Lý Thuyết Hệ Tọa độ Trong Không Gian Hay, Chi Tiết Nhất - Toán Lớp 12

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian lớp 12 (hay, chi tiết)

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian lớp 12 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian.

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Bài giảng: Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

Quảng cáo

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→

b) Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R

• a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )

• ka→ = (ka1; ka2; ka3)

• 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)

• a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)

• a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Quảng cáo

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

• AB→ = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4. Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất:

• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→

• [a→, b→] = -[b→, a→]

• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→

• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)

• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0

• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|

• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|

• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : VABCD.A'B'C'D' = |[AB→, AD→].AA'→|

• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

Quảng cáo

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

5. Phương trình mặt cầu

a) Định nghĩa:

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

* Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định: d(I; Δ) = IH

+ Lúc đó:

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .

(S): x2 + y2 + z2 - 2ax -2by - 2cz + d = 0

(α): Ax + By + Cz + D = 0

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

+ Tâm I' = d ∩ (α) .

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)

+ Bán kính

d) Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

+ Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo) .

Sử dụng tính chất :

Quảng cáo

B. Kĩ năng giải bài tập

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Phương pháp:

* Cách 1: Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

* Cách 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 -2ax - 2by - 2cz + d = 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 - d > 0)

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3 .

b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

Lời giải:

a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, có phương trình:

(S): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 9

b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.

Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , có phương trình:

(S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 18

c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.

Gọi I là trung điểm AB ⇒

Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:

Bài 2:Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Õ.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (α): 16x - 15y - 12z + 75 = 0.

c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng

Lời giải:

a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có : IA→ = (3-a; 1; 0), IB→ = (5-a; 5; 0).

Do (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2.

Mặt cầu tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, có phương trình (S) : (x - 10)2 + y2 + z2 = 50

b) Do (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(O,(α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3

Mặt cầu tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, có phương trình (S) : x2 + y2 + z2 = 9

c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA→ = (0; -1; 0).

Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là uΔ→ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA→, uΔ→] = (3; 0; -1) .

Do (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R .

Mặt cầu tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = √10/11 , có phương trình (S) :

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

+ Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài 1: Cho đường thẳng và và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là :

A. 0. B.1. C.2. D.3.

Lời giải:

Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2

Ta có MI→ = (1; -1; -4) và [u→, MI→] = (-5; 7; -3) ⇒

Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)

Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = √10

B. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10

C. (x + 1)2 + (y 2 2)2 + (z + 3)2 = 10

D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9

Lời giải:

Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).

IM→ (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10 là bán kính mặt cầu cần tìm.

Phương trình mặt cầu là : (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết Toán lớp 12 khác:

• Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian
• Lý thuyết Phương trình mặt phẳng
• Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian
• Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong không gian

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

• 30 đề toán, lý hóa, anh, văn 2025 (100-170k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia HN 2025 (cho 2k7)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều