Các Dạng Toán Về Dãy Số | Toán Nâng Cao Lớp 4

1. Dãy số “cách đều” (tức là hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn luôn bằng nhau

a) Dãy số tự nhiên là dãy số “cách đều”.

Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Dãy số đã cho có 6 số tự nhiên liên tiếp và ta thấy:

2 – 1 = 1

3 – 2 = 1

4 – 3 = 1

5 – 4 = 1

6 – 5 = 1

Hai số liền nhau hơn (kém) nhau 1 đơn vị.

b) Dãy số chẵn liên tiếp là dãy số “cách đều”.

Ví dụ 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Dãy số đã cho có 7 số chẵn liên tiếp và ta thấy:

4 – 2 = 2

6 – 4 = 2

8 – 6 = 2

10 – 8 = 2

12 – 10 = 2

14 – 12 = 2

Hai số liền nhau hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

c) Dãy số lẻ liên tiếp là dãy số “cách đều”.

Ví dụ 3: Cho dãy số: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31.

Dãy số đã cho có 11 số và ta thấy:

13 – 11 = 2

15 – 13 = 2

17 – 15 = 2

19 – 17 = 2

21 – 19 = 2

23 – 21 = 2

25 – 23 = 2

27 – 25 = 2

29 – 27 = 2

31 – 29 = 2

Hai số liền nhau của dãy số hơn (kém) nhau 2 đơn vị.

2 – Một vày dãy số cách đều khác.

Ví dụ 1: Cho dãy số: 3, 6, 9, 12, 15.

Dãy số đã cho có 5 số và ta thấy:

6 – 3 = 3

9 – 6 = 3

12 – 9 = 3

15 – 12 = 3

Hai số liền nhau của dãy số hơn (kém) nhau 3 đơn vị. Vậy dãy số đã cho là dãy số “cách đều”.

Bài toán 1. Tính tổng của 10 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên.

Giải

10 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ta thấy: 0 + 9 = 9

1 + 8 = 9

2 + 7 = 9

3 + 6 = 9

4 + 5 = 9

Nếu ta sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số thì ta được các cặp số đều có tổng là 9.

Số cặp số là:

10 : 2 = 5 (cặp số)

Tổng của 10 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là:

9 x 5 = 45

Đáp số: 45

Khi số lượng số hạng của tổng là số chẵn (10) thì ta cứ việc sắp các cặp số từ hai đầu dãy số vào vì số chẵn chia hết cho 2.

Bài toán 2. Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.

Giải

19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37

Ta thấy: 1 + 37 = 38

3 + 35 = 38

5 + 33 = 38

7 + 31 = 38

9 + 29 = 38

………………..

Nếu ta sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số vào thì ta được các cặp số đều có tổng là 38.

Số các cặp số là:

19 : 2 = 9 (cặp số) dư 1 số

Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19.

Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

38 x 9 + 19 = 361

Đáp số: 361

Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số là số lẻ (19) thì khi sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số vào sẽ dư lại số hạng ở chính giữa dãy số vì số lẻ chia 2 sẽ dư 1. Nếu dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại không sắp cặp sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể giải như cách 2 dưới đây.

Cách 2. Ta để lại số hạng đầu tiên là 1 thì dãy số còn số số hạng là:

19 – 1 = 18 (số hạng)

Ta thấy: 3 + 37 = 40

5 + 35 = 40

7 + 33 = 40

9 + 31 = 40

11 + 19 = 40

……………….

Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số cách đều hai đầu dãy số có 18 số hạng vào thì được các cặp số đều có tổng là 40 và số cặp số là:

18 : 2 = 9 (cặp số)

Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

1 + 40 x 9 = 361

Đáp số: 361

Khi số số hạng là số lẻ, ta để lại 1 số hạng ở hai đầu dãy số (số đầu hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp số. Lấy tổng mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số.

Bài toán 3. Dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 116 có bao nhiêu số hạng ?

Cách 1: Nếu ta bổ sung vào dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 116 các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 115 thì ta được dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 116 nên có 116 số hạng.

Khi đó, dãy số bắt đầu từ số lẻ (1), kết thúc là số chẵn (116) nên số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.

Vậy số lượng số chẵn liên tiếp từ 2 đến 116 là:

116 : 2 = 58 (số)

Đáp số: 58 số.

Cách 2. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Ta lại thấy:

Giữa 2 số liền nhau có 1 khoảng cách (2 đơn vị).

Giữa 3 số liền nhau có 2 khoảng cách (2 đơn vị)

Giữa số đầu tiên (2) đến số cuối (116) có số khoảng cách kém số các số hạng là 1.

………………………………………………………………………………….

Mà, số cuối hơn số đầu là:

116 – 2 = 114

Từ số đầu đến số cuối có số khoảng cách 2 đơn vị là:

114 : 2 = 57 (khoảng cách)

Vậy số số hạng của dãy số là:

57 + 1 = 58 (só hạng)

Đáp số: 58 số hạng

3. Một vài dãy số không cách đều khác.

Ví dụ 1: Cho dãy số: 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34

Ta thấy: 1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34

Dãy số đã cho được lập theo quy luật sau (gọi là quy luật của dãy số). Kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước nó.

Ví dụ 2: Cho dãy số: 1 x 2 x 4 x 8 x 16 x 32. Tìm quy luật của dãy số đã cho.

Giải

Ta thấy: 2 : 1 = 2

4 : 2 = 2

8 : 4 = 2

16 : 8 = 2

32 : 16 = 2

Quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ thừa số thứ hai trở đi, mỗi thừa số bằng 2 lần thừa số liền trước nó.

Ví dụ 3: Cho dãy số: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28. Tìm quy luật của dãy số.

Giải

Ta thấy: 1 + 2 = 3 trong đó 2 là số thứ tự của số hạng thứ hai.

3 + 3 = 6 trong đó 3 là số thứ tự của số hạng thứ ba.

6 + 4 = 10 trong đó 4 là số thứ tự của số hạng thứ tư.

10 + 5 = 15 trong đó 5 là số thứ tự của số hạng thứ năm.

15 + 6 = 21 trong đó 6 là số thứ tự của số hạng thứ sáu.

21 + 7 = 28 trong đó 7 là số thứ tự của số hạng thứ bảy.

Quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trước với số thứ tự của nó trong dãy số.

Chú ý: 

Có rất nhiều dãy số có quy luật khác nhau. Vì vậy, khi làm bài toán về dãy số thì bắt buộc phải tìm được quy luật của dãy số đó.

Trong bài toán về dãy số, thường thì người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết hết ra được. Vì vậy phải tìm được quy luật dãy số mới tìm được các số mà dãy số không cho biết.

Ví dụ: Cho tích số: 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x …. x 89 x 144.

Hỏi tích trên tận cùng bởi mấy chữ số giống nhau ?

Để giải được bài toán, phải tìm được các thừa số chưa biết.

Muốn vậy phải tìm được quy luật của dãy số.

(Tìm quy luật dãy số như ví dụ của các dãy số không cách đều)

Dãy số đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Từ đó mới có thể xét được tích. Việc xét tích trên ta sẽ xét ở phần bài luyện tập.

Xem thêm: Bài 7: Bài tập về phép cộng