Xác định Số Hạng Tổng Quát Của Dãy Số - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (13 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

xác định số hạng tổng quát của dãy số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196 KB, 13 trang )

II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠPBài 1. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giáctrung bình của tam giác ABC.Xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,.... sao cho tam giác A1 B1C1 là một tam giác đềucạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n ≥ 2, tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giácAn −1 Bn −1Cn −1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu rn tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếptam giác An BnCn . Chứng minh rằng dãy số ( rn ) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát củacấp số nhân đó?Hướng dẫn giải11.+ ( rn ) là một cấp số nhân với công bội q = và số hạng đầu r1 =321.+ Số hạng tổng quát: rn =3.2n −1Bài 2. Cho dãy số ( an ) được xác định bởi: a1 = 1 và an +1 = an + 2n − 1 với mọi n ≥ 1. Xét dãy số( bn )mà: bn = an +1 − an với mọi n ≥ 1 .a. Chứng minh rằng dãy số ( bn ) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấpsố cộng đó.b. Cho số nguyên dương N . Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số ( bn ) theo N . Từ đó,hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số ( an ) .Hướng dẫn giảia. Từ giả thiết ⇒ bn = 2n − 1 ⇒ ( bn ) là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 = 1 và công sai d = 2.b.2+ Tổng N số hạng đầu của dãy ( bn ) là: S N = N .+ Số hạng tổng quát của dãy ( an ) là:an = n 2 − 2n + 2.1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒIBài 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi:u1 = 41*un +1 = 9 (un + 4 + 4 1 + 2un ), n ∈ ¥Tìm công thức của số hạng tổng quát (un ) ?Hướng dẫn giảiĐặt xn = 1 + 2un ⇒ xn2 = 1 + 2un , xn ≥ 0 ⇒ un =xn2 − 12Thay vào giả thiết:xn2+1 − 1 1 xn2 − 122*= (+ 4 + 4 xn ) ⇔ (3 xn +1 ) = ( xn + 4) ⇔ 3 xn +1 = xn + 4, ∀n ∈ N , xn ≥ 029 2Ta có 3xn +1 − xn = 4 ⇔ 3n +1 xn +1 − 3n xn = 4.3n .Đặt yn = 3n.xn ⇒ yn +1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N *⇒ yn +1 = y1 + 4(3n + 3n −1 + ... + 3) ⇔ yn +1 = y1 − 6 + 2.3n +1Ta có x1 = 3 ⇒ y1 = 9 ⇒ yn = 3 + 2.3n1141, ∀n ∈ N * ⇒ un = (3 + n −1 + 2 n − 2 ), ∀n ∈ N * .n −13233un, ∀n ∈ ¥ * .Bài 4. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 =2un + 1Suy ra xn = 2 +Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n.Hướng dẫn giải*Ta có un > 0, ∀n ∈ ¥ . Khi đó un +1 =Với mọi n ∈ ¥ * , đặt vn =un11⇔= 2+ .2un + 1un +1un1⇒ v1 = 1; vn +1 = vn + 2, ∀n ∈ ¥ * .unSuy ra, dãy số ( vn ) là cấp số cộng có v1 = 1 và công sai d = 2.Do đó, vn = v1 + ( n − 1) d = 2n − 1, ∀n ∈ ¥ * .11.Vậy un = =vn 2n − 1n*Bài 5. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 = 2un + 3 , ∀n ∈ ¥ . Tìm công thức số hạng tổng quátun theo n .Hướng dẫn giảiVới mọi n ∈ ¥ * , ta cóun +1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = 2(un − 3n )n*Xét dãy số (vn ), với vn = un − 3 , ∀n ∈ ¥ . Ta có: vn +1 = 2vn . Do đó, dãy số (vn ) là một cấp số nhâncó công bội q = 2 và số hạng đầu bằng −2.n −1nSuy ra vn = v1.q = −2 .nnnVậy un = vn + 3 = 3 − 2 .3n+4 *Bài 6. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 =  un − 2÷, ∀n ∈ ¥ . Tìm công thức số2n + 3n + 2 hạng tổng quát un theo n .Hướng dẫn giảiVới mọi n ∈ ¥ , ta có*n+423) ⇔ 2un +1 = 3(un +−)(n + 1)( n + 2)n + 2 n +133333⇔ 2(un +1 −) = 3(un −) ⇔ un+1 −= (u n −).n+2n +1n+2 2n +1331dãy số (vn ), vn = un −là cấp số nhân có công bội q = và v1 = − .n +122n −1n −13133  1vn =  ÷ .  − ÷, ∀n ∈ ¥ * ⇒ un =−  ÷ , ∀n ∈ ¥ * .n +1 2  2 2  22un +1 = 3(un −u1 = 35un − 3Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi: * .un +1 = 3u − 1 , n ∈ ¥nXét dãy số ( vn ) với vn =tổng quát của dãy số ( un ) .un + 1, ∀n ∈ ¥ * . . Chứng minh dãy số ( vn ) là một cấp số cộng. Tìm số hạngun − 1Hướng dẫn giảiun + 1vn + 1⇒ un =Ta có vn =thay vào hệ thức truy hồi ta cóun − 1vn − 1v +15. n−3v + 1 2vn + 8vn +1 + 1vn − 1v + 1 2vn + 8⇒ n +1==⇒ n +1=vn +1 − 1 2vn + 4vn +1 − 1 3. vn + 1 − 124vn − 1hay vn +1 = vn + 3 và v1 = 2 . Suy ra dãy số ( vn ) là một cấp số cộng có v1 = 2 và công sai d = 3.Ta có vn = v1 + ( n − 1) d = 2 + 3 ( n − 1) = 3n − 1.3n − 1 + 13n=Do đó un =. Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.3n − 1 − 1 3n − 23nVậy số hạng tổng quát của dãy số ( un ) là un =n ∈ ¥ *.3n − 21.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG1.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ1.5. DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC1.7. CÁC DẠNG KHÁCBài 8. Cho dãy số dương { xn } thoả mãn: xn + xn +1 > 2 xn + 2 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 . Chứng minhrằng dãy {xn} hội tụ .Hướng dẫn giảiĐặt yn = max { xn ; xn +1} .Từ (1) và (2) suy ra yn ≥ yn +1 > 0; ∀n ∈ ¥ * ⇒ ∃a = lim(y n ) .Với ε > 0 tuỳ ý, khi n đủ lớn, ta có ε > yn − a ≥ 0 .• Nếu yn > a thì ε > yn − a ≥ xn − a > 0 .• Nếu xn ≤ a thì xn +1 < a ≤ yn −1 = xn −1 .Mà xn + xn −1 > 2 xn +1 > 2a ⇒ xn + xn −1 > 2a ⇒ a > x n > 2a − xn −1 > a − ε .Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến xn − a < ε .Vậy dãy số {xn} hội tụ .Bài 9. Cho phương trình x 2 − α x − 1 = 0 với α là số nguyên dương. Gọi β là nghiệm dương củaphương trình. Dãy số ( xn ) được xác định như sau:x0 = α , xn +1 = [ β xn ] , n = 0,1, 2,3,...Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho xn chia hết cho α .Hướng dẫn giảiβĐầu tiên ta chứng minh là số vô tỉ. Thật vậy, nếu β là số hữu tỉ thì β là số nguyên (do hệ số cao nhấtcủa x 2 là 1) và β là ước của 1. Do đó β = 1 suy ra α = 0 , trái giả thiết.Do đó [ β xn −1 ] < β xn −1 < [ β xn−1 ] + 1⇔ xn < β xn −1 < xn + 1xnx11 x< xn −1 < n + ⇒ xn −1 − < n < xn −1ββ ββ β1x ⇒  n  = xn −1 − 1 (1) . Lại có β 2 − αβ − 1 = 0 , suy ra β = α +ββ ⇒xnx x ⇒ xn +1 = α xn + n  = α xn +  n  = α xn + xn −1 − 1 (do (1)).βββ Vậy xn +1 ≡ xn −1 − 1 (mod α ) . Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi k ∈ ¥ * , n ≥ 2k + 1, thìxn +1 ≡ xn −(2 k +1) − (k + 1) (mod α )(2)⇒ β xn = α xn +*Chọn k + 1 = lα ( l ∈ ¥ ) , n + 1 = 2lα , từ (2) ta có x2lα ≡ x0 − lα = α − lα ≡ 0 (mod α ) .Vậy x2lα chia hết cho α , ∀l ∈ ¥ * .Bài 10. Cho dãy ( an ) với n > 0 được xác định bởi:a1 = 1; a2 = 2; a3 = 6; a4 = 12an + 4 = 2a n +3 + an + 2 − 2a n +1 − an ∀ n ≥ 1a. Chứng minh an chia hết cho n với mọi giá trị nguyên dương của n .ab. Đặt bn = n . Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của bn .nHướng dẫn giảib=1;b=1;b=2;b=3a) Ta có 1.234Dễ thấy bn = Fn với n = 1; 2;3; 4. Bằng quy nạp ta chứng minh dãy ( bn ) trùng với dãy ( Fn ) .Thật vậy:Mệnh đề đúng với n = 1; 2;3; 4. Giả sử mệnh đề đúng đến n + 3 . Khi đó ta có:( n + 4 ) bn+ 4 = 2 ( n + 3) Fn+3 + ( n + 2 ) Fn+2 − 2 ( n + 1) Fn+1 − nFn .Dùng công thức của dãy Fibonaci : Fm + 2 = Fm +1 + Fm ta dễ dàng biến đổi vế phải thành ( n + 4 ) Fn + 4suy ra bn + 4 = Fn+ 4 .Vậy mệnh đề đúng với n + 4 , do đó nó đúng với mọi n nguyên dương.Điều đó chứng tỏ an luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương.b) Gọi rn là số dư của bn cho 2015 với n = 1; 2;3...Trước tiên ta chứng minh ( rn ) là một dãy tuần hoàn. Thật vậy: Ta cóbn + 2 = bn +1 + bn ⇒ rn + 2 ≡ rn +1 + rn ( mod 2015 ) .Vì có vô hạn các cặp ( r1 ; r2 ) , ( r2 ; r3 ) , ..., ( rn ; rn +1 ) nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ítnhất hai phần tử của dãy trùng nhau. Ta giả sử là ( rm ; rm+1 ) = ( rm+T ; rm +T +1 ) (với T là một số nguyêndương).Ta chứng minh ( rn ) tuần hoàn với chu kỳ T .+) Ta có: rm + 2 ≡ rm +1 + rm ( mod 2015 ) ; rm +T + 2 = rm +T +1 + rm +T ( mod 2015 )⇒ rm + 2 ≡ rm +T + 2 ( mod 2015 ) ⇒ rm + 2 = rm +T + 2 .Tiếp tục như vậy ta chứng minh được: rm + k = rm +T + k với mọi k ≥ 0. (1)+) Ta có: rm −1 ≡ rm +1 − rm ( mod 2015 ) ; rm +T −1 ≡ rm +T +1 − rm +T ( mod 2015 )⇒ rm −1 ≡ rm +T −1 ( mod 2015 )⇒ rm −1 = rm +T −1.Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm −k = rm +T −k với k = 1; 2;3;...; m − 1. (2)Từ (1) và (2) suy ra ( rn ) , n > 0 là một dãy tuần hoànBổ sung vào dãy ( bn ) phần tử b0 = 0 thỏa mãn b0 + b1 = b2 suy ra r0 = 0.Khi đó dãy ( rn ) là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên r0 = 0. Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy( rn )bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.Bài 11. Cho dãy số ( un ) được xác định như sau: u0 = 0, u1 = 1, un + 2 = 2un +1 + un , n = 0,1, 2,... Chứng2014un khi và chỉ khi 22014 n .minh rằng 2Hướng dẫn giảiCông thức tổng quát un =(Đặt 1 + 2Ta có un =)n(= a, 1 − 212 22( ( 1+ 2 ) − ( 1− 2 )2)= b ⇒ ab = ( −1)1n( a − b ) , u2 n =(Đặt S n = a + b = 1 + 2n12(a2) + ( 1− 2 )nn2n)n− b 2 ) = un ( a + b ). Khi đó ta được dãy ( S n ) được xác định như sau: S1 = 2, S 2 = 6,S n + 2 = 2Sn +1 − S n , n = 1, 2,...Do S1 ≡ 2 ( mod 4 ) , S 2 ≡ 2 ( mod 4 ) nên bằng quy nạp ta được: S n ≡ 2 ( mod 4 ) haya + b ≡ 2 ( mod 4 ) ⇒ a + b = 2t , ( t , 2 ) = 1Do đó u2 n = 2un .t , ( t , 2 ) = 1kkGiả sử n = 2 .t , ( t , 2 ) = 1 ⇒ un = u2k.t = 2 .ut . Ak , trong đó ut , Ak đều lẻ.*Bài 12. Cho dãy số ( an ) : a1 ∈ ¥ , an +1 = an3 + 2019, ∀n ∈ ¥ * . Chứng minh có nhiều nhất 1 số hạng củadãy là số chính phương.Hướng dẫn giảiSo sánh đồng dư của an , an +1 và an + 2 theo modun 4 ta có (chú ý 2019 ≡ 3 ( mod 4 ) )0123anan +1303232an + 2Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1.Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào.22Nếu cả a1 và a2 đều chính phương, giả sử a1 = a , a2 = b ,33suy ra b 2 = a 6 + 2019 ⇔ ( b − a ) ( b + a ) = 2019 .Hơn nữa khi phân tích 2019 thành tích chỉ có 2 cách 2019 = 1.2019 = 3.673 .3b = 1010b − a = 1⇔ 3Trường hợp 1: , vô lí do 1009 không là lập phương.3b + a = 2019a = 1009233b = 338b − a = 3⇔ 3Trường hợp 2: , vô lí do 335 không là lập phương.3b + a = 673a = 335Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương.2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨABài 13. Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an +1 − 3an ) = 4 . Tính lim an .Hướng dẫn giảiĐặt an = 2 + bn . Từ giả thiết suy ra lim (5bn +1 − 3bn ) = 0 .Với số dương ε bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n > N thì ta có:ε5bn +1 − 3bn 0 hay bn +1 , bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.εε. Nếu 2bn +1 − bn ≤ 0 thì kết hợp với (1): 3(2bn +1 − bn ) − bn+1 < dẫn đến bn +1 < .55ε⇒ bn < εMà từ (1) ta có 3bn − 5bn +1 0 thì kết hợp với (1): (bn +1 − bn ) − bn < dẫn đến bn < ε225Tóm lại luôn có bn < ε , hay lim(bn ) = 0 .Vậy lim(an ) = 2 .Bài 14. Cho dãy (un ) xác định như sau: u1 = 3 và un +1 =nVới mỗi số nguyên dương n , đặt vn = ∑un2015 + 2un + 4, n = 1, 2,3...un2014 − un + 61vn .. Tìm nlim→+∞+4Hướng dẫn giải2015un + 2un + 4(un − 2)(unα + 4)−2 = α, (*)Đặt α = 2014 ta có un +1 − 2 = 2014un − u n + 6(un + 4) − (un − 2)Bằng quy nạp ta chứng minh được un > 3, ∀n > 1 .i =1Xét un +1 − un =u2014iunα +1 + 2un + 4(un − 2) 2−u=> 0, ∀un ≥ 3 .nunα − un + 6unα − un + 6Do đó (un ) là dãy tăng và 3 = u1 < u2 < L < un < Lα +1un = a , a > 3 . Khi đó ta có a = a + a + 4 ⇒ a = 2 < 3 (vô lí), suy raGiả sử (un ) bị chặn trên, suy ra nlim→+∞aα − a + 6un = +∞ .(un ) không bị chặn trên. Vậy nlim→+∞Từ (*) suy ra111111=− α=−, hay α.un +1 − 2 un − 2 un + 4un + 4 un − 2 un +1 − 2n1 11 =L=1−.=−÷∑2014un +1 − 2+ 4 i =1  ui − 2 ui +1 − 2 i =1 ui1vn = lim (1 −) =1.Vậy nlim→+∞n →+∞un +1 − 2nvn = ∑1u1 = 3Bài 15. Cho dãy số ( un ) được xác định bởi  3. Chứng minh rằng dãyun +1 − 3un +1 = 2 + un , ∀n ≥ 1( un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn giảiu1 = 3Dãy số ( un ) được xác định bởi  3un +1 − 3un +1 = 2 + un , ∀n ≥ 1Ta chứng minh un > 2, ∀n ≥ 1Thật vậy ta có u1 = 3 > 23Giả sử uk > 2, ∀k ≥ 1 , khi đó uk +1 − 3uk +1 = 2 + uk > 2 + 2 = 2 nênuk3+1 − 3uk +1 − 2 > 0 ⇔ ( uk +1 + 1)2( uk +1 − 2 ) > 0 ⇔ uk +1 > 2 .Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un > 2, ∀n ≥ 13Xét hàm số f ( t ) = t − 3t trên khoảng ( 2, + ∞ )2Ta có f ' ( t ) = 3t − 3 > 0, ∀t > 2Do đó hàm số f ( t ) đồng biến trên khoảng ( 2, + ∞ )Mặt khác ta có u13 − 3u1 = 18 > 5 = u23 − 3u2 ⇔ f ( u1 ) > f ( u2 ) ⇒ u1 > u2Giả sử uk > uk +1 ( k ≥ 1) ⇒2 + uk > 2 + uk +1 ⇔ uk3+1 − 3uk +1 > uk3+ 2 − 3uk + 2⇒ f ( uk +1 ) > f ( uk + 2 ) ⇒ uk +1 > uk + 2Do đó un > un +1 , ∀n ≥ 1 ⇒ Dãy ( un ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy ( un ) có giới hạn hữu hạn3Giả sử lim un = a ( a ≥ 2 ) . Từ hệ thức truy hồi un +1 − 3un +1 = 2 + un chuyển qua giới hạn ta được:54323a 3 − 3a = 2 + a ⇔ ( a − 3a ) = 2 + a ⇔ ( a − 2 ) ( a + 2a − 2a − 4a + a + 1) = 02()⇔ ( a − 2 ) a 2 ( a 3 − 4 ) + 2a 3 ( a − 1) + a + 1 = 0 ⇔ a = 2 ( a ≥ 2 )Vậy lim un = 2 .Bài 16. Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn: x1 = 2015và xn +1 = xn .nTìm: lim ∑i =1()xn + 12( ∀n ∈ N )1.xi + 1Hướng dẫn giải* Ta có: xn > 0 ∀n ∈ N2xn +1=x+1> 0 ∀n ∈ N * ⇒ ( xn ) là dãy số tăng.Và:nxn*()* Đặt un = xn⇒ un xác định vì xn > 0 ∀n ∈ N * và un > 0 ∀n ∈ N *⇒ un +1 = xn +1 ⇒ xn +1 = un2+1Nên từ giả thiết (*) ta có:*(*)un2+1 = un2 . ( un + 1) = ( un . ( un + 1) )2⇒ un +1 = un2 + un∀n ∈ N *2(1)* Xét dãy số ( un ) ta có:2*. un +1 − un = un > 0 ∀n ∈ N ⇒ ( un ) tăng.. Giả sử ( un ) có giới hạn là a . Từ (1) ta có:a = a 2 + a ⇔ a = 0 (loại)tăng và không bị chặn ⇒ lim un = +∞⇒ ( un )* Ta có:un2u −uu −u111== 2n +1 n = n +1 n = −2un + 1 ( un + 1) un ( un + un ) .unun +1.unun un +1⇒n11∑ u +1 = ui1=1in⇒ lim ∑i =11−1un +1111 1= lim  −÷=ui + 12015 u1 un +1 nVậy: lim ∑i =111=.xi + 12015u1 = 5.Bài 17. Cho dãy số { un } ; (n = 1; 2; ...) được xác định bởi: un +1 = un + 12Chứng minh dãy số { un } có giới hạn. Tìm giới hạn đó.Hướng dẫn giảiDự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:a ≥ 0a = a + 12 ⇔  2⇒a=4 a = a + 12Nhận xét u1 = 5u2 = u1 + 12 = 17 < u1u3 = u2 + 12 =17 + 12 < u2 ...Ta dự đoán dãy số { un } là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un ≥ 4Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un ≥ 4khi n = 1, u1 = 5 ≥ 4 vậy n = 1 đúng.Giả sử uk ≥ 4 , ta chứng minh: uk +1 ≥ 4Thật vậy ta có:uk +1 = uk + 12 > 0 ⇔ uk2+1 = uk + 12 ⇔ uk2+1 − 12 = uk ≥ 4 ⇔ uk2+1 ≥ 16 ⇒ uk +1 ≥ 4Vậy dãy số un bị chặn dướiTa chứng minh dãy số { un } là dãy số giảmTa có:−(un − 4)(un + 3)−un2 + un + 12⇔ un +1 − un =≤ 0 (vì un ≥ 4 ).un +1 − un = un + 12 − un =un + 12 + unun + 12 + unVậy dãy số { un } giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.Đặt lim un = a thì lim un +1 = a.Ta có:un +1 = un + 12 ⇔ lim un +1 = lim un + 12 ⇔ a = a + 12 ⇒ a = 4Vậy lim un = 4.3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢNu1 = 11Bài 18. Cho dãy số ( an ) thỏa mãn u = un +( n ∈ ¥ *) . n +13 unauTìm tất cả các số thực a sao cho dãy số ( xn ) xác định bởi xn = n ( n ∈ ¥ * ) hội tụ và giới hạn của nónkhác 0.Từ giả thiết ta có dãy số ( un )Hướng dẫn giảilà dãy số dương và tăng(1)Giả sử ( un ) bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt L = lim un , ta có ngay L = L +Vì vậy ( un ) không bị chặn trênTừ (1) và (2) ta có lim un = +∞ .41 4v = 4 n∈¥ *Xét lim  un3+1 − un3 ÷. Đặt n(), ta có lim vn = 0un3u43n +131(vô lý).L(2)4341 3 −11+v()vn3 + 4vn2 + 6vn + 4 .11n÷4− u = 3 + vn − ==84÷ vvnn v4÷3 + ( 1+ v ) 3 +11+v()nn n43n44 43 433limu−uSuy ra n +1 n ÷ = . Từ đó lim un = 4 (sử dụng trung bình Cesaro). 3n 34+∞ khi a > 3 43 unaun a − 43 ÷ 4khi a < .Ta có lim = lim  .un ÷ = 0n3 n÷  44khi a =334Vậy a = là giá trị cần tìm.31u1 = 2 ; u2 = 3Bài 19. Cho dãy số ( un ) xác định như sau: un + 2 = un +1.un + 1 , ∀n ∈ N *un +1 + una. Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un > 1 .b. Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.Hướng dẫn giải( un+1 − 1) ( un − 1)a. Trước hết ta luôn có un > 0, ∀n ∈ N * . Xét un + 2 − 1 =un +1 + un(1).*Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n , u3n +1 < 1, ∀n ∈ N và u3n + 2 > 1, ∀n ∈ N * .Từ đó suy ra điều phải chứng minh.( un+1 + 1) ( un + 1)b. Ta có un + 2 + 1 =(2).un +1 + unun + 2 − 1 un +1 − 1 un + 1=., ∀n ∈ N * .Chia vế của (1) cho (2) cóun + 2 + 1 un +1 + 1 un + 1un − 1∀n ∈ N * , ta có vn + 2 = vn +1.vn ∀n ∈ N * .Đặt vn =un + 1FFBằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được vn = v2 n−1 .v1 n−2 , với F1 = F2 = 1* Fn + 2 = Fn +1 + Fn , ∀n ∈ NFn−11Hay vn =  ÷2( Fn )là dãy số Phibonxi:Fn −2 1.  − ÷ → 0 khi n → +∞ , dẫn đến lim un = 1 . 33.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸPan2 − 5an + 10∞, ∀n ≥ 1 .Bài 20. Cho dãy (an ) n =1 : a1 = 1; an +1 =5 − ana. Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an .b. Chứng minha1 + a2 + ... + an 5 − 5 a4 > a6 > ... > a2 k > ... > A ∃ lim a2 k = c ≥ AKết hợp công thức xác định dãy ta đượcc 2 − 5c + 10b=5− 55−c⇔b=c=22c = b − 5b + 105−bVậy lim an =5− 5.2 5− 5 b) Nhận xét: ∀t ∈ 1;÷÷. thì t + f (t ) < 5 − 5.2Dẫn đến a2 k −1 + a2 k < 5 − 5 , ∀k ≥ 1 .⇒ a1 + a2 + ... + a2 k −1 + a2 k < 2k5− 5.2(1)Như vậy bất đẳng thức đúng với n = 2k .Trường hợp n = 2k + 1 , chú ý a2 k +1 eun − 1 ⇔ e n ( un − 1) > −1 (luôn đúng)e 1 − e unVậy (1) được chứng minh.ex ( 1 + x − ex )xe xXét hàm f ( x ) =trên ( −∞;0 ) . Ta có f ' ( x ) =.21 − ex( 1 − ex )u n > −1 ⇒ e u n >xxHàm g ( x ) = 1 + x − e có g ' ( x ) = 1 − e > 0 với mọi x ∈ ( −∞;0 ) nên hàm này đồng biến trên ( −∞;0 ) .Suy ra g ( x ) < g ( 0 ) = 0 , suy ra f ' ( x ) =ex ( 1 + x − ex )hay hàm f ( x ) nghịch biến trên ( −∞;0 ) .( 1 − ex )2 u2 .Ta có u2 = 2=, u = 2 1− e, 431− e 2 1− ee2( 1− e )1− eSuy ra f ( u4 ) < f ( u2 ) ⇒ u5 < u3 < 0 < u1()()Quy nạp ta được dãy ( u2 n +1 ) giảm và dãy ( u2n ) tăng.Hơn nữa −1 < un < 0, ∀n ≥ 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.Giả sử lim u2 n = a, lim u2 n +1 = b ( a, b ∈ ( −1;0 ) ) , lấy giới hạn hai vế ta đượcbebae a a = 1 − eba 2a 1− e a⇒ ( 1− e ) = e eaaeb = 1 − e at  1 aĐặt e = t  t ∈  ;1÷÷ , ta được phương trình ( 1 − t ) 2 = t.t 1−t ⇔ 2 ( 1 − t ) ln ( 1 − t ) − ( 1 − t ) ln t − t ln t = 0  e Hàm h ( t ) = 2 ( 1 − t ) ln ( 1 − t ) − ( 1 − t ) ln t − t ln t nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm,1nhận thấy t = là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất.211Suy ra a = ln , thay vào được b = ln .221Vậy lim un = ln .2111un ?++ ... +. Tìm nlimBài 22. Cho dãy số {un} có số hạng tổng quát: un =→+∞n2 + 1n2 + 2n2 + n3.3. CÁC DẠNG KHÁCBài 23. Cho phương trình x n + x n −1 + ... + x − 1 = 0 . Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phươngxn .trình có duy nhất một nghiệm dương xn và tìm limx →∞1 1111+++ ... +÷.n  1+ 33+ 55+ 72n − 1 + 2n + 1  x1 = a.Bài 25. Cho a > 0 và a ≠ 1, xét dãy số xác định như sau: 23 xn +1 ( 3xn + 1) = xn + 3 xnBài 24. Tính giới hạn B = nlim→+∞Hãy chứng minh dãy số ( yn ) với yn = ( a − 1) xn có giới hạn và tìm giới hạn đó.Bài 26. Cho dãy số ( xn ) n =1 xác định bởi x1 = a ∈ ¡ , xn +1 = xn −∞1, n = 1, 2,K2n −1xn theo a .Chứng minh rằng với mọi a dãy số đã cho hội tụ và tìm limn →∞4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ4.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA4.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢNx 2 x − 1 + 3 3x − 2 − 2Bài 27. Tính giới hạn A = lim.x →1x2 −13 x + 1. 3 2 − x − 2Bài 28. Tính giới hạn hàm số : L = lim.x →1x −1Hướng dẫn giảiTa có:3 x + 1. 3 2 − x − 23 x + 1. 3 2 − x − 3 x + 1 + 3 x + 1 − 2= limx →1x →1x −1x −132 − x −13x + 1 − 2= lim 3 x + 1+ limx →1x→1x −1x −1lim( 3 2 − x − 1)  3 (2 − x) 2 + 3 2 − x + 1 + lim ( 3 x + 1 − 2)( 3 x + 1 + 2)3x + 1= limx →1x →123( x − 1)( 3 x + 1 + 2)( x − 1)  3 (2 − x) + 2 − x + 1(2 − x − 1)(3 x + 1 − 4)lim 3 x + 1+ lim= x→1( x − 1)  3 (2 − x) 2 + 3 2 − x + 1 x→1 ( x − 1)( 3 x + 1 + 2)−( 3 x + 1)31+ lim= lim=x →1  3x→123( 3 x + 1 + 2) 12 .(2 − x) + 2 − x + 12x −1 + 3 x − 2Bài 29. Tìm giới hạn A = lim.x →1x −12012  2011−Bài 30. Tính giới hạn L = lim÷.x →1 1 − x 20111 − x 2012 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM4.4. CÁC DẠNG KHÁC

Tài liệu liên quan

• Giáo án: một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
  • 44
  • 9
  • 51
• Sáng kiến kinh nghiệm: Xác định công thức tổng quát của dãy số
  • 23
  • 2
  • 40
• Cách xác định công thức tổng quát của dãy số
  • 4
  • 3
  • 61
• cách xác định số hạng tổng quát của dãy số
  • 4
  • 2
  • 13
• Đề tài : Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số pdf
  • 48
  • 864
  • 0
• MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ docx
  • 4
  • 1
  • 3
• xác định công thức tổng quát của dãy số và kết hợp với sự tiếp cận lý thuyết phương trình sai phân
  • 23
  • 672
  • 0
• khóa luận tốt nghiệp một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
  • 65
  • 688
  • 1
• Xác định công thức tổng quát của dãy số_SKKN toán lớp 11
  • 25
  • 2
  • 6
• TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
  • 5
  • 869
  • 7

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.38 MB - 13 trang) - xác định số hạng tổng quát của dãy số Tải bản đầy đủ ngay ×