Chuyên đề Phương Pháp đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình
Có thể bạn quan tâm
I. Phương pháp giải
Dạng 1 : Phương trình có dạng : $x^{4}+b=a\sqrt[n]{ax\pm b} (n\in Z^{+},n\geq 2)$
- Đặt $t=\sqrt[n]{ax\pm b}$
- Đưa về hệ đối xứng và giải => Kết luận nghiệm .
Dạng 2 : $\sqrt[n]{a-f(x)}+\sqrt[m]{b+f(x)}=c (m,n\in Z^{+},m\geq 2,n\geq 2)$
- Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\sqrt[n]{a-f(x)} & \\ v=\sqrt[m]{b+f(x)} & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}u^{n}=a-f(x) & \\ v^{m}=b+f(x) & \end{matrix}\right.$
=> $u^{n}+v^{m}=a+b$
- Kết hợp với phương trình đã cho , ta được hệ mới : $\left\{\begin{matrix}u + v=c & \\ u^{n}+v^{m}=a+b & \end{matrix}\right.$
- Giải hệ => Kết hợp điều kiện => Kết luận nghiệm .
II. Bài tập áp dụng
Câu 1 :
Giải phương trình sau :
a. $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$
b. $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$
Hướng dẫn chi tiết :
a. $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$ (1)
Đặt $t=\sqrt[3]{2x-1}=> t^{3}=2x-1$
(1) => $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t & \\ t^{3}=2x-1 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t (*) & \\ t^{3}+1=2x(**) & \end{matrix}\right.$
Lấy (*) – (**) , ta được : $x^{3}-t^{3}=2(t-x)$
<=> $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2})+2(x-t)=0$
<=> $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2}+2)=0$
<=> Hoặc x = t hoặc $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$ (2)
Xét (2) : $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$
Ta có : $\Delta =t^{2}-4(t^{2}+2)=-8-3t^{2}<0,\forall t$
=> (2) vô nghiệm .
+ Với x = t , thế vào pt (*) , ta được : $x^{3}-2x+1=0$
<=> $(x-1)(x^{2}+x-1)=0$
<=> Hoặc x = 1 hoặc $x^{2}+x-1=0$ (3)
Xét (3) : $x^{2}+x-1=0$
Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-1)=5>0$
=> (3) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1\vee x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
b. $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$ (*)
Đk : $x\geq -5$
Đặt $t=\sqrt{x+5} (t\geq 0)$ => $t^{2}=x+5$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+t=5 (1)& \\ t^{2}-x=5 (2) & \end{matrix}\right.$
Lấy (1) – (2) , ta được : $x^{2}-t^{2}+t+x=0$
<=> $(t+x)(1+x-t)=0$
<=> Hoặc t = – x hoặc t – x = 1
+ Với t = -x , thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}-x-5=0$
Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.(-5)=21>0$
=> $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$
Vì $t\geq 0<=> -x\geq 0=>x\leq 0$ => $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}>0$ ( loại )
+ Với t = x + 1, thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}+x+1=5<=> x^{2}+x-4=0$
Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-4)=17>0$
=> $x_{3,4}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$
Vì $t\geq 0=> x\geq -1$ => $x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}<-1$ ( loại )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ .
Câu 2 :
Giải phương trình sau :
$\frac{1}{\sqrt{3x+10}}+\frac{6}{\sqrt{(x+2)(3x+10)}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$
Hướng dẫn chi tiết :
$\frac{1}{\sqrt{3x+10}}+\frac{6}{\sqrt{(x+2)(3x+10)}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$
Đk : x > -2
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3x+10}>0 & \\ b=\sqrt{x+2}>0 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix}a^{2}=3x+10 & \\ 3b^{2}=3x+6& \end{matrix}\right.$
=> $a^{2}-3b^{2}=4$
Phương trình đã cho tương đương với hệ :
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ \frac{1}{a}+\frac{6}{ab}=\frac{1}{b} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ \frac{6}{ab}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ a-b=6 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ a=6+b & \end{matrix}\right.$
<=> $(6+b)^{2}-3b^{2}=4$ <=> $2b^{2}-12b-32=0$
<=> Hoặc b = 8 ( nhận ) hoặc b = -2 ( loại )
+ Với b = 8 => a = 14 <=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt{3x+10}=14 & \\ \sqrt{x+2}=8 & \end{matrix}\right.$
<=> x = 62 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 62 .
