Cho Dãy Số (un)xác định Bởi & U1=2 & Un+1=un+12( Nge 1 ) .. Khi ...

LUYỆN TẬP TRẮC NGHIỆM 50000+ CÂU HỎI

DÀNH CHO MỌI LỚP 6 ĐẾN 12

TRUY CẬP NGAY XEM CHI TIẾT Cho dãy số (un)xác định bởi    & u1=2 & un+1=un+12( nge 1 ) .. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2},\,\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).                        B. Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \).

  C. Không tồn tại giới hạn của dãy \(({{u}_{n}})\).                          D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Đáp án đúng: A

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  & {{u}_{2}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}} \\ & {{u}_{3}}=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{{{2}^{2}}+1}{{{2}^{2}}} \\ & {{u}_{4}}=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{{{2}^{3}}+1}{{{2}^{3}}} \\\end{align}\)

Chứng minh bằng quy nạp: \({{u}_{n+1}}=\frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\):

* Với \(n=1\): \({{u}_{2}}=\dfrac{{{u}_{1}}+1}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}}\)  : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với \(n = k - 1\), tức là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\) ta chứng minh (*) đúng với \(n = k\) , tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Ta có : \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{2^k}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy \(({{u}_{n}})\)là: \({{u}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n-1}}+1}{{{2}^{n-1}}}=1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)

Từ (*) ta có \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1+\frac{1}{{{2}^{n}}}-\left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}