Các Phép Toán Vector Trong Tọa độ Không Gian - Chủ Đề Toán 12

Trang chủ » Các Công Thức Vecto Trong Không Gian Lớp 12 » Các Phép Toán Vector Trong Tọa độ Không Gian - Chủ Đề Toán 12

Có thể bạn quan tâm

  • Trang chủ
  • Lớp 4
  • Lớp 5
  • Lớp 6
  • Lớp 7
  • Lớp 8
  • Lớp 9
  • Lớp 10
  • Lớp 11
  • Lớp 12
  • Khác
  • Trang chủ /
  • Chủ Đề Toán 12 /
  • Các phép toán vector trong tọa độ không gian

Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit

1, BÀI TOÁN LÃI GỘP CƠ BẢN 2, LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA 3, LOGARIT 4, HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT 5, Phương trình - Bất phương trình Mũ 6, Phương trình - Bất phương trình Logarit

Chương 1: Khối Đa Diện

1, Phương pháp làm nhanh thể tích đa diện 2, Lý thuyết về khối đa diện- Đa diện đều

Chương 3: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng

1, Tổng hợp các dạng nguyên hàm tích phân 2, Ứng Dụng Tích Phân giải bài toán vận tốc và quãng đường 3, Nguyên hàm tích phân hàm phân thức 4, PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 5, PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 6, Tích phân giá trị tuyệt đối 7, Ứng dụng tích phân tính diện tích - Thể tích 8, Tích phân đặc biệt 9, Tích phân hàm ẩn chứa f(x), f'(x)

Chương 4: Số Phức

1, Lý thuyết chung về số phức 2, Giải phương trình trên tập số phức 3, các phép toán trên tập số phức 4, số phức chứa liên hợp và module 5, Dạng lượng giác của số phức 6, Max Min Số Phức

Chương 6: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

1, Các phép toán vector trong tọa độ không gian 2, Phương trình mặt phẳng 3, Phương trình đường thẳng 4, Phương trình mặt cầu 5, Các bài toán liên quan giữa mặt cầu đường thẳng và mặt phẳng 6, Giải hình không gian cổ điển dùng tọa độ - Phương Pháp Tọa Độ Hóa Các phép toán vector trong tọa độ không gian theluc95 | 5 năm trước | 5936 lượt xem | Chủ Đề Toán 12

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1. ĐỊNH NGHĨA TOẠ ĐỘ VECTOR, TOẠ ĐỘ ĐIỂM

Hệ toạ độ trong không gian:

- 3 trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là trục hoành, trục tung, trục cao.

- 3 mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Oxz) được gọi là 3 mặt phẳng toạ độ.

- 3 vector \(\displaystyle \overrightarrow i ,\;\;\overrightarrow j ,\;\;\overrightarrow k \)cùng hướng với 3 tia Ox, Oy, Oz và có độ dài bằng 1 được gọi là 3 vector đơn vị.

Mọi vector \(\displaystyle \overrightarrow a \)trong không gian đều biểu diễn được theo 3 vector \(\displaystyle \overrightarrow i ,\;\;\overrightarrow j ,\;\;\overrightarrow k \) một cách duy nhất dạng:

\(\displaystyle \overrightarrow a = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)

Bộ số \(\displaystyle (x;y;z)\) được gọi là toạ độ của vector \(\displaystyle \overrightarrow a \). Ký hiệu

\(\displaystyle \overrightarrow a = (x;y;z)\)

- x: hoành độ

- y: tung độ

- z: Cao độ

Với một điểm A bất kỳ trong không gian Oxyz, ta định nghĩa:

Toạ độ A = Toạ độ \(\displaystyle \overrightarrow {OA} \)

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ:

Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) cho hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\vec b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) và một số thực\(\displaystyle k.\) Khi đó ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\vec a + \vec b = ({a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3})\\\vec a - \vec b = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3})\\k\vec a = (k{a_1};k{a_2};k{a_3})\end{array}\)

Chú ý.

1. \(\displaystyle \vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right..\)

2. \(\displaystyle \vec 0 = (0;0;0).\)

3. \(\displaystyle \vec a\) và \(\displaystyle \vec b\;( e \vec 0)\) cùng phương \(\displaystyle \Leftrightarrow \) có một số thực \(\displaystyle k\) sao cho

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right.\) hay \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\\{b_3} = k{a_3}\end{array} \right.\)

4. Nếu \(\displaystyle A = ({a_1};{a_2};{a_3}),B = ({b_1};{b_2};{b_3})\) thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3}).\)

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG:

1. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\vec b = ({b_1};{b_2};{b_3}).\)

Ta có \(\displaystyle \vec a.\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}.\)

2. Độ dài của một véctơ: Cho véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\) ta có \(\displaystyle \left| {\vec a} \right| = \sqrt {\vec a.\vec a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\)

