Chứng Minh Rằng Nếu A,b,c Là Các Số Dương Và A + B + C = 1 Thì

LUYỆN TẬP TRẮC NGHIỆM 50000+ CÂU HỎI

DÀNH CHO MỌI LỚP 6 ĐẾN 12

TRUY CẬP NGAY XEM CHI TIẾT Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số dương và  a + b + c = 1 thì:

33\)

A. B. C. D.

Đáp án đúng:

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Với 3 số \(A,B,C > 0\), áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} \ge 2AB\,\,\\{B^2} + {C^2} \ge 2BC\,\,\\{C^2} + {A^2} \ge 2AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) \ge 2\left( {AB + BC + CA} \right).\)

Cộng từng vế của BĐT trên với \({A^2} + {B^2} + {C^2}\)

\( \Rightarrow 3\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) \ge {\left( {A + B + C} \right)^2} \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{3}\)

Đặt \(A = a + \frac{1}{a}\,\,;\,\,B = b + \frac{1}{b}\,\,;\,\,C = c + \frac{1}{c}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{1}{c}} \right)^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {a + b + c + \frac{{a + b + c}}{a} + \frac{{a + b + c}}{b} + \frac{{a + b + c}}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {1 + 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + 1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {4 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)^2}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} \\\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\sqrt {\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} \\\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{a}.\frac{a}{c}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\\\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\\\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {4 + 2 + 2 + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{.10^2} = \frac{{100}}{3} > 33\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Ý kiến của bạn Hủy

Δ

Luyện tập

• Phòng tự luyện, thi thử
• Khóa học, tài liệu
• Cách tự học

Câu hỏi liên quan

• 

  Tìm x biết:

  \(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\)            \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)

  Chi tiết
• 

  Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:

  Chi tiết
• 

  Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:

  Chi tiết
• 

  Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?

  Chi tiết
• 

  Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:

  Chi tiết
• 

  Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:

  Chi tiết
• 

  Rút gọn:

  \(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\)       (với  \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )

  Chi tiết
• 

  Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:

  Chi tiết
• 

  Rút gọn biểu thức  \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)

  Chi tiết
• 

  Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?

  Chi tiết

×

Đăng ký

Năm sinh 20012002200320042005200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020 hoặc Đăng nhập nhanh bằng: (*) Khi bấm vào đăng ký tài khoản, bạn chắc chắn đã đoc và đồng ý với Chính sách bảo mật và Điều khoản dịch vụ của Tự Học 365.