Tính Tổng Dãy Số Lũy Thừa Có Quy Luật - Học Toán 123

☰ NỘI DUNG BÀI VIẾT Đây là bài thứ 11 of 27 trong series Toán nâng cao lớp 6Toán nâng cao lớp 6

• Một số bài toán tính nhanh lớp 6
• 27 bài toán về bội chung có lời giải – Toán nâng cao lớp 6
• Cách tính số giao điểm – Toán nâng cao lớp 6
• 32 bài toán về tia phân giác của một góc – Toán nâng cao lớp 6
• So sánh hai tổng hoặc hai tích mà không tính cụ thể giá trị của chúng
• 19 bài tập tìm tập hợp, bội chung nhỏ nhất – Toán nâng cao lớp 6
• Một số bài toán chứng minh chia hết lớp 6 nâng cao
• Bài tập so sánh 2 lũy thừa nâng cao có lời giải
• Cách tính số góc, số tam giác tạo thành – Toán nâng cao lớp 6
• Bài tập so sánh tổng lũy thừa nâng cao có lời giải
• Bài toán nâng cao về tập hợp số tự nhiên lớp 6 có đáp án
• Dạng toán tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên – Toán nâng cao lớp 6
• Bài toán liên quan đến chia hết nâng cao lớp 6 có lời giải
• Các bài toán rút gọn nâng cao lớp 6 có lời giải
• Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật
• Bài tập tính giá trị biểu thức lớp 6 nâng cao có đáp án
• Tìm giá trị nhỏ nhất – lớn nhất của phân số – Toán lớp 6
• 34 bài toán tính tổng phân số có hướng dẫn giải
• 15 bài tính tổng tự nhiên dạng tích có hướng dẫn giải
• Cách tính số điểm, đường thẳng, đoạn thẳng – Toán nâng cao lớp 6
• 46 bài toán bội chung có dư có lời giải – Toán nâng cao lớp 6
• Ứng dụng đồng dư thức vào giải toán lớp 6 nâng cao
• Cách làm dạng toán chứng minh chia hết cho một số
• Tìm chữ số chưa biết để thỏa mãn điều kiện để chia hết
• Cách tính số các số tự nhiên
• Các dạng toán tính tổng các lũy thừa theo quy luật
• Chuyên đề điền chữ số còn thiếu trong phép tính

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Để tính được tổng dãy số lũy thừa có quy luật thì cần phải có phương pháp giải. Đó là các phương pháp:

1. Phương pháp quy nạp

2. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA

Với các dạng toán dưới đây, các em dùng phương pháp tính nêu ở trên để áp dụng vào giải.

1. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100)

⇔ S = 2101 – 1.

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_{n}=1+a+a^{2}+\ldots+a^{n} ;(a, n \in \mathbb{N}, a>1, n \geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: $S_{n}=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$

Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

Hướng dẫn:

Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

⇔ $S=\dfrac{2^{101}+1}{3}$

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_{n}=1-a+a^{2}-a^{3}+\ldots-a^{2 n-1}+a^{2 n} ;(a, n \in \mathbb{N}, a>1, n \geq 1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: $S_{n}=\frac{a^{2 n+1}+1}{a+1}$

Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 (*)

Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

⇔ $S=\dfrac{3^{102}-1}{8}$

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_{n}=1+a^{d}+a^{2 d}+\ldots+a^{n d} ;(a, n, d \in \mathbb{N} ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

$S_{n}=\dfrac{a^{(n+1) d}-1}{a^{d}-1}$

Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)

Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

23.S = 23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 ⇔ $S=\dfrac{1-2^{102}}{9}$

Tổng quát cho dạng toán này như sau:

$S_{n}=1-a^{d}+a^{2 d}-a^{3 d}+\ldots+a^{n d} ;(a, n, d \in \mathbb{N} ; a>1)$

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

$S_{n}=\dfrac{1-a^{(n+1) d}}{a^{d}+1}$

2. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

Để đếm được số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Số số hạng = [(số cuối – số đầu) : (khoảng cách)] + 1

Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu + số cuối) . (số số hạng)] : 2

Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

Hướng dẫn:

Số số hạng của S là: (59-2):3+1 = 19+1 = 20.

Tổng S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

3. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

Ký hiệu: $\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$

Tính chất:

$\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}$

$\sum_{i=1}^{n} a \cdot a_{i}=a \sum_{i=1}^{n} a_{i}$

Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

Hướng dẫn:

Ta có: $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} i(i+1)=\sum_{i=1}^{n}\left(i^{2}+i\right)=\sum_{i=1}^{n} i^{2}+\sum_{i=1}^{n} i$

Mặt khác, lại có:

$\sum_{i=1}^{n} i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ (theo PP quy nạp ở mục I).

$\sum_{i=1}^{n} i^{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ (theo PP quy nạp ở mục I)

⇒ $S_{n}=\dfrac{n(n+2)}{2}+\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … + 95 +101

c) $S=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{23}+\dfrac{1}{3\cdot 4} \ldots+\dfrac{1}{49\cdot 50}$

d) $S=\dfrac{6}{5\cdot 7}+\dfrac{6}{79}+\dfrac{6}{9\cdot 11}+\ldots+\dfrac{6}{57\cdot 59}$

Bài 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … + (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b) $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{1}{2^{0}}=1-\dfrac{1}{20}$

Series Navigation<< Các bài toán rút gọn nâng cao lớp 6 có lời giảiBài tập tính giá trị biểu thức lớp 6 nâng cao có đáp án >>