3. Khoảng cách giữa hai điểm \(\displaystyle A = ({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(\displaystyle B = ({x_B};{y_B};{z_B})\) là

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} .\)

4. Gọi \(\displaystyle \varphi \) là góc giữa hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và\(\displaystyle \vec b = ({b_1};{b_2};{b_3}).\)

Ta có: \(\displaystyle \cos \varphi = \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\) và \(\displaystyle \vec a \bot \vec b \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = 0.\)

4. CÁC TÍNH TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

- Xét tam giác \(\displaystyle ABC\) ta có các điểm đặc biệt sau:

- M là trung điểm của AB \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle G\) là trọng tâm của\(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle H\) là trực tâm của\(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AC} {\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle A'\) là chân đường cao hạ từ đỉnh\(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

- \(\displaystyle D\) là chân đường phân giác trong của góc \(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = - \frac{{AB}}{{AC}}.\overrightarrow {DC} \)

- \(\displaystyle E\) là chân đường phân giác ngoài của góc\(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {EB} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {EC} \)

- Xét tứ diện \(\displaystyle ABCD\) ta có các điểm đặc biệt sau:

- \(\displaystyle G\) là trọng tâm tứ diện \(\displaystyle ABCD \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của\(\displaystyle A\) trên \(\displaystyle \left( {BCD} \right)\)

- \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành \(\displaystyle \Leftrightarrow D = A + C - B\)

CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho \(\displaystyle \overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của \(\displaystyle \overrightarrow a \) ?

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa \(\displaystyle \overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) nên tọa độ của \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( { - 6;8;4} \right)\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ đối của véctơ \(\displaystyle \overrightarrow a \) ?

Hướng dẫn giải

Véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right)\)có véctơ đối là \(\displaystyle - \overrightarrow a = - \left( {5;7;2} \right) = \left( { - 5; - 7; - 2} \right)\) .

Ví dụ 3: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho hai điểm \(\displaystyle A\left( {5;7;2} \right),B\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) ?

Hướng dẫn giải

Tọa độ véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 5;0 - 7;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 7;2} \right)\)

Ví dụ 4: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho ba véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;4} \right),\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ: \(\displaystyle \overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \) ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3\overrightarrow a = 3\left( {5;7;2} \right) = \left( {15;21;6} \right)\\ - 2\overrightarrow b = - 2\left( {3;0;4} \right) = \left( { - 6;0; - 8} \right)\\\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\displaystyle \overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {15 - 6 - 6;21 + 0 + 1;6 - 8 - 1} \right) = \left( {3;22; - 3} \right)\).

Ví dụ 5: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {1; - 2;2} \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm tam giác ta có tọa độ trọng tâm \(\displaystyle G\) cần tìm là

\(\displaystyle G\left( {\frac{{1 + 2 + 1}}{3};\frac{{0 + 1 - 2}}{3};\frac{{ - 2 - 1 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) ,

Ví dụ 6: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {1; - 2;2} \right).\)Xác định tọa độ điểm \(\displaystyle D\) đề \(\displaystyle ABCD\)là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Để \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

Ta có\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\), gọi \(\displaystyle D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;2 - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - x\\1 = - 2 - y\\1 = 2 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = 1\end{array} \right.\)

Ví dụ 7: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho 2 véctơ \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( {5;7;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;3; - 4} \right)\). Tính tích vô hướng của \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \)?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có \(\displaystyle \overrightarrow a .\overrightarrow b = 5.1 + 7.3 + 2.\left( { - 4} \right) = 5 + 21 - 8 = 18\)

Ví dụ 8: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\)cho ba điểm \(\displaystyle A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)\) Tính \(\displaystyle \cos \widehat {BAC}\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\)

\(\displaystyle \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = ... = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\) .

Ví dụ 9: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\)cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)\). Có \(\displaystyle M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(\displaystyle AB,AC\). Tính độ dại đường trung bình \(\displaystyle MN\)?

Hướng dẫn giải

Ta có tọa độ \(\displaystyle M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2};2} \right)\)\(\displaystyle ,N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Vậy độ dại đường trung bình \(\displaystyle MN = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{9}{{}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

5. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR VÀ ỨNG DỤNG

Định nghĩa và công thức toạ độ

Ứng dụng

- Tích có hướng của hai vector \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \), ký hiệu là \(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a {\rm{,}}\overrightarrow b {\rm{]}}\), là một vector có:

§ Hướng vuông góc với cả \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \)

§ Độ lớn bằng \(\displaystyle |\overrightarrow a |.|\overrightarrow {b|} .\sin (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

- Chú ý: Tích có hướng của 2 vector giúp ta tạo ra một vector vuông góc với cả hai vector đã cho và có độ dài bằng diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vector đó.

