Cách Giải Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 1, Loại 2 - Học Toán 123

Dạng bài toán hệ phương trình đối xứng thường xuất hiện trong đề thi Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{array} \right.$, trong đó $ \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\\g(x,y)=g(y,x)\end{array} \right.$.

Cách giải:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt $S = x + y, P = xy$ với điều kiện của $S, P$ và $ {{S}^{2}}\ge 4P$.

Bước 3: Thay $ \displaystyle x,y$ bởi $ \displaystyle S,P$ vào hệ phương trình. Giải hệ tìm $ \displaystyle S,P$ rồi dùng Viét đảo tìm $ \displaystyle x,y$.

Chú ý:

+ Cần nhớ: $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}\text{ }2P,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}\text{ }3SP.$

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ $ \displaystyle u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)$ và $ \displaystyle S=u+v,\text{ }P\text{ }=uv.$

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35\end{array} \right.$.

Giải

Đặt $ \text{S}=x+y,\text{ P}=xy$, điều kiện $ {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$ \left\{ \begin{array}{l}SP=30\\S({{S}^{2}}-3P)=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\S\left( {{S}^{2}}-\frac{90}{S} \right)=35\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=5\\P=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=5\\xy=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}xy(x-y)=-2\\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\end{array} \right.$.

Giải

Đặt $ t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt$, điều kiện $ {{S}^{2}}\ge 4P$. Hệ phương trình trở thành:

$ \left\{ \begin{array}{l}xt(x+t)=2\\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP=2\\{{S}^{3}}-3SP=2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=2\\P=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\t=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=4\end{array} \right.$.

Giải

Điều kiện $ x\ne 0,y\ne 0$.

Hệ phương trình tương đương với: $ \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}=8\end{array} \right.$

Đặt $ S=\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right),P=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right),{{S}^{2}}\ge 4P$ ta có:

$ \left\{ \begin{array}{l}S=4\\{{S}^{2}}-2P=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=4\\P=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.$

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\,\,\text{ }(1)\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\text{ }\,\,\,\,\text{ }\,\text{ }\,\text{ }(2)\end{array} \right.$.

Giải

Điều kiện $ x,y\ge 0$. Đặt $ t=\sqrt{xy}\ge 0$, ta có:

$ xy={{t}^{2}}$ và $ (2)\Rightarrow x+y=16-2t$.

Thế vào (1), ta được: $ \sqrt{{{t}^{2}}-32t+128}=8-t\Leftrightarrow t=4$

Suy ra: $ \left\{ \begin{array}{l}xy=16\\x+y=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=4\\y=4\end{array} \right.$

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\,\,\,\left( 1 \right)\\f(y,x)=0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Cách giải: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: $ \displaystyle (x-y)g\left( x,y \right)=0$.

Khi đó $ \displaystyle x-y=0$ hoặc $ \displaystyle g\left( x,y \right)=0.$

+ Trường hợp 1: $ \displaystyle x-y=0$ kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2: $ \displaystyle g\left( x,y \right)=0$ kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3x+8y\,\,\,\left( 1 \right)\\{{y}^{3}}=3y+8x\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ (I)

Giải

Lấy (1) – (2) ta được: $ \displaystyle \text{(x – y)(}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + xy + }{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ + 5) = 0}$

Trường hợp 1: (I) $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }=\text{ }3x\text{ }+\text{ }8y\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$

⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }-\text{ }11x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }\pm \sqrt{11}\end{array} \right.\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.$.

Trường hợp 2: (I) $ \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+5=0\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=11\left( x+y \right)\end{array} \right.$ (hệ này vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

$ \displaystyle \left\{ \text{(x}\text{, y)} \right\}\text{=}\left\{ \text{(0}\text{,0); (}\sqrt{\text{11}}\text{,}\sqrt{\text{11}}\text{); (-}\sqrt{\text{11}}\text{,-}\sqrt{\text{11}}\text{)} \right\}$

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array} \right.$

Giải

Đặt: $ \displaystyle \sqrt[\text{4}]{\text{x – 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt[\text{4}]{\text{y – 1}}\text{ = v}\ge \text{0}$

Hệ phương trình trở thành:

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }1\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }0\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$

⇔ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u\text{ }=\text{ }0\\v\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.$

(Do u, v ≥ 0) $ \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x = 1}\\\text{y = 1}\end{array} \right.$.

Vậy hệ có nghiệm (1,1)