Các Dạng Toán Tính Tổng Dãy Số Lũy Thừa Có Quy Luật Và Bài Tập

Có thể bạn quan tâm

Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh "giải tỏa được căng thẳng" khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập.

» xem thêm: Cách tìm Ước chung lớn nhât và Bội chung nhỏ nhất cực hay

I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp.

- Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

- Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 - 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) = 1+ 3 = 4 = 22

Thử với n= 3, ta có: S3 = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

... ... ...

- Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2

• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2

Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2

1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒ 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1) $small S_{n}=1+2+3+...+n=frac{n(n+1)}{2};forall nin mathbb{N}$

2) $small S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3) $small S_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

4) $small S_{n}=1^{5}+2^{5}+...+n^{5}=frac{1}{12}.n^{2}(n+1)^{2}.(2n^{2}+2n-1)$

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp

- Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,...,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

... ... ...

an = bn - bn+1

⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 - b2) + (b2 - b3)+...+(bn - bn+1) = b1 - bn+1

* Ví dụ 1: Tính tổng:

$small S=frac{1}{10.11}+frac{1}{11.12}+frac{1}{12.13}+...+frac{1}{99.100}$

° Hướng dẫn: - Ta có:

$small frac{1}{10.11}=frac{1}{10}-frac{1}{11};$ $small frac{1}{11.12}=frac{1}{11}-frac{1}{12};$

$small frac{1}{12.13}=frac{1}{12}-frac{1}{13};$ ...; $small frac{1}{99.100}=frac{1}{99}-frac{1}{100};$

⇒ $small S=frac{1}{10}-frac{1}{11}+frac{1}{11}-frac{1}{12}+frac{1}{12}-frac{1}{13}+...+frac{1}{99}-frac{1}{100}$ $small =frac{1}{10}-frac{1}{100}=frac{9}{100}$

• Dạng tổng quát:

$small dpi{100} fn_cm small S_{n}=frac{1}{1.2}+frac{1}{2.3}+...+frac{1}{n.(n+1)}$ $small =1-frac{1}{n+1}=frac{n}{n+1}$

* Ví dụ 2: Tính tổng:

$small S_{n}=frac{1}{1.2.3}+frac{1}{2.3.4}+...+frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

° Hướng dẫn: - Ta có:

$small dpi{100} fn_cm small frac{1}{1.2.3}=frac{1}{2}left ( frac{1}{1.2}-frac{1}{2.3} ight );$ $small frac{1}{2.3.4}=frac{1}{2}left ( frac{1}{2.3}-frac{1}{3.4} ight )$ ;...; $small frac{1}{n.(n+1).(n+2)}=frac{1}{2}left ( frac{1}{n.(n+1)}-frac{1}{(n+1).(n+2)} ight )$

$small Rightarrow S_{n}=frac{1}{2}left ( frac{1}{1.2}-frac{1}{2.3} ight )+ frac{1}{2}left ( frac{1}{2.3}-frac{1}{3.4} ight )$ $small +...+frac{1}{2}left ( frac{1}{n.(n+1)}-frac{1}{(n+1).(n+2)} ight )$

$small Leftrightarrow S_{n}=frac{1}{2}left [ frac{1}{1.2}-frac{1}{2.3}+frac{1}{2.3}-frac{1}{3.4}+...+frac{1}{n(n+1)}-frac{1}{(n+1)(n+2)} ight ]$

$small Leftrightarrow S_{n}=frac{1}{2}left [ frac{1}{1.2}-frac{1}{(n+1)(n+2)} ight ]=frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

* Ví dụ 3: Tính tổng:

$small S_{n}=frac{3}{(1.2)^{2}}+frac{5}{(2.3)^{2}}+...+frac{2n+1}{left [n(n+1) ight ]^{2}}$

° Hướng dẫn: - Ta có:

$small frac{2i+1}{left [i(i+1) ight ]^{2}}=frac{1}{i^{2}}-frac{1}{(i+1)^{2}};i=1;2;3;...;n$

$small Rightarrow S_{n}=left ( 1-frac{1}{2^{2}} ight )+ left (frac{1}{2^{2}}-frac{1}{3^{2}} ight )+...+ left (frac{1}{n^{2}}-frac{1}{(n+1)^{2}} ight )$

$small =left (1-frac{1}{(n+1)^{2}} ight )=frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}$

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 - 2100)

⇒ S = 1+ 2(S - 2100) = 1+ 2S - 2101

⇒ S = 2101 - 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

- Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S - S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) - (1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ S = 2101 - 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$small S_{n}=1+a+a^{2}+...+a^{n};(a,nin mathbb{N},a> 1,ngeq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: $small S_{n}=frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100

° Hướng dẫn:- Ta có:

2S = 2(1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 - 22 + 23 - 24 + 25 - . . . - 2100 + 2101

⇔ 2S + S = (2 - 22 + 23 - 24 + 25 - . . . - 2100 + 2101) + (1 - 2 + 22 - 23 + 24 - . . . - 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

$small Rightarrow S=frac{2^{101}+1}{3}$

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$small S_{n}=1-a+a^{2}-a^{3}+...-a^{2n-1} +a^{2n};(a,nin mathbb{N},a> 1,ngeq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $small dpi{100} fn_cm small S_{n}=frac{a^{2n+1}+1}{a+1}$

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

- Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

- Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102 (**)

- Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) - (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 - 1

$small Rightarrow S=frac{3^{102}-1}{8}$

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$small S_{n}=1+a^{d}+a^{2d}+...+a^{nd};(a,n,din mathbb{N};a> 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$small S_{n}=frac{a^{(n+1)d}-1}{a^{d}-1}$

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299 (*)

° Hướng dẫn:

- Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

23.S = 23.(1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299)

⇒ 8S = 23 - 26 + 29 - 212+ . . . + 299 - 2102 (**)

- Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S + S = (23 - 26 + 29 - 212+ . . . + 299 - 2102)+(1 - 23 + 26 - 29+ . . . + 296 - 299)

⇔ 9S = 1 - 2102 $small Rightarrow S=frac{1-2^{102}}{9}$

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$small dpi{100} fn_cm small S_{n}=1-a^{d}+a^{2d}-a^{3d}+...+a^{nd};(a,n,din mathbb{N};a> 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

$small S_{n}=frac{1-a^{(n+1)d}}{a^{d}+1}$

III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

- Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Số số hạng = [(số cuối - số đầu):(khoảng cách)] + 1

- Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 39

° Hướng dẫn:

- Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + ... + 59

° Hướng dẫn:

- Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.