Zone E Calotte Sferiche - Roberto Bigoni

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Zone e calotte sferiche

Appunti per i Licei Scientifici (da Note Didattiche)

1. Zona sferica

Data una superficie sferica Σ di centro O e raggio OP di misura R, due piani φ e ψ paralleli e tali che la loro distanza dal centro O sia minore di R, intersecano Σ in due circonferenze.

Si dice zona sferica Ζ la porzione di Σ delimitata da queste circonferenze. I cerchi racchiusi da queste circonferenze sono le sue basi.

Per calcolare la superficie di una zona sferica si può procedere nel seguente modo:

si tracci da O una perpendicolare OQ a OP;
si considerino le intersezioni tra Σ, φ e ψ con il piano Π di queste due perpendicolari;
si assume la retta OQ come asse delle ascisse e la retta OP come asse delle ordinate;
i punti A e B sono rispettivamente le intersezioni nel primo quadrante tra γ e i piani φ e ψ; T è un punto qualunque di γ;

i raggi OA, OB e OT formano, rispettivamente, gli angoli α, β e θ con il verso positivo dell'asse x;

le coordinate di A, B e T sono rispettivamente
un tratto infinitesimale dγ di γ ha lunghezza
l'area S della zona Z si può concepire come la somma delle superfici laterali di cilindri di altezza infinitesimale dγ e raggio di base con θ da α a β;
indicando con δ la distanza tra i piani φ e ψ

si ottiene

2. Segmento sferico

Con riferimento alla fig. 1, il solido Ω delimitato dalla zona sferica Z e dalle sue basi è detto segmento sferico.

Con riferimento alla fig. 3 e con un metodo analogo a quello usato per il calcolo di S, il volume V di Ω può essere calcolato come somma dei volumi di cilindri di altezza infinitesimale dy e raggio di base con y da yA a yB;

Utilizzando la (4) si ottiene

Applicando il teorema di Pitagora

Sottraendo membro a membro

Sostituendo questa espressione di yA nella (12)

3. Calotta sferica

Se nella fig. 1 il piano più distante dal centro è tangente alla sfera in P, la figura risultante è detta calotta sferica.

Nella fig. 4, H è il centro della sua base, P il suo vertice, il segmento HK il raggio della sua base di misura r, il segmento HP la sua altezza di misura δ e OK il raggio della sfera di misura R.

Per la superficie esterna della calotta è ancora valida la (5)

Il volume della calotta si ottiene dalla (14) con xA=r e xB=0.

Per il teorema di Pitagora

Sostituendo questa espressione di r2 nella (15) si ottiene

3. Calotta visibile di una superficie sferica.

Data una superficie sferica Σ di centro O e raggio R e un punto E esterno a Σ posto a distanza h dalle stessa, la porzione di Σ osservabile da E è una calotta la cui area si può calcolare nel seguente modo:

si considera il cono Γ con vertice in E, superficie laterale tangente a Σ e base costituita dei punti di tangenza;
si rappresentano le intersezioni di Σ e Γ con un piano passante per la retta OE;

la sezione di Σ è una circonferenza; la sezione di Γ è un triangolo isoscele di vertici E, A e B; l'altezza del triangolo giace sulla retta del diametro EF, interseca la circonferenza in P e interseca la base in H;
il triangolo EAO è rettangolo in A;
per il primo teorema di Euclide
per la calotta si ha quindi
e infine, per la (5),