Câu 3 :
Giải phương trình sau : $9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x$
Hướng dẫn chi tiết :
$9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x$ (*)
Đk : x > 0
Đặt $a=9+\sqrt{x}=> a>9$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}9+\sqrt{a}=x (1) & \\ 9+\sqrt{x}=a & \end{matrix}\right.$
<=> $\sqrt{a}-\sqrt{x}=x-a$
<=> $\sqrt{a}-\sqrt{x}+(\sqrt{a}-\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{x})=0$
<=> $(\sqrt{a}-\sqrt{x})(1+\sqrt{a}+\sqrt{x})=0$
<=> $\sqrt{a}=\sqrt{x}$ , thế vào (1) ta được : $9+\sqrt{x}=x<=> x-\sqrt{x}-9=0$
<=> $\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{37}}{2}$
<=> $x=\frac{1}{4}(38+2\sqrt{37})<=> x=\frac{1}{2}(19+\sqrt{37})$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{1}{2}(19+\sqrt{37})$ .
Câu 4 :
Giải phương trình sau : $\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$ (*)
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\sin ^{2}x} (0\leq a\leq 1) & \\ b=\sqrt[3]{\cos ^{2}x} (0\leq b\leq 1) & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\sin ^{2}x & \\ b^{3}=\cos ^{2}x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{3}+b^{3}=1$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=1 & \\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}(a+b) \left [(a+b)^{2}-3ab \right ]=1 &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}ab=\frac{1}{\sqrt[3]{4}} &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> a , b là nghiệm của phương trình : $X^{2}-\sqrt[3]{4}X+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=0$
=> $X=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}=> a=b=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{\sin ^{2}x}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4} & \\ \sqrt[3]{\cos ^{2}x} =\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x=\frac{1}{2} & \\ \cos ^{2}x =\frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$
<=> $\cos 2x=0=> x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$ .
Câu 5 :
Giải phương trình sau :
$\sqrt[4]{313+x}+\sqrt[4]{313-x}=6$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[4]{313+x}+\sqrt[4]{313-x}=6$ (1)
Đk : $-313\leq x\leq 313$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[4]{313+x} ( a\geq 0)& \\ b=\sqrt[4]{313-x} (b\geq 0) & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{4}=313+x & \\ b^{4}=313-x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{4}+b^{4}=626$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{4}+b^{4}=626 & \\ a+b=6 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{4}+b^{4}=626 & \\ b=6-a & \end{matrix}\right.$
<=> $a^{4}+(6-a)^{4}=626<=>a^{4}+(a-6)^{4}=626 $ (2)
Đặt t = a – 3 ( $t\geq -3$ ) , (2) <=> $(t+3)^{4}+(t-3)^{4}=626$
<=> $2t^{4}+108t^{2}-464=0$
<=> Hoặc $t^{2}=-58$ ( loại ) hoặc $t^{2}=4$ ( t/mãn )
+ Với $t^{2}=4=> t=\pm 2$ => Hoặc $\left\{\begin{matrix}a=5 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.$
+ Khi $\left\{\begin{matrix}a=5 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{313+x}=5&\\ \sqrt[4]{313-x}=1 & \end{matrix}\right.$
=> x = 312 .
+ Khi $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{313+x}=1&\\ \sqrt[4]{313-x}=5 & \end{matrix}\right.$
=> x = – 312 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm 312$ .
