[CHUẨN NHẤT] Cách Chứng Minh Tiếp Tuyến Của đường Tròn

Mục lục nội dung 3 cách chứng minh tiếp tuyến của đường trònBài tập minh họa có lời giảiBài tập vận dụng

3 cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

– Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn.

– Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn.

– Cách 3: Chứng minh hệ thức MA2 = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Bài tập minh họa có lời giải

Bài 1:

Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải:

Xét ΔMAC và ΔMBA có

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có

Mà

Suy ra 

Từ (3) và (4) suy ra

⇒ OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Bài 2:

Hướng dẫn giải:

⇒ ΔOHM = Δ OCM (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ OH = OC = R (hai cạnh tương ứng)

⇒ H ∈ (O;R)

Do đó d là tiếp tuyến của (O;R).

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhai tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là trung điểm của AH.

Tam giác ADH vuông tại D có DO là trung tuyến nên ta có:

Tam giác AEH vuông tại E và có EO là trung tuyến nên ta có:

Suy ra: OA = OD = OE, do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Ta có: 

(tam giác OAD cân tại O)

Tam giác BDC vuông tại D có DI là trung tuyến nên:

Suy ra: tam giác ICD cân tại I

Do đó:

H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên là trực tâm của tam giác ABC, suy ra AH ⊥ BC tại F.

Khi đó:

Từ (1), (2) và (3) ta có:

Ta có: OD ⊥ DI, D thuộc đường tròn (O) nên ID tiếp xúc với (O) tại D.

Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với (O) tại E.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho

Khi đó:

a. CD tiếp xúc với đường tròn (O)

b. CD cắt đường tròn (O)

c. CD không có điểm chung với (O)

d. CD = R2

Trả lời:

Đáp án đúng là a

Vì: Trên tia đổi của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC.

Ta có:

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R2= OB2

⇒ △DOE vuông tại O

⇒ OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của △CDE nên OD cũng là đường phân giác.

⇒ △OHD = △OBD (tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau)

⇒ OH = OB ⇒ CD tiếp xúc với đường tròn (O).

                        

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau ở I. Khi đó:

a. AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

b. BK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

c. BH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

d. HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Trả lời:

Đáp án đúng là d

Vì, gọi O là trung điểm của AI thì KO là đường trung tuyến của tam giác vuông AKO.

⇒ AO = IO = OK.

Ta cần chứng minh OK ⊥ HK, dựa vào tính chất △AOK cân. Từ đó suy ra rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

                        

Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M sao cho A nằm giữa B và M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với đường tròn (O) tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB và cắt tia MC tại N. Khẳng định nào sau đây không đúng?

a. BN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b. BC là tiếp tuyến của đường tròn (O, OH)

c. OC là tiếp tuyến của đường tròn (O, ON)

d. AC là tiếp tuyến của đường tròn (C, BC)

Trả lời:

Đáp án đúng là: b

Vì góc OCN bằng 90o nên ba điểm O, C, N cùng thuộc đường tròn đường kính ON. Do đó OC là một dây cung, không thể là tiếp tuyến của đường tròn đường kính ON.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:

a. EF là tiếp tuyến của đường tròn (H, HI)

c. EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J).

d. IF là tiếp tuyến của đường tròn (C, CF)

Trả lời:

Đáp án đúng là b.

Vì tứ giác AEHK có:

Nên AEHK là hình chữ nhật

⇒ EF cắt AH tại trung điểm I của AH

⇒ EF là đường kính của đường tròn (I)