Chia đa Thức Cho đa Thức - Toán Lớp 8

Trong toán học, chia đa thức cho đa thức là một trong những dạng kiến thức quan trọng và luôn xuất hiện nhiều trong các đề thi. Chính vì thế hôm nay Cmath sẽ cùng các bạn ôn tập lại phần kiến thức này và rèn luyện thêm một số bài tập vận dụng thật nhuần nhuyễn nhé!

Lý thuyết chia đa thức cho đa thức 

Muốn làm được các bài tập liên quan đến chia đa thức cho đa thức, bạn cần nắm được một số lý thuyết cơ bản sau đâu:

Lý thuyết

Để chia một đa thức cho một đa thức ta thực hiện tương tự như phép chia các số tự nhiên. Đối với hai đa thức A và B của một biến, điều kiện B khác 0 dẫn đến tồn tại hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R với R = 0 hoặc R khác 0 có bậc bé hơn bậc của B.

Trong đó các kí hiệu A,B,Q,R là: 

A và B được xem là các đa thức

Q được cho là đa thức thương của phép chia đa thức A cho đa thức B

R là dư trong phép chia đa thức A cho đa thức B

Chú ý: Nếu R = 0 ta được phép tính chia đa thức cho đa thức hết.

            Nếu R khác 0 ta được phép chia đa thức cho một đa thức có dư.

Lưu ý khi chia đa thức cho đa thức

Để rút ngắn hơn phép tính chia đa thức cho một đa thức ta có thể dùng một trong các hằng đẳng thức sau:

(A^3 + B^3) : (A + B) = A^2 – 2AB + B^2

(A^3 – B^3) : (A + B) = A^2 + 2AB + B^2

(A^2 + B^2) : (A + B) = (A – B)

Ví dụ: Chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép chia đa thức sau:

a) (125y^3 + 1) : (5y + 1)

Lời giải: 

(125y^3 + 1) : (5y + 1) = [(5y)^3 + 1] : (5y + 1)

= (5y)^2 – 5x + 1

= 25y^2 – 5x + 1

Vậy phép chia đa thức (125y^3 + 1) : (5y + 1)  có kết quả là: 25y^2 – 5x + 1

b) (x^2 – 2xy – y^2) : (y – x)

Lời giải:

(x^2 – 2xy – y^2) : (y – x)

= (y – x)^2 : [-(y – x)]

= – y – x

= x – y

Vậy phép chia đa thức (x^2 – 2xy – y^2) : (y – x) có kết quả là: x – y

Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Cách 1: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho đa thức

Để giải được bài toán này, ta cần xác định được các điều kiện bài đã cho. Từ đó, đặt phép chia đa thức cho đa thức A : B, đạt kết quả thương Q và dư R.

Cách 2: Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Để hiểu hơn về phương pháp này, ta cùng xem xét ví dụ sau:

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức: 4n^3 – 4n^2 – n + 4 chia hết cho biểu thức 2n + 1.

Lời giải:

Thực hiện phép chia: 4n^3 – 4n^2 – n + 4 : 2n + 1, ta được

4n^3 – 4n^2 – n + 4 = (2n + 1)(n^2 + 1) + 3

Suy ra để có phép chia hết điều kiện 3 chia hết cho 2n + 1. Tức là cần tìm điều kiện nguyên của n sao cho 2n + 1 là ước của 3, ta được:

 2n + 1 = 3. Suy ra: n =1

2n + 1 = 1. Suy ra: n = 0

2n + 1 = -3. Suy ra: n = -2

2n + 1 = -1. Suy ra: n = -1

Vì vậy, n = 1, n = 0, n = 2 thỏa mãn được điều kiện đề bài đã cho.

Cách 3: Ứng dụng định lý Bezout khi giải bài tập:

Định lý:

 Đa thức f(x) khi chia cho nhị thức x – a thì được dư là R thì R= f(a).

Chứng minh:

Ta có đa thức f(x) và nhị thức x-a. thương của phép chia f(x) cho x – a sẽ là Q và dư R.

Khi đó ta có: f(x) = (x – a). Q + R

Khi đó ta có: f(a) =  (x – a). Q + R

Khi đó ta có: f(a) = (a – a). Q + R = R

Xét ví dụ sau:

Ta có đa thức f(x) = x^2 + x + 1 chia cho nhị thức (x – 1) được số dư là 3.

Suy ra: f(1) = 3.

