Chuyên đề Phương Pháp Về Chứng Minh Bất đẳng Thức - Đề Thi Mẫu

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Đề Thi Mẫu

Tổng hợp đề thi mẫu tham khảo cho học sinh, sinh viên.

Chuyên đề Phương pháp về chứng minh bất đẳng thức pdf

218 trang | Chia sẻ: bobo00 | Lượt xem: 1821 | Lượt tải: 2

Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề Phương pháp về chứng minh bất đẳng thức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênTr-êng THPT CHUY£N QU¶NG B×NH Đề tài nghiên cứu khoa học PH¦¥NG PH¸P CHøNG MINH BÊT §¼NG THøC Giáo viên hƣớng dẫn : NguyÔn ChiÕn Th¾ng Nhãm t¸c gi¶: TËp thÓ chuyªn To¸n khãa 2012-2015 - 2 - LỜI NÓI ĐẦU Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải. Bất đẳng thức là một trong những dạng toán hay và khó đối với học sinh trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi đại học mà hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngoài ra bất đẳng thức cũng là một dạng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế. Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. Trong đề tài nghiên cứu khoa học này, tập thể lớp 10 Toán trường THPT Chuyên Quảng Bình xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng thức, một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đề tài gồm các bài viết của các nhóm tác giả được trình bày dưới dạng các chuyên đề. Nhóm tác giả - 3 - MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................ 2 MỤC LỤC .................................................................................................................. 3 BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG...................................... 7 1. Bất đẳng thức AM-GM ........................................................................................... 7 1.1. Định lí ................................................................................................................... 7 1.2. Chứng minh ........................................................................................................ 7 1.3. Các dạng thường gặp ......................................................................................... 8 2. Ví dụ.............................................................................................................................. 8 3. Bài tập tự giải ............................................................................................................23 BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ỨNG DỤNG...................... 24 1. Bất đẳng thức Minkowski ......................................................................................24 1.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng 1 ....................................................................24 1.1.1 Định lí ..........................................................................................................24 1.1.2 Chứng minh................................................................................................24 1.2 Bất đẳng thức Minkowski dạng 2......................................................................25 1.2.1 Định lí .........................................................................................................25 1.2.2 Chứng minh................................................................................................25 2. Ví dụ.............................................................................................................................25 3. Bài tập tự giải ............................................................................................................28 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG ............................... 29 1. Bất đẳng thức Holder .............................................................................................29 1.1 Dạng tổng quát ....................................................................................................29 1.1.1 Định lí ..........................................................................................................29 1.1.2 Chứng minh................................................................................................29 1.2 Mở rộng 1 của bất đẳng thức Holder ..............................................................30 1.3 Mở rộng 2 của bất đẳng thức Holder ..............................................................30 1.4 Mở rộng 3 của bất đẳng thức Holder ..............................................................30 2. Ví dụ.............................................................................................................................30 3. Bài tập tự giải ............................................................................................................41 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ .......................................... 43 - 4 - 1.Bất đẳng thức Cauchy-schwarz .............................................................................43 1.1. Định lí ..................................................................................................................43 1.2. Chứng minh .......................................................................................................43 1.3. Hệ quả .................................................................................................................45 2. Ví dụ.............................................................................................................................45 3. Bài tập tự giải ............................................................................................................78 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV ..............................................................82 1.Bất đẳng thức Cheybyshev .....................................................................................82 1.1. Định lí ..................................................................................................................82 1.2. Chứng minh .......................................................................................................82 2. Ví dụ.............................................................................................................................83 3. Bài tập tự giải ............................................................................................................96 BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD ...................................................... 97 1. Giới thiệu bất đẳng thức Muirhead......................................................................97 2. Một số khái niệm liên quan đến Bất đẳng thức Muirhead .............................97 2.1. Bộ trội ..................................................................................................................97 2.2. Trung bình loại .............................................................................................98 2.3. Tổng hoán vị .......................................................................................................98 2.4. Tổng đối xứng ....................................................................................................98 2.5. Lược đồ Young ...................................................................................................99 3. Định lý Muirhead .....................................................................................................99 4. Kỹ thuật sử dụng định lí Muirhead ................................................................... 101 Phương pháp chung ............................................................................................... 101 5. Sử dụng định lý Muirhead với AM – GM, Holder, ASYM, Schur ............ 102 5.1. Bất đẳng thức AM – GM ................................................................................ 102 5.2. Bất đẳng thức Holder ...................................................................................... 102 5.3. Bất đẳng thức ASYM ...................................................................................... 102 5.4. Sử dụng định lý Muirhead với bất đẳng thức Schur ................................. 102 6. Ví dụ........................................................................................................................... 103 7. Bài tập tự giải .......................................................................................................... 112 [ ]a - 5 - PHƢƠNG PHÁP PQR ...................................................................................... 114 1. Kiến thức liên quan ................................................................................................ 114 1.1. Định nghĩa và các phép biến đổi ................................................................... 114 1.2. Phương pháp pqr kết hợp bất đẳng thức Schur .................................. 114 1.3. Mở rộng phương pháp pqr kết hợp hàm số ................................................ 117 2. Bài tập tự giải .......................................................................................................... 119 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƢƠNG S.O.S ............................................................................................................................................ 124 1. Lý thuyết và ví dụ .................................................................................................. 124 1.1 Định lý và các kĩ thuật phân tích ................................................................... 124 1.2. Các tiêu chuẩn và kĩ thuật sắp xếp biến ...................................................... 130 1.3. Ứng dụng tìm hằng số k tốt nhất .................................................................. 135 2. Bài tập tự giải .......................................................................................................... 137 3. Mở rộng..................................................................................................................... 141 SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP S.O.S TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .............................................................................................. 142 1. Lời nói đầu .............................................................................................................. 142 2. Xây dựng định lí, tiêu chuẩn ............................................................................... 142 3. Phân tích cơ sở ........................................................................................................ 143 4. Các ứng dụng của phƣơng pháp S.O.S ............................................................. 144 5. Bài tập vận dụng .................................................................................................... 149 6. Bài tập dành cho bạn đọc ..................................................................................... 151 PHƢƠNG PHÁP DỒN BIẾN ....................................................................... 153 1. Kiến thức liên quan ............................................................................................... 153 2. Ví dụ minh họa ....................................................................................................... 157 3. Bài tập vận dụng .................................................................................................... 184 SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .......................................................................................................... 187 1. Phƣơng trình tiếp tuyến tổng quát .................................................................... 187 2. Sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức ......................................... 187 3. Ví dụ .......................................................................................................................... 188 - 6 - PHƢƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE ......................................... 203 1. Cơ sở lí thuyết ......................................................................................................... 203 2. Một số ví dụ ............................................................................................................. 204 3. Bài tập vận dụng .................................................................................................... 215 KẾT LUẬN ............................................................................................................... 218 - 7 - BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG Đoàn Quốc Đạt – Ngô Hoàng Thanh Quang 1. Bất đẳng thức AM-GM 1.1. Định lí Định lí (Bất đẳng thức AM-GM). Với mọi số thực dương 1 2, ,..., na a a ta có bất đẳng thức 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 1.2. Chứng minh Phương pháp “Quy nạp Cauchy” Với   2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 : 0 2 2 2 a aa a a a n a a a a         (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng với n k ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với 2n k . Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: 1 2 2 1 2 1 2 2... ... ...1 2 2 2 k k k k ka a a a a a a a a k k k                2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2... ... ... ... ... ... k k k k k k k k k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a        Giả sử bất đẳng thức đúng với n p ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với 1n p  . Thật vậy, xét 1p số: 1 2 1, ,..., 0.pa a a   Sử dụng giả thiết quy nạp với n p ta có: 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ... ... ... . ... ... p p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a p               1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1... ... . ... p p p p pa a a a a a p a a a           - 8 -   1 2 11 11 2 1 1 2 1 1 1 ... ... 1 . ... ... 1 pp p p p p a a a a a a p a a a a a p                  Theo nguyên lí quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi 2, .n n   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 1.3. Các dạng thường gặp n 2n  3n  4n  Điều kiện , 0a b  , , 0a b c  , , , 0a b c d  Dạng 1 2 a b ab   3 3 a b c abc    4 4 a b c d abcd     Dạng 2 2 2 a b ab       3 3 a b c abc        4 4 a b c d abcd         Dấu bằng a b a b c  a b c d   2. Ví dụ Ví dụ 1: (Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm , ,a b c ta có 3 2 a b c b c a c a b       Giải: Xét các biểu thức sau a b c S b c a c a b b c a M b c a c a b c a b N b c a c a b                   Ta có 3M N  . Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì - 9 - 3 3 a b b c c a M S b c a c a b a c a b b c N S b c a c a b                       Vậy 2 6 2 3M N S S     hay 3 2 a b c b c a c a b       Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  (đpcm) Nhận xét: Bài này còn nhiều cách giải khác nhưng có lẽ đây là cách hay nhất vì việc nghĩ ra các biểu thức ,M N không phải là dễ dàng. Ví dụ trên phần nào cho ta thấy được sức mạnh và sự tinh tế của bất đẳng thức AM- GM, nhưng đó chỉ mới là một ví dụ đơn giản. Chúng ta sẽ xét đến kĩ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức AM-GM qua ví dụ sau. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm , ,a b c ta có 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b         Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 2 2 . 4 4 a b c a b c a b c b c        2 2 2 2 2 . 4 4 2 . 4 4 b a c b a c b a c a c c a b c a b c a b a b               Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có: 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c a c a b            Hay 2 2 2 2 a b c a b c b c a c a b         - 10 - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  (đpcm) Nhận xét: Đây là dạng bài tập đánh giá điểm rơi từ AM sang GM. Nếu những ai mới chỉ tiếp xúc qua bất đẳng thức AM-GM thì có thể nhận xét rằng việc tìm ra đánh giá 2 2 2 . 4 4 a b c a b c a b c b c        có vẻ mang nhiều tính may mắn. Nhưng không phải vậy, chúng ta cùng để ý, điểm rơi của bất đẳng thức trên tại a b c  . Khi đó 2 2 a a b c   , chúng ta phải tạo ra một biểu thức để vừa có giá trị bằng 2 a , vừa có thể loại được mẫu của biểu thức 2a b c . Hơn nữa, 2 vế của bất đẳng thức là đồng bậc 1, từ đó dễ dàng nhận ra biểu thức thêm vào phải là 4 b c . Sử dụng kết quả bài này ta có thể làm bài toán sau: Ví dụ 3: [IMO 1995] Cho , , 0a b c  thỏa mãn 1abc  . Chứng minh rằng:      3 3 3 1 1 1 3 2a b c b a c c a b       (1) Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:      3 3 3 1 1 1 1 2 abc abc abc a b c b a c c a b a b c              2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c b c a c a b              Đặt 1 1 1 , ,x y z a b c    , ta quay trở lại ví dụ 2. Nhận xét: Bài này có thể giải bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz mà chúng ta sẽ xét trong phần sau. Ví dụ 4: Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng: 2 2 2 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b            - 11 - Giải: Ta có:             1 1 1 . 2 4 1 1 1 . 2 4 1 1 1 . 2 4 ab ab ab a b c a c b c a c b c bc bc bc b c a a b b c a b b c ca ca ca c a b a b b c a b b c                                           Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  Nhận xét: Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số: Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Ta có:   21 2 1 2 1 1 1 ... ...n n a a a n a a a             Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . Ví dụ 5: Cho 3 số , ,a b c không âm, chứng minh rằng:       3 3 3 3 3 33 3 3 1 a b c a b c b a c c a b          Giải: Xét bất đẳng thức phụ sau:   2 31 1 0 2 x x x     Thật vậy, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:    2 2 3 2 1 11 1 1 1 2 2 x x x x x x x x             (1) Áp dụng vào bài toán ta có:   3 2 3 3 2 2 2 23 1 1 1 1 1 2 a a a b ca b c b c b c a a                     Tương tự ta có - 12 -   3 2 3 2 2 23 b b a b cb a c       3 2 3 2 2 23 c c a b cc a b     Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . Nhận xét: Bài toán trên thuộc dạng bài tập đánh giá điểm rơi của bất đẳng thức từ biểu thức GM sang AM. Điểm khó của ví dụ trên là nằm ở chỗ đổi biến và tìm ra bất đẳng thức phụ (1). Bài tập trên còn có thể giải bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Ví dụ 6 [diendantoanhoc.net] Cho 3 số thực dương , ,a b c thỏa mãn 1ab bc ca   .Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ab bc ca a b c          Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 2 3 cyc ab bc ca ab bc ca ab bc ca a ab bc ca ab bc ca a                 3 3 .cyc cyc cyc a b a ca b b a a a          Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì    1 6 . 2cyc cyc cyc a b a c a b a a b a             Cần chứng minh 6 cyc cyc a b b a    (hiển nhiên đúng theo AM-GM) Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c   - 13 - Nhận xét: Với bài toán trên, nếu khéo léo sử dụng giả thiết 1ab bc ca   thì bài toán sẽ trở nên đơn giản. Ví dụ 7: Cho các số thực dương , ,a b c . Chứng minh: a b c a b b c c a b c a c a a b b c            Giải: Đặt , , a b c x y z b c a    . Khi đó, ta có: 1 1 1 1 a b yz y y c a z z          Bài toán quy về việc chứng minh: 1 1 1 0 1 1 1 x y z y z x                  2 2 21 1 1 1 1 1 0x z y x z y          2 2 2 2 2 2 3x z z y y x x y z x y z          Dễ thấy theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 2 3 3 333 3x z z y y x x y z    `   2 2 2 2 3 x y z x y z x y z         (vì 3x y z   ) Kết thúc chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . Nhận xét: Để ý rằng biểu thức ở vế phải của bất đẳng thức chứa phép cộng giữa 2 biến ở cả tử và mẫu nên việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM một cách trực tiếp là vô cùng khó khăn. Do đó phương án khả dĩ nhất là đổi biến để tạo ra bất đẳng thức mới. Bây giờ, chúng ta sẽ xét tới một kĩ thuật mới trong việc chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM, đó là kĩ thuật đánh giá phủ định. Kĩ thuật này được dùng để chứng - 14 - minh một số bất đẳng thức khi áp dụng trực tiếp AM-GM thì bị ngược dấu rất hiệu quả. Ví dụ 8 [ Bulgarian TST 2003] Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 3a b c   . Chứng minh: 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c S b c a        Giải: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a ab ab ab a a a b b b b bc bc bc b b b c c c c ca ca ca c c a a a a                         Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có:       1 1 3 2 2 S a b c ab bc ca ab bc ca          Mặt khác:     2 9 3 3a b c ab bc ca ab bc ca          Từ đó suy ra 3 2 S  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a b c   Nhận xét: 1. Ở bất đẳng thức ban đầu, nếu ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM- GM thì sẽ bị ngược dấu. Ví dụ:     3 3 2 2 2 3 3. 3. 2 .2 .2 21 1 1 abc abc S b c ab c a       (sai) 2. Ta có bài toán tổng quát của bài toán trên: Cho các số thực dương 1 2, ,..., na a a thỏa mãn 1 2 ... na a a n    . Chứng minh rằng: 1 2 2 2 2 2 3 1 ... 1 1 1 2 naa a n a a a        - 15 - Ví dụ 9: Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh:   3 2 2 2 28 a b c ab bc ca abc a b c            Giải: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:           3 62 2 2 2 2 2 2 2 3 27 ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b c                   Suy ra:           3 3 2 62 2 2 2 2 2 27ab bc ca ab bc caab bc ca a b c ab bc ca a b c a b c                Cần chứng minh:       3 62 12 27 28 a b c ab bc ca abc a b c         Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:               6 3 2 2 23 6 62 5 5 12 4 42 2 34 27 5 5 5 27 27 27 a b ca b c ab bc ca ab bc ca abc a b c abc abc             (1) Mặt khác, ta có:   3 23. 23 27 a b c abc    (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0a b c   Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không quan sát kĩ lưỡng mà áp dụng ngay bất đẳng thức AM-GM thì sẽ dẫn đến ngược dấu vì   3 27 a b c abc    nhưng 2 2 2 1 ab bc ca a b c      . Qua đó cho chúng ta thấy được vẻ đẹp và sức mạnh của phối hợp hai bất đẳng thức đồng bậc ngược chiều. - 16 - Ví dụ 10 [IMO 2005]: Cho các số dương , ,x y z thỏa mãn 2 2 2 3x y z   . Chứng minh rằng: 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 0 x x y y z z x y z y z x z x y             Giải: Bất đẳng thức đã cho được viết lại như sau: 5 2 2 2 2 2 1 3 cyc x y z x y z       Từ đây ta suy ra chỉ cần xét trường hợp 2 2 2 3x y z   . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 5 2 1 1 3cyc x x     Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 6 6 5 2 2 1 x x x x x    Đặt 2 2 2, ,a x b y c z   . Suy ra: 3a b c   . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 1 1 2 3 1 cyc a a a      3 2 1 1 2 2 3cyc a a a a           2 2 3 2 1 2 3 3 0 2 2 3cyc a a a a a a           (1) Không mất tính tổng quát, giả sử a b c  , suy ra 1a c  . Xét 2 trường hợp: +TH1: 1b c  , suy ra 2a  , khi đó: - 17 - 3 3 3 2 3 3 0 2 3 3 0 2 3 3 0 a a b b c c             Suy ra, (1) đúng. +TH2: 1b c  , suy ra 2a  , khi đó:    3 2 3 22 2 3 5 1 2 3 2a a a a a a a         3 3 3 2 3 2 3 1 3 2 1 3 2 2 2 0 2 2 2 2 a a a a a a                      Suy ra 3 2 1 1 2 2 3 5 a a a a      . Cần chứng minh: 3 2 3 2 1 1 4 2 2 3 2 2 3 5 b c b b b c c c           Ta có bổ đề: Với mọi 0 1x  , ta có: 3 2 1 2 2 2 3 5 x x x x      (2) Ta có (2) tương đương với:   34 1 2 1x x x   + Nếu 1 2 x  , ta có điều phải chứng minh. + Nếu 1 2 x  , ta có:       3 3 34 1 2 1 4 2 2 1 2 2 2 1x x x x x x x            222 2 1 2 1 0x x x      (đpcm) Bất đẳng thức (1) đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a b c   . Nhận xét: 1. Điểm khó của bài toán này là việc đưa bất đẳng thức về dạng (1) nhờ bất đẳng thức AM-GM. - 18 - 2. Bài toán này có thể giải bằng mộ

