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Voume del segmento sferico

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Voume del segmento sferico

da burm87 » 31/05/2013, 17:03

Riporto integralmente il testo del quesito che mi ha creato qualche problema oggi pomeriggio:Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con $r_1$ ed $r_2$ i raggi delle due basi del segmento sferico e con $h$ la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume $V$ del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula: $V=1/6*pi*h(h^2+3r_1^2+3r_2^2)$.Avevo pensato di disegnare una circonferenza con centro nell'origine e raggio parametrico $gamma$ e poi calcolare l'integrale di rotazione, ma non sono arrivato molto lontano. Qualcuno mi da una dritta? burm87 Senior Member Messaggio: 415 di 1969Iscritto il: 15/11/2009, 11:03Località: Trieste Top

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Re: Voume del segmento sferico

da Zero87 » 31/05/2013, 17:28

Magari non porta da nessuna parte, però hai pensato di prendere tutta la sfera e di sottrarre il volume della calottona sotto e della calottina sopra?Non mi ricordo ora, ma se non erro le formule per il calcolo della calotta sferica erano "piuttosto" semplici. Ex studente Unicam Zero87 Cannot live without Messaggio: 2217 di 12942Iscritto il: 12/01/2008, 23:05Località: Marche Top

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Re: Voume del segmento sferico

da Delirium » 31/05/2013, 17:29

Con o senza integrali doppi ( - immagino senza, considerata la sezione, ma non si sa mai...)? Delirium Top

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Re: Voume del segmento sferico

da burm87 » 31/05/2013, 17:39

Però ho problemi con gli estremi di integrazione, nel senso che per fare la rotazione devo avere in asse x la distanza tra i due piani $h$, come può quindi il risultato essere in funzione di $r_1$ e $r_2$?

Delirium ha scritto:Con o senza integrali doppi ( - immagino senza, considerata la sezione, ma non si sa mai...)?

Direi senza, è un quesito della maturità e direi che non sono compresi. burm87 Senior Member Messaggio: 417 di 1969Iscritto il: 15/11/2009, 11:03Località: Trieste Top

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Re: Voume del segmento sferico

da Zero87 » 31/05/2013, 18:13

burm87 ha scritto:

Delirium ha scritto:Con o senza integrali doppi ( - immagino senza, considerata la sezione, ma non si sa mai...)?

Direi senza, è un quesito della maturità e direi che non sono compresi.

Un punto a favore per me...Comunque correggo: mi sa che è meglio sottrarre la calottina superiore alla calotta (pongo $r_2>r_1$ ma non cambia molto se fosse il contrario).$\pi (r-r_2)^2(r-(r-r_2)/3) - \pi (r-r_1)^2 (r-(r-r_1)/3)$Dunque$\pi (r^2+r_2^2-2r r_2)(r-r/3+r_2/3)-\pi(r^2+r_1^2-2rr_1)(r-r/3+r_1/3)=$$=\pi/3 (r^2+r_2^2-2r r_2)(2r+r_2)-\pi/3 (r^2+r_1^2-2rr_1)(2r+r_1)=$$=\pi/3 (2r^3+2r r_2^2-4r^2r_2+r^2 r_2+r_2^3-2rr_2^2)-\pi/3 (2r^3+2rr_1^2-4r^2 r_1+r^2 r_1+r_1^3-2r r_1^2)=$$=\pi/3 (-3 r^2 r_2+r_2^3)-\pi/3 (-3r^2 r_1 +r_1^3)= \pi r_2^3/3-\pi r^2 r_2 +\pi r^2 r_1-\pi r_1^3/3$.Ho trovato una formulazione non molto difficile, tuttavia se metto in evidenza $r_2-r_1=h$ utilizzando la notazione tua$\pi r_2^3/3-\pi r^2 r_2 +\pi r^2 r_1-\pi r_1^3/3=\pi r_2^3/3-h \pi r^2-\pi r_1^3/3= \pi/3 (r_2^3-r_1^3+3hr^2)$Che non è la formulazione giusta ma è pur sempre abbastanza masticabile: non metto in dubbio che abbia sbagliato i calcoli o che magari da qui posso andare oltre e ricondurmi a quella che trovi (penso più alla prima ipotesi).Tuttavia ho voluto solo mostrare che non sempre servono gli integrali. Tornandoci su dopo aver fatto l'anteprima, se pongo$r_2^3-r_1^3=(r_2-r_1)^3+3r_2^2 r_1 -3 r_2 r_1^2=h^3+3r_2 r_1 h$sostituendo al tutto ottengo$=\pi/3 (3hr^2 +h^3 +3r_2 r_1h)= h\pi/3 (3r^2+3r_2 r_1 + h^2)$che è una formulazione mooolto vicina a quella che cerchi: inizio a pensare che nel groviglio di calcoli ho sbagliato qualcosa, ma che però ci sono... Ex studente Unicam Zero87 Cannot live without Messaggio: 2221 di 12942Iscritto il: 12/01/2008, 23:05Località: Marche Top

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Re: Voume del segmento sferico

da burm87 » 31/05/2013, 18:16

Quindi forse mi stavo complicando la vita con gli integrali burm87 Senior Member Messaggio: 420 di 1969Iscritto il: 15/11/2009, 11:03Località: Trieste Top

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Re: Voume del segmento sferico

da Zero87 » 31/05/2013, 18:30

burm87 ha scritto:Quindi forse mi stavo complicando la vita con gli integrali

Guarda, secondo me come volume di solido di rotazione (il segmentino curvo che ruota e da origine al segmento sferico) il ragionamento è sacrosanto, però andrebbe espressa la circonferenza come $y= \sqrt{a-x^2}$ dove $a$ è il raggio (al quadrato) e c'era una formula apposta per il calcolo del volume dei solidi generati dalla rotazione di una curva.Solo che alle superiori a tal riguardo avevamo fatto solo "cavolatelle" e anche qui non si trovano di rado utenti che domandano cose relative al calcolo di volumi di solidi di rotazione per mezzo degli integrali il ché mi fa pensare che o si fanno 2 cavolate (e tutti capiscono) o non si fanno per nulla.Propenderei per quest'ultima perché c'è anche chi fa successioni/serie e induzioni alle superiori e sono certo che dieci anni fa queste cose non si facevano (quindi se aggiungi da una parte devi togliere dall'altra a parità di ore, no? ).Cioè, mi sembrava troppo difficile da risolvere con gli integrali e immaginavo un ragionamento manipolativo di formule che si fanno fin dal secondo superiore (volumi di sfera e parti di sfera). Ex studente Unicam Zero87 Cannot live without Messaggio: 2222 di 12942Iscritto il: 12/01/2008, 23:05Località: Marche Top

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Re: Voume del segmento sferico

da burm87 » 31/05/2013, 19:40

Comunque, provando con il tuo primo metodo proposto in realtà non mi trovo molto, poi mi sfugge perchè dici che $r_2-r_1=h$. $h$ è la distanza tra i due piani. Ma probabilmente non facevi riferimento al testo dell'esercizio burm87 Senior Member Messaggio: 422 di 1969Iscritto il: 15/11/2009, 11:03Località: Trieste Top

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Re: Voume del segmento sferico

da Zero87 » 31/05/2013, 19:48

burm87 ha scritto:Comunque, provando con il tuo primo metodo proposto in realtà non mi trovo molto, poi mi sfugge perchè dici che $r_2-r_1=h$. $h$ è la distanza tra i due piani. Ma probabilmente non facevi riferimento al testo dell'esercizio

E' il secondo metodo quello a cui fai riferimento (il primo è quello che mi è venuto in mente nel mio secondo post ma che ho visto essere abbastanza contorto).Sì, non facevo riferimento al testo dell'esercizio, ma forse ci si può ricondurre (spero). Comunque a posteriori mi sa che la formula che ho detto un post fa - cioè il calcolo come solido di rotazione - è quella adatta anche se permangono i miei dubbi sul fatto che si faccia alle superiori anche in casi più difficili di quelli comuni... Ex studente Unicam Zero87 Cannot live without Messaggio: 2223 di 12942Iscritto il: 12/01/2008, 23:05Località: Marche Top

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Re: Voume del segmento sferico

da burm87 » 31/05/2013, 19:53

Sul fatto che si faccia alle superiori non ho dubbi, ed è piuttosto semplice come formula, ma mi crea problemi per quanto riguarda il sistema di riferimento. Per quanto riguarda il metodo più geometrico invece non mi trovo, nel senso che partendo da un volume di sfera di raggio $r$ cerco di sottrarre le due calotte, ma senza successo:$4/3pir^3-pi/6h_1(3r_1^2+h_1^2)-pi/6h_2(3r_2^2+h_2^2)$Preciso che $h_1$ e $h_2$ sono le distanze dei centri delle circonferenze formate dall'intersezione dei piani con la sfera e il "bordo" della sfera, mentre $r_1$ e $r_2$ sono i raggi di queste circonferenze. burm87 Senior Member Messaggio: 423 di 1969Iscritto il: 15/11/2009, 11:03Località: Trieste Top Prossimo Visualizza ultimi messaggi: Tutti i messaggi1 giorno7 giorni2 settimane1 mese3 mesi6 mesi1 anno Ordina per AutoreOra di invioTitolo CrescenteDecrescente Rispondi al messaggio 20 messaggi • Vai alla pagina... • 1, 2

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