Chuyên đề 2 Biến đổi Biểu Thức đại Số - Đề Thi Mẫu

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Đề Thi Mẫu

Tổng hợp đề thi mẫu tham khảo cho học sinh, sinh viên.

Chuyên đề 2 Biến đổi biểu thức đại số doc

12 trang | Chia sẻ: huu1989 | Lượt xem: 4641 | Lượt tải: 3

Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề 2 Biến đổi biểu thức đại số, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênChuyên đề 2 Biến đổi biểu thức đại số a – biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; = ; (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + + abn – 2 + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n – Tam giác Pascal Đỉnh 1 Dòng 1 (n = 1) 1 1 Dòng 2 (n = 2) 1 2 1 Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 và với n = 5 thì : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lời giải A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lời giải x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ị x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = ; a3 + b3 = . Vì vậy : A = x3 – 3()x + 2() = = = = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z ị (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ị 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Bài tập Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x3 + 4x2 – 29x + 24 ; x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x8 + x4 + 1; x10 + x5 + 1 ; x12 + 1 ; Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. Chứng minh rằng nếu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 thì x = y = z. a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì . b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 thì . Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). Chứng minh các hằng đằng thức sau : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945. Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b. Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98. Hãy tính : E = a2 + b2. Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. B – biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ 5. Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản "nẻN ; Cho phân số (nẻN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A chưa tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lời giải Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) ị 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d ị d = 1. Vậy phân số là phân số tối giản. Ta có . Để A chưa tối giản thì phân số phải chưa tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29 ị n + 5 = 29k (k ẻ N) hay n = 29k – 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ị 1 ≤ k ≤ 69 hay kẻ{1; 2;; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) – 5.69 = 69690. Ví dụ 6. Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : . Lời giải Ta có : Û Û Û Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û Û ị đpcm. Từ đó suy ra : ị . Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức : . Lời giải Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = . Do đó : Ta có : A = = Hay A = Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x : . Lời giải Cách 1 = Ax2 – Bx + C với : ; ; Ta có : ; ; . Vậy S(x) = 1"x (đpcm). Cách 2 Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm. Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ị a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x). Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 "x. Suy ra S(x) = 1 "x ị đpcm. Ví dụ 9. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) ; b) ; c) ; d) . Lời giải a) ; b) ; c) ; d) ị D = 7.18 – 3 = 123. Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : . Lời giải Ta có : Đồng nhất phân thức trên với phân thức , ta được : . Vậy . Bài tập Cho phân thức . Rút gọn P ; Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm được trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : . b) Chứng minh rằng phân số không tối giản với mọi số nguyên dương n. c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho là phân số chưa tối giản. Tính các tổng sau : ; ; ; ; ; (k! = 1.2.3k) Tính các tích sau : ; ; ; . Tính : . Tính Thực hiện các phép tính : a) ; b) ; c) ; d) Rút gọn : . Rút gọn : . Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau với x = –1,76 và y = 0,12 : . (Trích đề thi HSG toàn quốc 1963) Rút gọn : . Thực hiện các phép tính : ; ; . a) Biết a – 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : ; b) Biết 2a – b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : ; c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 ≠ 0, hãy tính : . Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau : a) ; b) ; c) . Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức : . Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức : . a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng : . b) Tính D Đơn giản các biểu thức sau : a) . b) . a) Chứng minh rằng nếu abc = 1 thì . b) Cho abcd = 1, hãy tính : Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì . (Trích đề thi HSG toàn quốc 1970) Cho và . Tính giá trị của biểu thức . Cho . CMR tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau. Rút gọn biểu thức : . Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức : Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0. Rút gọn biểu thức : . Cho a, b, c khác nhau đôi một và Rút gọn các biểu thức : a) ; b) ; c) Xác định a, b, c sao cho : a) ; b) ; c) . Rút gọn biểu thức : Rút gọn biểu thức : . Rút gọn biểu thức : . Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện abc = 1 và . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1. Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2008 và . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2008. Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thỏa mãn . Chứng minh rằng : . Cho . Chứng minh rằng . Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và . Chứng minh rằng ax2 + by2 + cz2 = 0. Cho x2 – 4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x5 + và B = x7 + . Cho Tính và . Cho dãy số a1, a2, a3, sao cho : ; ; ; . a) Chứng minh rằng a1 = a5. b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108.

File đính kèm:

Chuyen de Bien doi bieu thuc dai sodoc.doc

Đề thi liên quan

Ôn thi vào 10-Các Bài tập về hệ Phương trình
6 trang | Lượt xem: 1269 | Lượt tải: 1
50 Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9
232 trang | Lượt xem: 1420 | Lượt tải: 0
Kiểm tra môn: Đại số 9 - Chương 3
2 trang | Lượt xem: 957 | Lượt tải: 0
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 12
7 trang | Lượt xem: 635 | Lượt tải: 2
Đề kiểm tra Đại số lớp 9 tiết 67 đề số 2
3 trang | Lượt xem: 885 | Lượt tải: 0
Đề thi môn Toán học vào lớp 10 trường THPT Chu Văn An và trường Amsterdam - Hà nội
14 trang | Lượt xem: 717 | Lượt tải: 0
Đề kiểm tra học kì I Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam
3 trang | Lượt xem: 403 | Lượt tải: 0
Kiểm tra chất lượng học kì I môn toán lớp 9 thời gian làm bài: 90 phút
2 trang | Lượt xem: 1138 | Lượt tải: 2
Bộ đề thi tuyển sinh THPT môn Toán từ năm 1998 đến 2014
23 trang | Lượt xem: 9174 | Lượt tải: 2
Đề thi vào lớp 10 môn Toán Đề 2 (Thời gian làm bài: 120 phút)
1 trang | Lượt xem: 1177 | Lượt tải: 1