File đính kèm:

bat dang thuc chuyen quang binh.pdf

Đề thi liên quan

Đề ôn tập thi tuyển lớp 10 ( số 1 ) năm 2005- 2006
16 trang | Lượt xem: 1000 | Lượt tải: 0
Đề thi học kì II môn: Toán học 10CB
5 trang | Lượt xem: 884 | Lượt tải: 0
Đề thi giải toán trên máy tính casio ( hình học ) đề thi số 1
17 trang | Lượt xem: 987 | Lượt tải: 0
Đề 1 thi học kỳ 1 khối 10 thời gian 90 phút
4 trang | Lượt xem: 720 | Lượt tải: 0
Đề XVI ôn tập học kì 2 – năm học môn toán lớp 10 thời gian làm bài 90 phút
3 trang | Lượt xem: 631 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra học kì II năm học 2007 – 2008 môn: toán 10 thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
2 trang | Lượt xem: 858 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra học kỳ II môn: khối 10 cơ bản
7 trang | Lượt xem: 982 | Lượt tải: 0
Bài giảng môn toán lớp 10 - Bài toán 1: sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
58 trang | Lượt xem: 925 | Lượt tải: 0
Kiểm tra chất lượng giữa học kì II năm học: 2013 – 2014 môn: toán 10 thời gian : 60 phút
4 trang | Lượt xem: 1028 | Lượt tải: 0
Bài kiểm tra 15 phút. môn: đại số lớp 10
2 trang | Lượt xem: 680 | Lượt tải: 0