- Công thức toạ độ:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow a = ({x_1};{y_1};{z_1})\\\overrightarrow b = ({x_2};{y_2};{z_2})\end{array}\) . Ta có:

\(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a {\rm{,}}\overrightarrow b {\rm{] = }}\left( {\left| \begin{array}{l}{y_1}\;\;\;{z_1}\\{y_2}\;\;\;{z_2}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{z_1}\;\;\;{x_1}\\{z_2}\;\;\;{x_2}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{x_1}\;\;\;{y_1}\\{x_2}\;\;\;{y_2}\end{array} \right|} \right)\)

- Điều kiện \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \) cùng phương

\(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a ,\overrightarrow b {\rm{]}} = \overrightarrow 0 \)

- Điều kiện \(\displaystyle \overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow c \) đồng phẳng

\(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a {\rm{,}}\overrightarrow b {\rm{]}}.\overrightarrow c = 0\)

- Tính diện tích tam giác, hình bình hành

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} {\rm{]}}} \right|\)

(Bỏ \(\displaystyle \frac{1}{2}\) nếu là 2 cạnh hình bình hành cho ta diện tích hình bình hành)

- Tính thể tích tứ diện, hình hộp

\(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AD} } \right|\)

(Bỏ \(\displaystyle \frac{1}{6}\) nếu đó là 3 cạnh hình hộp cho ta thể tích khối hộp)

- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng biết 4 điểm

\(\displaystyle d(A,(BCD)) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {BC} {\rm{,}}\overrightarrow {BD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {BA} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {BC} {\rm{,}}\overrightarrow {BD} {\rm{]}}} \right|}}\)

- Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau biết toạ độ 4 điểm

\(\displaystyle d(AB,CD) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}} \right|}}\)

- Nhập 3 vecto vào máy Casio fx-570VN Plus

+ vecA: Mode 8 1 1

+ vecB: Shift 5 2 2 1

+ vecC: Shift 5 2 3 1

+ AC

- Tính toán vecto trong MTCT

+ [vecA, vecB]=Shift 5 3 x Shift 5 4

+ vecA.vecB = Shift 5 3 Shift 5 7 Shift 5 4

+ [vecA, vecB].vecC=( Shift 5 3 x Shift 5 4) Shift 5 7 Shift 5 5

+ |vecA|=Shift HYP Shift 5 3

+ |[vecA, vecB]|= Shift HYP( Shift 5 3 x Shift 5 4)

CÁC VÍ DỤ:

VD1. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tam giác ABC có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\). Tính diện tích của tam giác \(\displaystyle ABC\)?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

VD2. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tứ diện \(\displaystyle ABCD\)có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính thể tích tứ diện \(\displaystyle ABCD\)?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {{\rm A}D} = ( - 1;2;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\)

\(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm A}D} | = \frac{1}{6}|2.( - 1) + 0.2 + 1.4| = \frac{1}{3}\)

VD3. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tứ diện \(\displaystyle ABCD\)có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính khoảng cách từ D đến (ABC)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {{\rm A}D} = ( - 1;2;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm A}D} | = \frac{1}{6}|2.( - 1) + 0.2 + 1.4| = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow d(D,(ABC)) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{1}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

VD4. Cho bốn điểm \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau AB, CD?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {CD} = (0;1;2) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {CD} {\rm{]}} = (2; - 2;1)\)

\(\displaystyle d(AB,CD) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}} \right|}} = \frac{{|2.( - 1) + ( - 2).1 + 1.2|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\)

các phép toán vector trong tọa độ không gian
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit
    • BÀI TOÁN LÃI GỘP CƠ BẢN
    • LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA
    • LOGARIT
    • HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
    • Phương trình - Bất phương trình Mũ
    • Phương trình - Bất phương trình Logarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng
    • Tổng hợp các dạng nguyên hàm tích phân
    • Ứng Dụng Tích Phân giải bài toán vận tốc và quãng đường
    • Nguyên hàm tích phân hàm phân thức
    • PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
    • PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
    • Tích phân giá trị tuyệt đối
    • Ứng dụng tích phân tính diện tích - Thể tích
    • Tích phân đặc biệt
    • Tích phân hàm ẩn chứa f(x), f'(x)
  • Chương 1: Khối Đa Diện
    • Phương pháp làm nhanh thể tích đa diện
    • Lý thuyết về khối đa diện- Đa diện đều
  • Chương 4: Số Phức
    • Lý thuyết chung về số phức
    • Giải phương trình trên tập số phức
    • các phép toán trên tập số phức
    • số phức chứa liên hợp và module
    • Dạng lượng giác của số phức
    • Max Min Số Phức
  • Chương 6: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
    • Các phép toán vector trong tọa độ không gian
    • Phương trình mặt phẳng
    • Phương trình đường thẳng
    • Phương trình mặt cầu
    • Các bài toán liên quan giữa mặt cầu đường thẳng và mặt phẳng
    • Giải hình không gian cổ điển dùng tọa độ - Phương Pháp Tọa Độ Hóa

Từ khóa » Các Công Thức Vecto Trong Không Gian Lớp 12