Các Dạng Bài Tập Giới Hạn Hàm Số Lớp 11 Từ Căn Bản Tới Nâng Cao

Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt các dạng vào giải bài tập.

1. Lý thuyết giới hạn hàm số

1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) \ {x0} mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c$ = c, với c là hằng số.
• Nếu hàm số f (x) xác định tại điểm x0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và y = f (x) là một hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) \ {x0} mà lim xn = x0

ta đều có limf(xn)= ±∞

Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$  = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; +∞) mà lim xn = +∞

ta đều có lim f (xn) = L

1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn

Sau đây là 3 định lý quan trọng về giới hạn hữu hạn hàm số

1.4 Giới hạn một bên

Đề tìm giới hạn bên phải hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết quan trọng sau

1.5 Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực

Sau đây là 2 Quy tắc quan trọng đề tìm giới hạn vô cực bạn cần nhớ

1.6 Các dạng vô định

2. Phân dạng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn

Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.

Bài tập 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x – 1}}$

Lời giải

Dạng 2. Chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ không tồn tại

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\cos x} \right)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai dãy số {xn} và {yn} với:

Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của những hàm số mà ta đã biết giới hạn.

Ta có kết quả sau:

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)$

ta thực hiện các bước sau:

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} + x} \right)$

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} + x} \right)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

• Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f(x)
• Với hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ có f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bằng ∞.
• Trong trường hợp với hàm số $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ có f(x0) = 0 (tức có dạng $\frac{0}{0}$)
• Chúng ta cần sử dụng các phép biến đổi đại số để khử dạng $\frac{0}{0}$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử chung (x − x0)

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng các định lí với lưu ý sau:

• x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x0 và x > x0 ( khi đó |x − x0| = x − x0 ).
• x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x0 và x < x0 ( khi đó |x − x0| = x0 − x)

Bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}}$

Lời giải

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x – 6}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 3 = 3$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{\left| {3x – 6} \right|}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – 3x + 6}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { – 3} \right) = – 3$

Nhận xét: Vậy, nếu hàm số f(x) không xác định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

Bài tập 5. Cho hàm số

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)$

Lời giải

Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $\frac{0}{0}$

Bản chất của việc khử dạng không xác định $\frac{0}{0}$ là làm xuất hiện nhân tử chung để:

• Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định
• Hoặc là biến đổi về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết kết quả hoặc biết cách giả

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai cách sau

Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản

Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa với các bước

b) Đối với dạng 1∞ cần nhớ các giới hạn cơ bản sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e$

Trên đây là bài viết chia sẻ cách tìm giới hạn hàm số và các dạng bài tập thường gặp. Bài tới ta sẽ học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.

Mọi thắc mắc bạn vui lòng để lại bình luận bên dưới để Toán học giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả