Calotta Sferica - YouMath

Cos'è una calotta sferica e qual è la definizione di calotta in una sfera? Potreste spiegarmi com'è fatta, elencare le formule con cui si calcolano l'area, il volume, l'altezza e il raggio di una calotta sferica, e proporre qualche problema svolto?

È vero che a partire dalla calotta sferica si definisce il segmento sferico? Sapreste dirmi cos'è e come se ne calcola il volume?

Una calotta sferica è ciascuna delle due parti in cui una superficie sferica è suddivisa da un piano secante, ossia ciascuna delle due parti in cui viene divisa la superficie di una sfera da un piano che la taglia. La superficie della calotta sferica si calcola come S=2πRh, dove h è l'altezza della calotta e R il raggio della sfera.

Definizione di calotta sferica e di segmento sferico

Disegniamo una sfera e un piano secante la sfera. Si chiama calotta sferica ognuna delle due parti in cui la superficie della sfera viene suddivisa dal piano secante.

Una calotta sferica.

Se il piano secante contiene un diametro della sfera, le due calotte sono uguali e si dicono emisferi.

La parte di sfera compresa tra una calotta sferica e il cerchio ottenuto dall'intersezione tra piano e sfera si dice segmento sferico.

A scanso di equivoci ribadiamo che la calotta sferica è una parte di superficie sferica, dunque non è una figura solida, e di conseguenza non si può calcolare il volume di una calotta sferica. Si può invece calcolare il volume di un segmento sferico, che a differenza della calotta sferica è una parte di sfera.

Base, altezza e vertice di una calotta sferica

Ogni calotta sferica è costituita da una base, da un vertice e da un'altezza. Vediamo come si definiscono.

• La base della calotta sferica è il cerchio ottenuto dall'intersezione tra il piano che definisce la calotta e la sfera, ma attenzione: non è una parte della calotta.

• Il vertice della calotta sferica è il punto di intersezione tra la calotta sferica e il raggio della sfera che passa per il centro della base della calotta.

• L'altezza della calotta sferica è il segmento che unisce il centro della base della calotta con il suo vertice. Per quanto concerne la misura dell'altezza di una calotta sferica, osserviamo che:

- è uguale alla misura del raggio della sfera, se la calotta è un emisfero;

- è maggiore della misura del raggio della sfera, se la calotta è maggiore di un emisfero;

- è minore della misura del raggio della sfera, se la calotta è minore di un emisfero.

Formule della calotta sferica

Indichiamo con l'area della superficie della calotta sferica, con la misura dell'altezza e con la misura del raggio di base della calotta. Siano inoltre la misura del raggio della sfera e il volume del segmento sferico individuato dalla calotta.

Area della superficie della calotta sferica
Altezza della calotta (da area calotta e raggio sfera)
Altezza della calotta sferica maggiore di un emisfero (con raggio di base e raggio della sfera)
Altezza della calotta sferica minore di un emisfero (con raggio di base e raggio della sfera)
Raggio di base della calotta (con altezza della calotta e raggio della sfera)
Volume del segmento sferico (con altezza della calotta e raggio della sfera)
Volume del segmento sferico (con altezza e raggio di base della calotta)
Per il Pi Greco si può usare l'approssimazione

Per risolvere i problemi sulla calotta sferica, oltre alle formule elencate in tabella si devono conoscere le formule del cerchio e le formule della sfera.

Esercizi svolti sulla calotta sferica

Passiamo ad alcuni problemi sulla calotta sferica commentando ogni singolo passaggio.

1) Una calotta sferica è alta 6 centimetri e appartiene a una sfera di raggio 12,5 centimetri. Calcola l'area della superficie della calotta sferica.

Svolgimento: conosciamo la misura dell'altezza della calotta sferica

e la misura del raggio della sfera

dunque abbiamo tutto quello che serve per calcolare l'area della superficie della calotta

Concludiamo che l'area della superficie della calotta sferica è di 150π cm2.

2) Una calotta sferica appartiene a una sfera la cui area della superficie totale è di 14,44π metri quadrati. Calcola l'altezza della calotta sapendo che l'area della sua superficie è di 4,94π metri quadrati.

Svolgimento: la traccia del problema assegna l'area della superficie della calotta e l'area della superficie totale della sfera

Dall'area della superficie della sfera calcoliamo la misura del raggio della sfera

e quindi la misura dell'altezza della calotta

Abbiamo ricavato che l'altezza della calotta sferica è di 1,3 metri.

3) L'area della superficie di una calotta sferica è di 360π centimetri quadrati e la sua altezza è di 12 centimetri. Calcola il raggio di base della calotta e il volume del segmento sferico.

Svolgimento: scriviamo i dati

Per calcolare il volume del segmento sferico e la misura del raggio di base della calotta sferica ci serve il raggio della sfera: possiamo calcolarlo invertendo la formula per l'area della superficie della calotta

Determiniamo la misura del raggio di base della calotta sferica

e il volume del segmento sferico

In definitiva il raggio di base della calotta misura circa 14,7 centimetri, mentre il volume del segmento sferico è di 1584π centimetri cubi.

***

Con questo è tutto! Per ogni genere di approfondimento ti rimandiamo al formulario sulla sfera - click!

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) Ultima modifica: 17/10/2023

• Contattaci
• Staff e Collaboratori
• Chi siamo
• Dicono di noi
• Termini e Privacy