[LỜI GIẢI] Tìm Nghiệm Nguyên Của Phương Trình X^2 - 3y^2 + 2xy - 2

Lời giải của Tự Học 365

Phương pháp giải:

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đưa về phương trình ước số.

Giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} - 3{y^2} + 2xy - 2x - 10y + 4 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - xy - 3x + 3xy - 3{y^2} - 9y + x - y - 3 + 7 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - y - 3} \right) + 3y\left( {x - y - 3} \right) + \left( {x - y - 3} \right) + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3y + 1} \right)\left( {x - y - 3} \right) + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3y + 1} \right)\left( {x - y - 3} \right) =  - 7\end{array}\)

Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên ta có các trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}i)\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 1 =  - 7\\x - y - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 8\\x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\\ii)\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 1 =  - 1\\x - y - 3 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y =  - 2\\x - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}iii)\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 1 = 7\\x - y - 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 6\\x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\iv)\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 1 = 1\\x - y - 3 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 0\\x - y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm nguyên cần tìm là \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1; - 3} \right);\left( {7; - 3} \right);\left( {3;1} \right);\left( { - 3;1} \right)} \right\}\).

Chọn D.