Ngoài chia đa thức cho đa thức, ta còn có một số dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số, chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Thực hiện các phép chia một đa thức cho một đa thức:

a) (4x^2 – 9y^2) : (2x – 3y)

b) (27x^3 – 1) : (3x – 1)

c) (8x^3 + 1) : (4x^2 – 2x + 1)

d) (x^2 – 3x + xy – 3y) : (x + y)

Lời giải:

a) (4x^2 – 9y^2) : (2x – 3y)

= [(2x)^2 – (3y)^2] : (2x – 3y)

= 2x + 3y

b) (27x^3 – 1) : (3x – 1)

= [(3x)^3 – 1] : (3x – 1)

= (3x)^2 + 3x + 1

= 9x^2 + 3x + 1

c) (8x^3 + 1) : (4x^2 – 2x + 1)

= [(2x)^3 + 1] : (4x^2 – 2x + 1)

= [(2x + 1)(2x)^2 – 2x + 1] : (4x^2 – 2x + 1)

=[(2x + 1)(4x^2 – 2x + 1)] : (4x^2 – 2x + 1)

= 2x + 1

d) (x^2 – 3x + xy – 3y) : (x + y)

= [(x^2 + xy) – (3x + 3y)] : (x + y)

=[x(x + y)  -3(x + y)] : (x + y)

=[(x + y)(x – 3)] : (x + y)

= (x – 3)

Bài tập 2: Cho hai đa thức A và B, xét đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không? Lưu ý: không thực hiện phép chia.

a) A = 15x^4 – 8x^3 + x^2

    B = 12x^2

Lời giải:

Ta xét từng hạng tử của biểu thức A:  15x^4, 8x^3, x^2 đều có thể chia hết cho x^2 

Từ đó suy ra đa thức A có thể chia hết cho đa thức B.

b) A = x^2 – 2x + 1

    B = 1 – x

Lời giải: 

Ta có biểu thức: A = x^2 – 2x + 1 = (1 – x)^2 chia hết cho 1 – x

Từ đó suy ra đa thức A chia hết cho đa thức B.

Bài tập 3: Cho hai đa thức A = 3x^4 + x^3 + 6x – 5 và B = x^2 + 1. Hãy tìm dư R trong phép chia đa thức A cho đa thức B rồi viết dưới dạng A = B.Q + R

Lời giải: 

Muốn tìm được dư R và Q trước tiên ta cần đặt phép chia đa thức cho đa thức:

Ta có phép chia đa thức A = 3x^4 + x^3 + 6x – 5 cho B = x^2 + 1 được thực hiện như sau: 

Từ đó suy ra: Q = 3x^2 + x – 3, R = 5x – 2

Vậy phép chia đa thức A cho B viết dưới dạng A = B.Q + R là:

3x^4 + x^3 + 6x – 5 = (x^2 + 1)(3x^2 + x – 3) + 5x – 2

Bài tập 4: Thực hiện phép tính nhanh chia đa thức cho đa thức sau đây:

a) (x^3 – 7x + 3 – x^2) : (x – 3)

b) (2x^4 – 3x^2 – 2 + 6x) : (x^2 – 2)

Lời giải:

a) (x^3 – 7x + 3 – x^2) : (x – 3)

Vậy phép chia (x^3 – 7x + 3 – x^2) : (x – 3) = x^2 + 2x – 1

b) (2x^4 – 3x^2 – 2 + 6x) : (x^2 – 2)

Vậy phép chia (2x^4 – 3x^2 – 2 + 6x) : (x^2 – 2) = 2x^2 – 3x + 1

Bài tập rèn luyện:

a) Tìm m để đa thức 3x^2 + 2x^2 – 7x + m sao cho đa thức ấy chia hết cho đa thức: 3x – 1.

b) Tìm dư trong phép chia: f(y) =  y^243 + y^81 + y^27 + y^9 + y^3 + y cho đa thức g(y) = y^2 – 1.

Tham khảo thêm:

• Lý thuyết về biểu thức đại số
• Lý thuyết về biểu thức đại số
• Phép cộng các phân thức đại số – Toán lớp 8

Tạm kết:

Trên đây là tổng hợp lý thuyết liên quan đến chia đa thức cho đa thức và một số bài tập vận dụng liên quan. Đây là một trong những phần lý thuyết vô cùng quan trọng và xuất hiện xuyên suốt trong các dạng đề thi. Vì vậy, các bạn cần nắm chắc lý thuyết và rèn luyện nhuần nhuyễn các dạng bài tập liên quan. Chúc các bạn có được kết quả học tập thật tốt!