Cách Tìm Công Thức Của Số Hạng Tổng Quát Cực Hay Có Lời Giải

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát (cực hay có lời giải)

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tìm công thức của số hạng tổng quát với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm công thức của số hạng tổng quát.

• Cách giải bài tập tìm công thức của số hạng tổng quát
• Ví dụ minh họa bài tập tìm công thức của số hạng tổng quát
• Bài tập trắc nghiệm tìm công thức của số hạng tổng quát
• Bài tập tự luyện tìm công thức của số hạng tổng quát

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

• Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un .

• Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng tổng quát un = 4n.

Chọn A .

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un = 7n + 7. B. un = 7n .

C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1.

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:

Chọn B.

Ví dụ 4: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u10 = 971 B. u10 = 837 C. u10 = 121 D. u10 = 760

Hướng dẫn giải:

Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d

Theo giả thiết ta có: u1 = − 1; u2 = 3; u3 = 19 và u4 = 53

=> hệ phương trình:

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1.

Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: un = n3 − 3n+ 1

Số hạng thứ 10: u10 = 971 .

Chọn A .

Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy:

=> Số hạng thứ n là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho . Xác định công thức tính un

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. un = −2n . B. un = − 2 + n . C. un = − 2(n+ 1) . D.un = − 2 + 2(n − 1)

Hướng dẫn giải:

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên

un = − 2 + 2(n − 1) .

chọn D.

Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là?

Hướng dẫn giải:

Ta có;

=> Số hạng thứ n của dãy số là:

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 10: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un = 1 + n B. un = n(n + 1) C. un = 1 + (−1)2n. D. un = n

Hướng dẫn giải:

* Ta có: un+1 = un + (−1)2n = un + 1 (vì (−1)2n = ((−1)2)n = 1

=> u2 = 2 ; u3 = 3; u4 = 4; ...

Dễ dàng dự đoán được: un= n.

Thật vậy, ta chứng minh được : un = n bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 => u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ N*), ta có uk = k.

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 = k + 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un ) ta có: uk+1 = uk + 1= k+ 1

Vậy (*) đúng với mọi n.

Chọn D.

Ví dụ 11: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un = 2 − n B. không xác định.

C. un = 1 − n. D. un = −n với mọi n.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2...

Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n.

+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u1 = 1 ( đúng)

Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì uk = 2 − k.

Ta chứng minh: uk+1 = 2 − (k+ 1)

Theo giả thiết ta có: uk + 1 = uk + (−1)2k + 1 = 2 − k − 1 = 2 − (k+1)

=> điều phải chứng minh.

Ví dụ 12: Cho dãy số (un) với .Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :

A. un = nn−1. B. un = 2n.

C. un = 2n+1. D. un = 2n − 1

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Hay un = 2n (vì u1 = 2)

Chọn B.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; ...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A.un = 1 B. un = − 1 C. un = (−1)n D. un = (−1)n+1

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có thể viết lại các số hạng của dãy như sau:

(−1)1; (−1)2; (−1)3; (−1)4; (−1)5; (−1)6

=> Số hạng tổng quát của dãy số là un = (−1)n

Câu 2: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Áp dụng công thức: ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

Câu 3: Cho dãy số (un) với . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. un = 2 + (n−1)2. B. un = 2 + n2. C.un = 2 + (n+1)2. D. un = 2 − (n−1)2.

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: un+1 − un = 2n − 1 suy ra: un+1 = un + 2n − 1

Theo đầu bài:

Áp dụng công thức: 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n − 3) = (n−1)2 (chứng minh bằng phương pháp quy nạp)

=>un = u1 + (n−1)2 = 2 + (n − 1)2

Câu 4: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Lời giải:

Đáp án: C

+ Ta có:

Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số là:

+ Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp:

+ Ta có: nên đúng với n= 1.

Giả sử đúng với n = k (k ∈ N*); tức là:

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1; tức là chứng minh:

Thật vậy ta có: ( điều phải chứng minh)

Vậy

Câu 5: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có:

Hay

Câu 6: Cho dãy số (un) với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Lời giải:

Đáp án: D

+ Ta có:

Câu 7: Cho . Xác định công thức tính un

Lời giải:

Đáp án: A

+ Ta có:

Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.

A. un = 3 + 5n B. un = 3 + 5.(n+1) C. un = 5.(n−1) D. un = 3 + 5.(n−1)

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

u2 = u1 + 5 = 8

u3 = u2 + 5 = 13

u4 = u3 + 5 = 18

u5 = u4 + 5 = 23

Từ các số hạng đầu, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un = 3 + 5.(n−1) (*) n ≥ 2

+ Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.

Với n = 2; u2 = 3+ 5.(2−1) = 8(đúng). Vậy (*) đúng với n = 2

+Giả sử (*) đúng với n = k. Có nghĩa là : uk = 3+ 5(k−1) (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+ 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:

uk+1 = 3 + 5k

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có:

uk+1 = uk + 5 = 3 + 5(k − 1) + 5 = 3 + 5k

Vậy (*) đúng khi n = k+ 1.

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 9: Dãy số (un) được xác định bằng công thức: . Tính số hạng thứ 100 của dãy số

A. 24502861 B. 24502501 C. 27202501 D. 24547501

Lời giải:

Đáp án: B

+ Trước tiên; ta đi tìm công thức tổng quát của dãy số.

+ Ta có: un+1 = un + n3 => un+1 − un = n3

Từ đó suy ra:

+ Cộng từng vế n đẳng thức trên:

+Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

Vậy số hạng tổng quát là:

=> Số hạng thứ 100 của dãy số là:

Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?

A. 3. 510 B. 2.519 C. 2 . 520 D. 3 . 520

Lời giải:

Đáp án: B

Để tính số hạng thứ 20 của dãy số; ta đi tìm công thức xác định số hạng un

+ Ta có: u2 = 10; u3 = 50; u4 = 250; u5 = 1250; u6 = 6250

+Ta dự đoán: un = 2. 5n−1 (1) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có: u1 = 2. 50 = 2 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈ N*). Có nghĩa là ta có: uk = 2. 5k−1

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: uk+1 = 2.5k

Từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có:

uk+1 = 5uk = 2. 5k−1 . 5= 2 . 5k (đpcm).

=> Số hạng thứ n của dãy số xác định bởi : un = 2. 5n−1

=>Số hạng thứ 20 của dãy số là : u20 = 2.519.

Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = √(1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Đáp án: A

Để tính số hạng thứ 30 của dãy số ta đi tìm công thức xác định số hạng thứ n của dãy số>

+ Ta có:

Ta dự đoán : un = √(n+8) (1). Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp :

+ Với n = 1 có u1 = √(1+8) = 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1 .

Giả sử (1) đúng với n = k ; k ∈ N* , có nghĩa ta có uk = √(k+8) (2).

Ta cần chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:

uk + 1 = √(k+9)

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

Vậy (1) đúng với n = k + 1.

Kết luận số hạng tổng quát của dãy số là : un = √(n+8).

Số hạng thứ 28 của dãy số là : u28= √(28+8) = 6.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1.  Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3, un = 2un-1 với mọi n ≥ 2.

Bài 2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=11un+1=10un+1−9n,∀n∈ℕ. Tìm công thức un theo n?

Bài 3. Cho dãy số (vn) với v1=−2vn=3vn−1,∀n≥2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số?

Bài 4. Cho dãy số (un) có dạng khai triển sau: 1; -1; -1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; … Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?

Bài 5. Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5; 10; 15; 20; 25; 30; …

a) Viết công thức số hạng tổng quát un của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Bài 6. Xét dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13,... Tìm số hạng tổng quát của dãy?

Bài 7. Viết công thức số hạng tổng quát un biết dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; 25; 30; …

Bài 8. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;110;1100;11000;110000;.... Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho?

Bài 9. Cho dãy số (un) với u1=−1un+1=un+3,n≥1. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số?

Bài 10. Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy số:

a) u1=1un+1=un+7,n≥1;

b) u1=3un+1=2un,n≥1;

c) u1=54un+1=2un−34,n≥1;

d) u1=5un+1=un+3n−2,n≥1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng thứ n của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải)
• Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều