CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Tải bản đầy đủ (.doc) (11 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (116.61 KB, 11 trang )

Ngày dạy:Chuyên đề:PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊNThời lượng: 4 buổi1. Phương pháp phân tích thành tích:Phân tích vế trái thành dạng tích có chứa các biến, vế phải là một sốBài 1: Tìm cặp số nguyên x;y thỏa mãn:a) xy + x + y = 2 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 3 = 1.3 = (−1).(−3)Kết quả: (0;2), (2;0), (-4;-2), (-2;-4)b) x - y + xy =3 ⇔ ( y + 1)( x − 1) = 2 = 1.2 = −1.(−2)Kết quả: (3;0), (2;1), (-1;-2), (0;-3)c) 2xy - 3y - x - 1 = 01 5⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1). = ⇔ 2 x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = 5 ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 52 2Kết quả:d)(4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)1 111+ +=x y 6 xy 6Hướng dẫn giảiĐặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)Bài 2. Tìm các cặp số nguyên x;y thỏa mãn :a) 2 xy + x + y = 21(Năm học 2011-2012 )Giải : Nhân hai vế với 2, ta được:⇔ 4xy + 2x + 2y +1 = 43 ⇔ (2x + 1).(2y + 1)= 1.43 = -1.(-43)Kết quả:(0;21), (21;0), (-1;-22), (-22;-1)Cách khác : Ta có thể biến đổi một cách tự nhiên hơn, như sau:1 12 xy + x + y = 21 ⇔ x (2 y + 1) + (2 y + 1). − = 212 2⇔ 2 x (2 y + 1) + (2 y + 1) = 43 ⇔ (2 x + 1)(2 y + 1) = 43b) 2xy - 3y - x - 1 = 0Giải:1 5⇔ x (2 y − 1) − 3(2 y − 1). = ⇔ 2 x(2 y − 1) − 3(2 y − 1) = 5 ⇔ (2 y − 1)(2 x − 3) = 52 2Kết quả:(4;1), (2;3), (-1;0), (1;-2)c) xy +x - 2y = 31Bài 3.* Chú ý quan trọng:Trong phương trình nghiệm nguyên, khi có 1 biến nào đó có số mũ không đổi ta đặt biếnđó làm nhân tử chung rồi xử lí phần còn lại.a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )Giải bằng : PP phân tích thành tíchx 2 − xy − 5 y − 24 = 0 ⇔ − y ( x + 5) + x 2 − 25 − 1 = 0⇔ − y ( x + 5) + ( x + 5)( x − 5) = 1 ⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = 1b) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn : x 2 − xy + 3 y − 16 = 0x 2 − xy + 3 y − 16 = 0 ⇔ ( x − 3)( x − y + 3) = 7c) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:x 2 + xy + x + 2 y = 4x 2 + xy + x + 2 y = 4 ⇔ ( x + 2)( x + y − 1) = 2Bài 4.a) Tìm các cặp số nguyên ( x ; y) thoả mãn phương trình: .2x2-2xy = 5x+y-19(Năm học 2006-2007)2x2 - 2xy = 5x+y-19 ⇔ 2x2 - 2xy - 5x - y+19 = 0⇔ -y(2x+1) + 2x - 5x + 19 = 0⇔ -y(2x+1) + (2x+x) - 6x - 3 + 22 = 0⇔ -y(2x+1) + x(2x+1) - 3(2x + 1) = 0- 22⇔ (2x+1)(x-y-3) = -22* Chú ý: vận dụng tính chất lẻ của 2x+1 để loại bớt trường hợp.Kết quả: (0;19), (-1;-26)b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x - xy + 4x - 2y - 2= 0⇔ (2x - y).(x + 2) = 2Kết quả: (0;-1), (-1;-4), (-3;-3), (-2;-2)c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x - x - xy + y + x = 6⇔ (x - y +1).(x - 1) = 6Kết quả: (2;0), (6;36), (0;6), (-4;18)2Bài 5. (Bài khó)a)Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t: x2y+2xy - 81x +y = 0(Năm học 2009-2010)Giải:⇔ y ( x +1) 2 − 81x = 0⇔ y ( x +1) 2 − 81( x +1) = −81⇔ ( x +1)( xy + y − 81) = −81 = −81.1 = −1.81 = −3.27 = −27.3 = −9.9Do x+1>0 nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp sau:- Với- Với- Với- Với x = 80 x + 1 = 81⇔80 (Loại) xy + y − 81 = −1  y =81 x = 26 x + 1 = 27⇔78 (Loại) xy + y − 81 = −3  y =27x +1 = 3x = 2⇔(Thỏa mãn) xy + y − 81 = −27 y = 18x +1 = 9x = 8⇔(Thỏa mãn) xy + y − 81 = −9y = 8Vậy, phương trình chỉ có hai nghiệm: (2;18), (8;8)− x 2 y + x + 2 y − xy = 15⇔ − y ( x 2 + x − 2) + x = 15 ⇔ − y ( x − 1)( x + 2) + x + 2 = 17⇔ ( x + 2)(1 + y − xy ) = 17 = 1.17 = −1.(−17)b) Tìm cặp số tự nhiên x,y trong phương trình:Vì x+2> 0 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:x + 2 = 1 x = −1⇔(Loại)1 + y − xy = 17y = 8 x + 2 = 17 x = 15⇔Với (Thỏa mãn)1 + y − xy = 1  y = 0- Với -Bài 6. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x 2 − xy − 5 y − 24 = 0 .(Năm học 2013- 2014 Thị xã Hoàng mai )Giải bằng : PP phân tích thành tích⇔ ( x 2 − 25) − ( xy + 5 y ) = −1 ⇔ ( x + 5)( x − 5) − y ( x + 5) = −1⇔ ( x + 5)( x − y − 5) = −1 = −1.1 = 1.(−1)3Bài 7. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0 ⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1⇔ (x - 4y) - (5xy - 10y) = -1 ⇔ (x-2y)(x+2y) - 5y(x-2y)=-1(x-2y)(x-3y)=-1Bài tập tự luyện:Bài 1: nghiẹm nguyên của phương trình.x 2 + 2y2 +3xy –x – y + 3 =0( x + y ) 2 + y ( x + y ) − ( x + y ) = −3 ⇔ ( x + y )( x + y + y − 1) = −3Bài 3 nghiệm nguyên của phương trình:x3 - y3 = xy + 8 (1)Bài 4 Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình: x 2 + xy + y 2 = x 2 y 211( x + y ) 2 − ( x 2 y 2 + xy ) = 0 ⇔ ( x + y ) 2 − ( xy + ) 2 + = 024Nhân 2 vế với 4( phải đưa về pt nguyên) ta được:4( x + y ) 2 − (2 xy + 1) 2 = − 1 ⇔ (2 x + 2 y − 2 xy − 1)(2 x + 2 y + 2 xy + 1) = − 1 = − 1.1Kết quả: (0;0) là nghiệm duy nhất.Bài 5 (khó, tham khảo)Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:(x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49)Biến đổi tương đương PT đã cho: (*) ⇔ [x2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2]⇔ x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ⇔ 16x4 – 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0 ⇔[4x2 – (y2 + 7)]2 = 0 ⇔ 4x2 – y2 – 7 = 0 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7 (1)Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y và 2x + y ≥ 0, chúng đều có giá trị nguyên nên suy được 2x + y = 7⇔ 2x − y = 1x = 2. Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3).y = 3Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:[1x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ (12 + 42)[x4 + (y2 + 7)2] hay [x2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ 17[x4 + (y2 + 7)2], dấu bằngxảy ra (tức là có PT (*)) khi 4x2 = y2 + 7 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7. Làm tiếp như trên.42. Phương pháp đưa về tổng các lũy thừa:Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x(Năm học 2005-2006 )Giải: y 2 = 2 + 4 − x 2 − 2 x22 y ≥ 2 y ≥ 2(1)⇔ y 2 − 2 = 4 − x2 − 2x ⇔  2⇔ 2222222( y − 2) = 4 − x − 2 x( y − 2) + ( x + 1) = 5 = 1 + 2 (*) y2 ≥ 2 y2 ≥ 2⇔  y 2 − 2 = 1 Hoặc  y 2 − 2 = 2 x + 1 = 2 x + 1 = 1Vậy, có các khả năng như sau:- Với y 2 − 2 = 1  y = ± 3⇔(Loại)x +1 = 2 x = 1- Với y = ± 3 y2 − 2 = 1⇔(Loại) x + 1 = −2 x = −3- Với y2 − 2 = 2 y = ±2⇔(Thỏa mãn)x = 0x +1 = 1- Với y 2 − 2 = −2y = 0⇔(Loại, vì không t/m 1) x = −2 x + 1 = −1Vậy, Phương trình chỉ có hai nghiệm là (0;-2); (0;2)Bài 2. Tìm hai số tự nhiên x; y biết :x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 y = 12Giải:( x + y ) 2 + ( y + 1) 2 = 13 = 22 + 32Từ đó ta xét 2 trường hợp sau:x + y = 2x = 0⇔ y +1 = 3y = 2- Trường hợp 1: x + y = 3 x = 2⇔ y +1 = 2y =1- Trường hợp 2: Vậy, có hai cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn đk bài toán là: (0;2) , (2;1)Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:51 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y1 + −4 x 2 + 4 x + 16 = y ⇔ y − 1 = −4 x 2 + 4 x + 16 ⇔y ≥1y ≥1y ≥1⇔⇔22222222( y − 1) = −4 x + 4 x + 16( y − 1) + (2 x − 1) = 17( y − 1) + (2 x − 1) = 1 + 4y ≥1y ≥1⇔  y − 1 = 1 (1) hoặc ⇔  y − 1 = 4 (2) 2x −1 = 4 2x −1 = 1Giải (1) ta xét các trường hợp sau:y = 2 y −1 = 1⇔- Với 5 (Loại)2 x − 1 = 4 x = 2y = 0 y − 1 = −1 ⇔- Với 5 (loại)2 x − 1 = 4 x = 2y = 2 y −1 = 1⇔- Với 3 (Loại) 2 x − 1 = −4 x = − 2y = 0 y − 1 = −1⇔- Với 3 (Loại) 2 x − 1 = −4 x = − 2Giải (2) ta xét các trường hợp sau: y −1 = 4y = 5⇔(Thỏa mãn)2 x − 1 = 1  x = 1- Với  y −1 = 4y = 5⇔(Thỏa mãn) 2 x − 1 = −1  x = 0- Với - Với - Với  y − 1 = −4 y = −3⇔(Loại-vì y≥ 1)2 x − 1 = 1x = 1 y − 1 = −4 y = −3⇔(Loại-vì y≥ 2 x − 1 = −1  x = 01)Vậy, nghiệm của phương trình là: (1;5) và (0;5)Bài 4. Giải phương trình: x 2 +y 2 +6 y +5 =0 ; với x, y nguyên.Giải:x 2 +y 2 +6 y +5 =0 Û x 2 +( y +3) 2 =4 =02 +22x = 0 x = ±2⇔hoặc  y + 3 = ±2y +3 = 0Giải ra ta được các cặp số thỏa mãn phương trình là:(0; -1), (0; -5), (2; -3), (-2; -3).3. Phương pháp đánh giá chẵn lẻ:Đánh giá tính chẵn lẻ của hai vế, từ đó tìm nghiệm của phương trìnhBài 1. Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 1096(Năm học 2010-2011)Giải bằng : PP chẵn –lẻ : y(y+3) chẵn ⇒ 100x lẻ ⇒ x = 0 …⇒ y2 + 3y - 108 =0⇔ 4 y 2 + 12 y − 432 = 0 ⇔ (2 y + 3) 2 − 441 = 0⇔ (2 y + 3 + 21).(2 y + 3 − 21) = 0 ⇔ y = −12hoặc y= 6Vậy, phương trình có hai nghiệm là (0;-12) và (0;6)Bài 2. Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : 2 x + y 2 + y = 2 x + 1(Năm học 2012-2013)Giải bằng : PP chẵn –lẻ ⇔ 2 x + y ( y + 1) = 2 x + 1VP là số lẻ => VT là số lẻ , mà y(y+1) là số chẵn => 2 x là số lẻ => x = 0Bài 3.Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phảiđấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia . Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng sốđấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ.Hãy tìm số đấu thủ của mỗiđội. (Năm học 2002-2003)Giải bằng : PP chẵn –lẻ hoặc PP phân tích thành tíchBài 4.Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111.(Năm học 2005-2006 )Giải bằng : PP chẵn -lẻ4. Phương pháp xét số dư:Bài 1: Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãnCách 1: Vìlà số chính phương nênVà⇒+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 (nếu y = 0)+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2Mà 257 chia cho 3 dư 2 buộcchia cho 3 dư 2 ⇔+chia cho 3 dư 1⇒.= 1 ⇒ y =0; x= 167chia cho 3 dư 1 vàCách 2:Vì 3 = 729 ⇒ y < 6. Lần lượt xét 6 trương hợp của y để tìm x.Cách 3: Cách giải sai(cần lưu ý với hs)Vìlà số chính phương nênMặt khác:chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.chia hết cho 3 nên+chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; yđể+.Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x - 2y = 5 (1)Để giải bài tập này ta dựa vào nhận xét sau:Một số chính phương chia cho 5 chỉ có thể hoăc dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 4.Giải: Ta cho y các khẳ năng sau:+ y+ 5 ⇒ 2 y + 25 , từ (1) ⇒ x + 25 ⇒ x - 2y + 25 ⇒ 5 + 25 Vô lí.+ y chia 5 dư 1 hoặc 4 ⇒ y chia cho 5 dư 1 2 y chia cho 5 dư 2từ (1) ⇒ x chia cho 5 dư 2 ⇒ Vô lí (theo nhậ xét trên)+ y chia cho 5 dư 2 hoặc 3 ⇒ y chia cho 5 dư 4⇒2 y chia cho 5 dư 3từ (1) ⇒ x chia cho 5 dư 3 ⇒ Vô lí (theo nhậ xét trên)Vậy, không có cặp giá trị x; y nguyên nào để x - 2y = 5Bài 3:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 3(x2-y2 + y) = 28 –y3Giải: 3x - 3y + 3y = 28- y ⇔ (y-1) + 3x = 27 mà 27+ 3 và 3x + 3⇒ (y-1) + 3 ⇒ (y-1) + 27 (vì y∈ Z) lại có (y-1) ≤ 27Do đó (y-1)= 0 hoặc (y-1) = 27 ⇒ y= 1 hoặc y = 4Với y= 1 ⇒ x= 3 (vì x>0)Với y= 4 ⇒ x= 0 loạiVậy, y= 1; x= 3 là cặp số cần tìm.4. Phương pháp ước lượng giá trị mỗi vế của phương trình:Ví dụ:Giải phương trình nghiêm nguyên: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Giải:2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19 ⇔ 2( x 2 + 2 x) = 19 − 3 y 2⇔ 2( x + 1) 2 = 21 − 3 y 28Vì 2( x + 1) 2 ≥ 0 ⇒ 21 − 3 y 2 ≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 7 ⇒ y ≤ 7- Nếu y = 0 ⇒ 2( x + 1) 2 = 21 vô nghiệm ( vế phải chẵn - vế trái lẻ)2- Nếu y = 1 ⇒ 2( x + 1) = 18 ⇔ x + 1 = ±3 ⇔ x = 2 hoặc x =-4Ta được các căp số thỏa mãn: (2;-1), (2;1), (-4;-1), (-4;1)2- Nếu y = 2 ⇒ 2( x + 1) = 9 vô nghiệm- Nếu y ≥ 3 loại. Vì y ≤ 7Vậy,......Các bài tập tương tự:Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:a) x - 4x + y = 0b) x + y + y - 1 =0⇔ (2y+1) = 5 - 4xc) x +2y - 2xy = 4⇔ (x-y) = 4 - yd) 5x + 4xy + y - 2x = 4 ⇔ (2x+y) = 5 - (x-1)5. Phương pháp đặt ẩn phụVí dụ. (HSG tỉnh Hung Yên 2017-2018)Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: ( x − 2018) 2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 yLời giải: ( x − 2018)2 = y 4 − 6 y 3 + 11y 2 − 6 yTa có:y 4 − 6 y 3 + 11 y 2 − 6 y = ( y 4 − 2. y 2 .3 y + 9 y 2 ) + (2 y 2 − 6 y )= ( y 2 − 3 y ) 2 + 2( y 2 − 3 y )Đặt a = y 2 − 3 y;(a ∈ Z )Phương trình đã cho có dạng:( x − 2018) 2 = a 2 + 2a ⇔ ( x − 2018) 2 − (a + 1) 2 = −1 ⇔ ( x − a − 2019)( x + a − 2017) = −1Vì x, a là số nguyên nên chỉ xẩy ra một trong các trường hợp: x − a − 2019 = 1 x = 2018⇔ x + a − 2017 = −1 a = −2+Với a=-2 ⇔ y 2 − 3 y = −2 ⇔ y 2 − 3 y + 2 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y=2.Ta được các cặp số: (2018;1), (2018;2). x − a − 2019 = −1  x = 2018⇔ x + a − 2017 = 1a = 0+9Với a=0 ⇔ y 2 − 3 y = 0 ⇔ y = 0 hoặc y=3.Ta được các cặp số: (2018;0), (2018;3).Baì tập 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2Hướng dẫn giải22Phương trình (1)  (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*)Ta có: a2 – 1 = y2 Giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước sốThi HSG Tỉnh Nghệ anNăm học 2009 – 2010Câu 1. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x 2 + xy + y 2 ) = 7(x + 2y)Đặt x+2y=5t (t∈ Z). Đưa về pt bậc 2 - buộc phương trình có nghiệm:Thay vào phương trình ta được: x 2 + xy + y 2 = 7t thay x = 5t-x vào ta co:25t 2 − 15ty + 3 y 2 = 7t ⇔ 3 y 2 − 15ty + 25t 2 − 7t = 0V= −75t 2 + 84t = t (−75t + 84)Phương trình đã cho có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤84suy ra t=0 hoặc t = 1.75Từ đó tìm được x=y=0 hoặc x=-1;y=3 hoặc x=1; y=2Bài tập. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x = 19Cách 1: Sử dụng đk phương trình có nghiệm xCách 2: (2x+2) = 42- 6y ≥ 0 ⇒ y=….Câu 2(4,5đ)a) Tìm các số nguyên dương x, y khác nhau sao cho: x y = y x .Giải:Giả sử 1 ≤ x < y . Chia cả hai vế của PT cho x x ta được: x y − x =yxxxVì y x Mx x mà x là số nguyên dương nên y Mx . Đặt y = kx (k∈ N , k ≥ 2 )Theo bài ra ta có x kx = (kx) x ⇔ ( x k ) x = (kx) x ⇔ x k = kx ⇔ x k −1 = k (1)Ta thấy x ≥ 2 (vì nếu x = 1 thì k = 1 ). Do đó x k −1 ≥ 2k −1(2)Từ (1) và (2) suy ra k ≥ 2k −1 nên 2k ≥ 2k(3)Dễ thấy k ≥ 3 thì bất đẳng thức (3) không xảy ra. Do đó k = 2.Thay k = 2 vào (1) ta được x = 2 ⇒ y = 2.2 = 4 .10Thử lại x = 2; y = 4 thỏa mãn đề bài. Vì vai trò của x, y như nhau vậy ( x, y )∈ { ( 2; 4 ) , ( 4; 2 ) }.Câu 3. (4.0 điểm):Bài tập sưu tầm:1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:xy yz zx+ +=3zxy11

Tài liệu liên quan

• Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
  • 29
  • 4
  • 39
• Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
  • 19
  • 1
  • 15
• Gián án Mot so PP giai phuong trinh nghiem nguyen. Giang (2010 - 2011)
  • 30
  • 945
  • 5
• Bài soạn Một số PP giải phương trình nghiệm nguyên
  • 2
  • 944
  • 6
• Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn
  • 13
  • 1
  • 7
• Các phương pháp thường dùng giải phương trình nghiệm nguyên
  • 16
  • 673
  • 1
• Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
  • 5
  • 603
  • 6
• giải phương trình nghiệm nguyên
  • 15
  • 542
  • 0
• các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
  • 14
  • 2
  • 2
• 9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
  • 52
  • 2
  • 23

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(584.5 KB - 11 trang) - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Tải bản đầy đủ ngay ×