (Chinese Western MO 2004) Lời giải:Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:                 2 82 2 a b c ab bc caa a a c b c a b a c a b b c c a                               Ta cần chứng minh:          8 9a b c ab bc ca a b b c c a        Đây là 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn 2 2 2 2a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 1 6 a b ca     (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải: Ta có: 2 2 21 a b c ab bc ca      Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 a b c a b c a b a b ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca                            Ta lại có:      2 21 1 1a b ab     Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 14         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 6 5 2 2 2 4 6 6 6 a a b c ab bc ca b ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca                                           Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 1 3 a b c   4 ) Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho x,y > 0 và x + y = 2 . Chứng minh rằng :  3 3 3 3 2x y x y  (Sưu tầm) Lời giải : Ta được :      3 3 2 2 2 22x y x y x xy y x xy y        Quy về bài toán chứng minh:  3 3 2 2 1x y x xy y   Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có:             4 24 2 2 3 3 2 2 2 2 1 4 4 x yxy xy xy x xy y x y x xy y xy xy xy x xy y                          Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x=y=1 Ví Dụ 2: Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: 2 2 3 42 a a b     (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . 22 1 12 1 1 1 1 3 2 41 a a a a b a ba b a a                   Đẳng thức xảy ra

Tài liệu đính kèm:

Bat_Dang_Thuc.pdf

Đề thi liên quan

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2011 - 2012 môn: Toán
Lượt xem: 703 Lượt tải: 1
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
Lượt xem: 1602 Lượt tải: 2
Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 lần I năm học: 2014 - 2015 môn: Toán 9
Lượt xem: 799 Lượt tải: 1
Đề kiểm tra Đại số 9 chương I: Căn bậc hai - Căn bậc ba (Đề 1)
Lượt xem: 1221 Lượt tải: 2
Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2016 - 2017 môn Toán
Lượt xem: 970 Lượt tải: 1
Kiểm tra 1 tiết Hình học lớp 9 chương 1
Lượt xem: 1007 Lượt tải: 0
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Đỗ Động
Lượt xem: 1139 Lượt tải: 0
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Nghệ An (Có đáp án)
Lượt xem: 292 Lượt tải: 0
Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi khối 9 - Năm hoc: 2016 - 2017
Lượt xem: 699 Lượt tải: 1
Tuyển tập 40 đề thi HSG Toán lớp 9
Lượt xem: 1410 Lượt tải: 5