Chuyên đề đạo Hàm Và ứng Dụng Giải Các Bài Toán Liên Quan

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Tài liệu > Chuyên đề đạo hàm và ứng dụng giải các bài toán liên quan

Thảo luận trong 'Tài liệu' bắt đầu bởi Minh Toán, 14/10/17.

Tags:

• bảng công thức đạo hàm
• tính đạo hàm
• đạo hàm
• đạo hàm lượng giác

1. 

   Minh Toán Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 14/10/17 Bài viết: 2,983 Đã được thích: 46 Điểm thành tích: 48 Giới tính: Nữ

   A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x$_0$ ∈ (a;b), đạo hàm của hàm số tại điểm x$_0$ là : $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ 1.2. Chú ý : - Nếu kí hiệu $\Delta x = x - {x_0}\,\,;\,\,\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$thì $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \,0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) - f'(x$_0$) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại ${M_0}\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm ${M_0}\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$là $y = f'\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ 2.2. Ý nghĩa vật lí : - Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm ${t_0}$ là $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$. - Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm ${t_0}$ là : $I\left( {{t_0}} \right) = Q'\left( {{t_0}} \right)$. 3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho u = u(x); v = v(x); C là hằng số . - (u ± v)’ = u’ ± v’ - (uv)’ = u’v + v’u → (Cu)’ = Cu’ - $\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\,\,\,,\,\,\left( {v \ne 0} \right) \Rightarrow \,\,{\left( {\frac{C}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{C.u'}}{{{u^2}}}$ - Nếu y = f(u), u = u(x) → ${y'_x} = {y'_u}.{u'_x}$ . 3.2. Các công thức : - (C)’ = 0; (x)’ = 1 - ${\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N\,\,,\,\,n \ge 2} \right)$ - ${\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)$ - (sinx)’ = c-sx → (sinu)’ = u’c-su - (c-sx) = - sinx → (c-su) = - u’.sinu - ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,$ - ${\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,$ 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại ${x_0}$ vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm ${x_0}$ là : $df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ . - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) thì tích f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x). Kí hiệu: df(x) = f’(x).∆x hay dy = y’.dx . 4.2. Công thức tính gần đúng: $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ 5. đạo hàm cấp cao 5.1. đạo hàm cấp 2 : - Định nghĩa : f”(x) = [f’(x)]’ - Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm ${t_0}$ là $a\left( {{t_0}} \right) = f''\left( {{t_0}} \right)$. 5.2. đạo hàm cấp cao : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {\left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]^\prime }\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N,\,\,n \ge 2} \right)$ . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : - Cách 1 : theo quy tắc - Bước 1 : Cho x một số gia ∆x và tìm số gia ∆y tìm ∆y = f(x + ∆x) – f(x). Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Bước 2 : Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \,0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Cách 2 : Áp dụng công thức: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường c-ng 2.1. Phương pháp : - Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại $M\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)$, có phương trình là : $y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ ( 1 ) . - Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) có hệ số góc là thì ta gọi ${M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,{y_0}} \right)$là tiếp điểm $ \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = k$ (1) - Giải phương trình (1) tìm ${x_0}$ suy ra ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ - Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ * Chú ý : - Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$là $k = f'\left( {{x_0}} \right) = \tan \alpha $ Tr-ng đó α là góc giữa chiều dương của trục h-ành và tiếp tuyến . - Hai đường thẳng s-ng s-ng với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau . - Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng - 1 . - Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right)$: - Viết phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại ${M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)$: $y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ - Vì tiếp tuyến đi qua \[A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\left( * \right)\] - Giải phương trình(*) tìm ${x_0}$ thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến . 3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân 3.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) thì tích f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) . Kí hiệu : df(x) = f’(x).∆x = f’(x).dx hay dy = y’.dx - $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ 4. đạo hàm cấp cao 4.1. Phương pháp : - Dựa theo các định nghĩa sau : - đạo hàm cấp 2 : $f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^\prime }$ - đạo hàm cấp cao : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N\,,\,\,n \ge 2} \right)$ . - Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đ-án công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . - Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã Cho thành tổng của các hàm số có một tr-ng các dạng : $\frac{1}{{ax + b}}\,\,;\,\,\sin ax\,\,;\,\,\cos ax$ rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đ-án ra công thức đạo hàm cấp n của hàm số đã Cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) .

   Bài viết mới nhất

   • 72 Phương pháp tọa độ trong không gian11/10/2018
   • 39 chuyên đề số phức hay11/10/2018
   • Công thức mũ và công thức logarit25/06/2018
   • 54 Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng20/06/2018
   • 23 chuyên đề mặt nón, mặt trụ và mặt cầu20/06/2018
   Last edited by a moderator: 23/4/19 Minh Toán, 14/10/17 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Tài liệu >