Chuyên đề đạo Hàm Và ứng Dụng Giải Các Bài Toán Liên Quan

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Lớp 12
• Toán Học 12
• Tài liệu

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Chuyên đề đạo hàm và ứng dụng giải các bài toán liên quan

• Thread starter Thread starter Minh Toán
• Ngày gửi Ngày gửi 14/10/17
• Tags Tags bảng công thức đạo hàm tính đạo hàm đạo hàm đạo hàm lượng giác

Minh Toán

Moderator

Thành viên BQT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x$_0$ ∈ (a;b), đạo hàm của hàm số tại điểm x$_0$ là : $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ 1.2. Chú ý : - Nếu kí hiệu $\Delta x = x - {x_0}\,\,;\,\,\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$thì $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \,0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x$_0$ thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) - f'(x$_0$) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại ${M_0}\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm ${M_0}\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$là $y = f'\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ 2.2. Ý nghĩa vật lí : - Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm ${t_0}$ là $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$. - Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm ${t_0}$ là : $I\left( {{t_0}} \right) = Q'\left( {{t_0}} \right)$. 3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho u = u(x); v = v(x); C là hằng số . - (u ± v)’ = u’ ± v’ - (uv)’ = u’v + v’u → (Cu)’ = Cu’ - $\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\,\,\,,\,\,\left( {v \ne 0} \right) \Rightarrow \,\,{\left( {\frac{C}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{C.u'}}{{{u^2}}}$ - Nếu y = f(u), u = u(x) → ${y'_x} = {y'_u}.{u'_x}$ . 3.2. Các công thức : - (C)’ = 0; (x)’ = 1 - ${\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N\,\,,\,\,n \ge 2} \right)$ - ${\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)$ - (sinx)’ = c-sx → (sinu)’ = u’c-su - (c-sx) = - sinx → (c-su) = - u’.sinu - ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,$ - ${\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,$ 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại ${x_0}$ vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm ${x_0}$ là : $df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ . - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) thì tích f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x). Kí hiệu: df(x) = f’(x).∆x hay dy = y’.dx . 4.2. Công thức tính gần đúng: $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ 5. đạo hàm cấp cao 5.1. đạo hàm cấp 2 : - Định nghĩa : f”(x) = [f’(x)]’ - Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm ${t_0}$ là $a\left( {{t_0}} \right) = f''\left( {{t_0}} \right)$. 5.2. đạo hàm cấp cao : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {\left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]^\prime }\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N,\,\,n \ge 2} \right)$ . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : - Cách 1 : theo quy tắc - Bước 1 : Cho x một số gia ∆x và tìm số gia ∆y tìm ∆y = f(x + ∆x) – f(x). Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Bước 2 : Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \,0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ - Cách 2 : Áp dụng công thức: $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,{x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường c-ng 2.1. Phương pháp : - Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại $M\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)$, có phương trình là : $y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ ( 1 ) . - Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) có hệ số góc là thì ta gọi ${M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,{y_0}} \right)$là tiếp điểm $ \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = k$ (1) - Giải phương trình (1) tìm ${x_0}$ suy ra ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ - Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$ * Chú ý : - Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)$là $k = f'\left( {{x_0}} \right) = \tan \alpha $ Tr-ng đó α là góc giữa chiều dương của trục h-ành và tiếp tuyến . - Hai đường thẳng s-ng s-ng với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau . - Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng - 1 . - Biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right)$: - Viết phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại ${M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)$: $y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ - Vì tiếp tuyến đi qua \[A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\left( * \right)\] - Giải phương trình(*) tìm ${x_0}$ thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến . 3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân 3.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : - Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) thì tích f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) . Kí hiệu : df(x) = f’(x).∆x = f’(x).dx hay dy = y’.dx - $f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right).\Delta x$ 4. đạo hàm cấp cao 4.1. Phương pháp : - Dựa theo các định nghĩa sau : - đạo hàm cấp 2 : $f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^\prime }$ - đạo hàm cấp cao : ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in N\,,\,\,n \ge 2} \right)$ . - Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đ-án công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp . - Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã Cho thành tổng của các hàm số có một tr-ng các dạng : $\frac{1}{{ax + b}}\,\,;\,\,\sin ax\,\,;\,\,\cos ax$ rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đ-án ra công thức đạo hàm cấp n của hàm số đã Cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) . Last edited by a moderator: 23/4/19 You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98
• Thread 'Giải phương trình logarit'
  • Doremon
  • 2/12/14
  Trả lời: 96
• V Thread 'Bài 5. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 100
• Thread 'Mặt trụ tròn xoay'
  • Doremon
  • 24/1/15
  Trả lời: 97
• H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay'
  • Huy Hoàng
  • 22/1/15
  Trả lời: 102
• V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 172
• Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
  • Doremon
  • 4/12/14
  Trả lời: 165

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 96 (members: 0, guests: 96)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Lớp 12
• Toán Học 12
• Tài liệu

Back Top