Câu 6 :
Giải phương trình sau : $x+\sqrt{2-x^{2}}+x\sqrt{2-x^{2}}=3$
Hướng dẫn chi tiết :
$x+\sqrt{2-x^{2}}+x\sqrt{2-x^{2}}=3$ (1)
Đk : $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=x,\left | a \right |\leq \sqrt{2} & \\ b=\sqrt{2-x^{2}},b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=x^{2} & \\ b^{2}=2-x^{2} & \end{matrix}\right.$
=> $a^{2}+b^{2}=2$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=3 & \\ a^{2}+b^{2}=2 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=3 & \\ (a+b)^{2}-2ab=2 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ Hoặc ab=1 hoặc ab=7& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$
+ Xét : $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b=2 & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$
=> a , b là nghiệm pt : $t^{2}-2t+1=0<=>(t-1)^{2}=0=> t=1$
=> a = b = 1 => x = 1 .
+ Xét : $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b=-4 & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$ ( vô lý )
=> phương trình vô nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 .
Câu 7 :
Giải phương trình sau : $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$ (1)
Đk : $x\leq \frac{1}{2}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x} & \\ b=\sqrt{\frac{1}{2}-x} & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\frac{1}{2}+x & \\ b^{2}=\frac{1}{2}-x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{3}+b^{2}=1$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{2}=1 & \\ a+b=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{2}=1 & \\ b=1-a & \end{matrix}\right.$
<=> $a^{3}+(1-a)^{2}=1$ <=> $a^{3}+a^{2}-2a=0$
<=> $\left\{\begin{matrix}a=0 & \\ a^{2}+a-2=0 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a=0 & & \\ a=1 & & \\ a=-2 & & \end{matrix}\right.$
+ Với a = 0 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=0=> x=\frac{-1}{2}$
+ Với a = 1 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=1=> x=\frac{1}{2}$
+ Với a = -2 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=-2=> x=\frac{-17}{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm \frac{1}{2},x=\frac{-17}{2}$ .
Câu 8 :
Giải phương trình sau : $\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt[3]{1-x^{2}}=3$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt[3]{1-x^{2}}=3$ (1)
Đk : $-1\leq x\leq 1$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{1-x^{2}} ,a\geq 0 & \\ b=\sqrt[3]{1-x^{2}},b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=1-x^{2} & \\ b^{3}= 1-x^{2}& \end{matrix}\right.$
=> $a^{2}=b^{3}$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=b^{3} & \\ a+2b=3 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=b^{3} & \\ a=3-2b & \end{matrix}\right.$
<=> $b^{3}-(3-2b)^{2}=0$ <=> $b^{3}-4b^{2}+12b-9=0$
<=> $(b-1)(b^{2}-3b+9)=0$
<=> Hoặc b = 1 hoặc $b^{2}-3b+9=0$
+ Với b = 1 => a = 1 <=> $\sqrt{1-x^{2}}=1=> x=0$
+ Xét : $b^{2}-3b+9=0$ , ta có : $\Delta =(-3)^{2}-4.9=-27<0$
=> phương trình vô nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 .
– – – – – – – – – – – – – – – HẾT – – – – – – – – – – – – – – –
Từ khóa » đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình
-
Phương Pháp : Đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2
-
Đặt ẩn Phụ Quy Về Hệ Phương Trình | Tăng Giáp
-
Phương Pháp : Đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2 2
-
Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ ...
-
Giải Hệ Phương Trình Bằng Cách đặt ẩn Phụ Và Bài Tập Vận Dụng
-
Chuyên đề Phương Pháp đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình
-
Chuyên đề Phương Pháp đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình - 123doc
-
Phương Pháp đặt ẩn Phụ Giải Phương Trình Vô Tỉ - Phần 4 - YouTube
-
Giải Hệ Phương Trình Bằng Cách đặt ẩn Phụ Lớp 9 - Toploigiai
-
Giải Hệ Bằng Phương Pháp đặt ẩn Phụ( đưa Về Hệ Phương Trình Bậc 1)
-
Top 15 đặt ẩn Phụ Trong Hệ Phương Trình
-
Top 14 đặt ẩn Phụ Rồi Giải Các Hệ Phương Trình Sau - MarvelVietnam
-
Phương Pháp đặt ẩn Phụ Phương Trình Vô Tỉ - O₂ Education
-
Đặt ẩn Phụ đưa Về Hệ Phương Trình - Pdf