Cho A+b+c=0 Và A2+b2+c2=1. Chứng Minh A4+b4+c4=\(\frac{1}{2}\)

Học liệu Hỏi đáp Đăng nhập Đăng ký

• Học bài
• Hỏi bài
• Kiểm tra
• ĐGNL
• Thi đấu
• Thư viện số
• Bài viết Cuộc thi Tin tức Blog học tập
• Trợ giúp
• Về OLM

Chính thức mở đề thi thử tốt nghiệp THPT trên máy tính từ 27/12/2025, xem ngay.

OLM Class tuyển sinh lớp bứt phá học kỳ II! Đăng ký ngay

• Mẫu giáo
• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12
• ĐH - CĐ

K Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xác nhận câu hỏi phù hợp

×

Chọn môn học Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên Mua vip

• Tất cả
• Mới nhất
• Câu hỏi hay
• Chưa trả lời
• Câu hỏi vip

HD Hoàng Đình Huy 19 tháng 8 2015 - olm

cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=1. chứng minh a4+b4+c4=\(\frac{1}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 NY Người Yêu Môn Toán 19 tháng 8 2015

a+b+c=0=>(a+b+c)2=0

             =>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0

vi a2+b2+c2=1=> 1 + 2(ab+bc+ca)=0=> ab+bc+ca= \(\frac{-1}{2}\)

=>(ab+bc+ca)2=\(\frac{1}{4}\)

=>a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=1/4

=>a2b2+b2c2+c2a2=1/4

a2+b2+c2 =1

=> a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=1

=>a4+b4+c4+1/2=1

=>a4+b4+c4=1/2(dpcm)

Đúng(0) Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên NH Nguyễn Hữu Hiếu 8 tháng 10 2016 - olm 1: Cho 1+2+3+....+n chia hết cho 6  Chứng minh 13+23+33+...+n3 chia hết cho 62: Phân tích: a4.(b-c)-b4.(c-a)+c4.(a-b)3: Cho a+b+c=1 và \(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 0Chứng minh a2+b2+c2=04 Phân tích A=...Đọc tiếp

1: Cho 1+2+3+....+n chia hết cho 6

  Chứng minh 13+23+33+...+n3 chia hết cho 6

2: Phân tích: a4.(b-c)-b4.(c-a)+c4.(a-b)

3: Cho a+b+c=1 và \(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 0

Chứng minh a2+b2+c2=0

4 Phân tích A= (x2+x)2+(4x2+4x)-1

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 NM Nguyễn Minh Tuyền 10 tháng 5 2017 - olm

1,chứng minh x2+y2 +z2\(\ge2xy+2yz-2X\)

2,  Cho a,b,c >0 . Chứng minh \(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

3, cho a + b >1 . Chứng minh a4 + b4>\(\frac{1}{8}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 2 NK nguyễn kim thương 11 tháng 5 2017

Bài 2 :

Ta có :

\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{a^2b-ab^2+a^2c-ac^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)( 1 )

\(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)( 2 )

\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)  ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ta được : 

\(\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)

\(+ac\left(a-c\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b62\right)}\right]\)

\(+bc\left(b-c\right)\left[\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]\)

Theo đề bài thì  \(a,b,c>0\)( các biểu thức trong các dấu ngoặc đều không âm ) \(\Leftrightarrow dpcm\)

Thấy đúng thì tk nka !111

Đúng(0) NK nguyễn kim thương 12 tháng 5 2017

Bài 3:

ta có :    \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

Cộng    \(a^4+b^4\)  vào 2 vế ta được:  

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)

Ta cũng có : \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)

                  \(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)

mà theo bài thì   \(a+b>1\)\(\Rightarrow dpcm\)

TK MK NKA !!!

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời HL Hang Le 21 tháng 3 2019 Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0) 2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b 4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c 5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d) 6, x3-4x+5 >0 7, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với...Đọc tiếp

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0)

2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3

3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b

4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c

5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d)

6, x3-4x+5 >0

7, a4+b4+2 \(\ge\)4ab

8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với a,b,c>0)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 2 NN nguyễn ngọc dinh 21 tháng 3 2019

Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Đúng(0) NN nguyễn ngọc dinh 21 tháng 3 2019

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời NT Nguyễn Tất Anh Quân 16 tháng 7 2017 - olm

Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a4  + b4 + c4 = \(\frac{1}{2}\)(a2 + b2 + c2)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 QN Quân Nguyễn Anh 4 tháng 8 2015 - olm

Chứng minh rằng:

a) Nếu (a+b+c+d)(a-b-c-+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d) thì \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)(a,b,c,d khác 0)

b)Nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc

c)Cho x2=a2+b2+ab và a+b+c=0. Chứng minh 2x4=a4+b4+c4

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 NQ Nguyễn Quang Linh 5 tháng 8 2015

a) Ta có: (a + b + c + d)(a - b - c +d )=( (a + d) + (b + c) )( (a + d) - (b + c) )

                                                     =(a + d )2 - (b +c )2                             (1)

              (a - b + c - d)(a + b - c - d)=(a - d)2 - (b - c)2                                  (2)

Từ (1) và (2)  => a2 + 2ad + d2 - b2 - 2bc - c2=a2 - 2ad + d2 - b2 + 2bc - c2

4ad=4bc => ad=bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)  (đpcm)

 

Đúng(1) VN Vũ Ngọc Diệp 8 tháng 3 2019 - olm

Bài 1: a) Cho a+b+c=6 và ab+bc+ac=9. Chứng minh rằng 0<a<4; 0<b<4; 0<c<4.

           b) Cho a+b+c=2 và a2+b2+c2=2. Chứng minh rằng: \(0\le a\le\frac{4}{3};\)\(0\le b\le\frac{4}{3};\)\(0\le c\le\frac{4}{3}.\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 BC Bạn Của Nguyễn Liêu Hóa 8 tháng 3 2019

Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c

Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9

                               \(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)

           Mà a+b=6-c (cmt)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2

Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c

  \(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab

Mà a+b=6-c (cmt)

         ab= 9-6c+c2 (cmt)

  \(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)

  \(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2

  \(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)

*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)

*

Đúng(0) HL Hang Le 21 tháng 3 2019 - olm Chứng minh các bất đẳng thức sau:1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0)2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d)6, x3-4x+5 >07, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với...Đọc tiếp

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0)

2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 

3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b

4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c

5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d)

6, x3-4x+5 >0

7, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 

8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với a,b,c>0)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 1 LG lê gia bảo 21 tháng 3 2019

\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\) 

Đúng(0) HT ha thi linh 2 tháng 8 2015 - olm

cho a+b+c=0.chứng minh a4 + b4 + c4 = \(\frac{1}{2}\)(a2 + b2 + c2 )2

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 0 VT vu tien dat 31 tháng 3 2018 - olm

1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:

\(\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}\ge2\)

2. Chứng minh rằng: \(2a^4+\frac{1}{1+a^2}\ge3a^2-1\)

3. Cho x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9

Tìm Min A = xyz

Các bạn giúp mình 3 bài này nhé

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8 2 B BOPRINCE 1 tháng 4 2018

1. áp dụng BĐT cô-si:

\(\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+b}{\frac{8}{9}}\ge2\sqrt{\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+b}{\frac{8}{9}}}=2\sqrt{\frac{c+ab}{\frac{8}{9}}}\)

Tương tự: \(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+c}{\frac{8}{9}}\ge2\sqrt{\frac{a+bc}{\frac{8}{9}}}\) và \(\frac{a+ac}{a+c}+\frac{a+c}{\frac{8}{9}}\ge2\sqrt[]{\frac{b+ac}{\frac{8}{9}}}\)

cộng vế theo vế :M= \(\frac{c+ab}{a+b}+\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{a+b}{\frac{8}{9}}+\frac{b+c}{\frac{8}{9}}+\frac{a+c}{\frac{8}{9}}\ge2\sqrt{\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{\frac{8}{9}}}\)(1)

mà a+b+c=1 và \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\) ( tự chứng minh từ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) =>.....)

thay vào(1) => đpcm

Đúng(0) B BOPRINCE 1 tháng 4 2018

cái chỗ \(2\sqrt{\frac{c+ab}{a+b}.\frac{a+b}{\frac{8}{9}}}\) là nhân chứ không phải cộng nha

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời Xếp hạng Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên

• Tuần
• Tháng
• Năm

• SV Sinh Viên NEU 4 GP
• NT Nguyễn Thị Thảo Linh 2 GP
• DA Dương Anh Thư 2 GP
• T1 Tortoise-180 2 GP
• QB Quản Bảo Lâm 2 GP
• TT Trần Thị Hồng Giang 0 GP
• NV Nguyễn Vũ Thu Hương 0 GP
• HA Hải Anh ^_^ 0 GP
• VD vu duc anh 0 GP
• TQ Trương Quang Đạt 0 GP

Học liệu Hỏi đáp Link rút gọn Link rút gọn Để sau Đăng ký

Các khóa học có thể bạn quan tâm

× Mua khóa học Tổng thanh toán: 0đ (Tiết kiệm: 0đ) Tới giỏ hàng Đóng ×

Yêu cầu VIP

×

Học liệu này đang bị hạn chế, chỉ dành cho tài khoản VIP cá nhân, vui lòng nhấn vào đây để nâng cấp tài khoản.