Đặt ẩn Phụ Quy Về Hệ Phương Trình | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 10 > Chủ đề 3: PT, BPT và hệ phương trình đại số > Bài 03. Phương trình vô tỉ > Đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Thảo luận trong 'Bài 03. Phương trình vô tỉ' bắt đầu bởi Doremon, 3/2/15.

1. 

   Doremon Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam

   Dạng 1: đặt 2 ẩn phụ $\sqrt[n]{{a - f(x)}} + \sqrt[n]{{b + f(x)}} = c \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[n]{{a - f(x)}}\\v = \sqrt[n]{{b + f(x)}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^n} + {v^n} = a + b\\u + v = c\end{array} \right.$ Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{1 + x}} = 2 \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{1 - x}}\\v = \sqrt[3]{{1 + x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\{u^3} + {v^3} = 2\end{array} \right.$ Ví dụ 2. Giải phươngtrình: $\sqrt[3]{{2 - x}} = 1 - \sqrt {x - 1} \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{2 - x}}\\v = \sqrt {x - 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^3} + {v^2} = 1\\u + v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\\u = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\\x = 10\end{array} \right.$ Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : $\sqrt {ax + b} = c{(dx + e)^2} + nx + m$ Ví dụ 3. Giải phương trình: $\begin{array}{l} \sqrt {3x + 1} = - 4{x^2} + 13x - 5 \Rightarrow \sqrt {3x + 1} = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\,\,dat\,\, - 2y + 3 = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2y + 3 = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\\ {( - 2y + 3)^2} = 3x + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {( - 2y + 3)^2} = x + 2y + 1\\ {( - 2y + 3)^2} = 3x + 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 2y = 5 - 2x \end{array} \right.\\ 1)x = y \Rightarrow 4{x^2} - 15x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{{15 - \sqrt {97} }}{8}\\ 2)2y = 5 - 2x \Rightarrow 4{x^2} - 11x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{11 - \sqrt {73} }}{8} \end{array}$ Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^2} - \sqrt {x - 5} = 5\left( 1 \right)$ Giải​ Điều kiện : x + 5 ≥ 0 ↔ x ≥ - 5. Đặt $\sqrt {x + 5} = y$ với y ≥ 0 . Từ đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = 5(2)\\ {y^2} - x = 5(3) \end{array} \right.$ Trừ vế với vế của (2) và (3) ta được : x$^2$ - y$^2$ + x – y = 0 ↔ (x – y)(x + y + 1) = 0 . Xảy ra 2 trường hợp : a) x – y = 0 hay x = y ≥ 0, thay vào (2) được phương trình: x$^2$ - x – 5 = 0 giải ra được: ${x_1} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {21} } \right)$ b) x + y + 1 = 0 hay y = - x – 1 ≥ 0, thay vào (2) có: x$^2$ + x – 4 = 0 giải ra được: ${x_2} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {17} } \right)$ Kết luận : Với 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ thỏa mãn điều kiện đề bài nên PT (1) có 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ như trên . Dạng 3: Đưa về hệ tạm Nếu phương trình vô tỉ có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$, mà : A – B = αC ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : $\frac{{A - B}}{{\sqrt A - \sqrt B }} = C \Rightarrow \sqrt A - \sqrt B = \alpha $, khi đó ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt A + \sqrt B = C\\ \sqrt A - \sqrt B = \alpha \end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt A = C + \alpha $ Ví dụ 5. Giải phương trình sau : $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4$ Giải​Ta thấy : $\left( {2{x^2} + x + 9} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2\left( {x + 4} \right)$ x = - 4 không phải là nghiệm Xét x ≠ - 4 Trục căn thức ta có : $\frac{{2x + 8}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4 \Rightarrow \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2$ Vậy ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\\ \sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4 \end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{8}{7} \end{array} \right.$ Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 v x = 8/7 Ví dụ 6. Giải phương trình : $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$ Giải​Ta thấy : $\left( {2{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {x^2} + 2x$, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t = 1/x thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau: 1. $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x(1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} )$ 2. $\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt {x + 1} = 3$ 4. $\sqrt {2 - \sqrt 2 (1 + x)} + \sqrt[4]{{2x}} = 1$ 5. ${x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} $ 6. $\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} = 1.$ 7. $x = \sqrt {x - \frac{1}{x} + } \sqrt {1 - \frac{1}{x}} $ 5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: ${u^2} + \alpha uv + \beta {v^2} = 0$ (1) bằng cách Xét v ≠ 0 phương trình trở thành: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} + \alpha \left( {\frac{u}{v}} \right) + \beta = 0$. Xét v = 0 thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) $\begin{array}{l} a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} \\ \alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} \end{array}$ Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a. Phương trình dạng : $a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $ Như vậy phương trình $Q\left( x \right) = \alpha \sqrt {P\left( x \right)} $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu $\left\{ \begin{array}{l} P\left( x \right) = A\left( x \right).B\left( x \right)\\ Q\left( x \right) = aA\left( x \right) + bB\left( x \right) \end{array} \right.$ Ví dụ 1. Giải phương trình : $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $ Giải​Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,v = \sqrt {{x^2} - x + 1} $ Phương trình trở thành : $2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 2v\\ u = \frac{1}{2}v \end{array} \right.$ Tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$ Ví dụ 2. giải phương trình sau : $2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $ Giải​Đk: x ≥ 1 Nhận xt : Ta viết $\alpha \left( {x - 1} \right) + \beta \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ Đồng nhất thức ta được: $3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ Đặt $u = x - 1 \ge 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,v = {x^2} + x + 1 > 0$, ta được: $3u + 2v = 7\sqrt {uv} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} v = 9u\\ v = \frac{1}{4}u \end{array} \right.$ Ta được : $x = 4 \pm \sqrt 6 $ Ví dụ 4. Giải phương trình : ${x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^3}} - 6x = 0$ Giải​Nhận xét : Đặt $y = \sqrt {x + 2} $ ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : ${x^3} - 3{x^2} + 2{y^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = - 2y \end{array} \right.$ Pt có nghiệm : $x = 2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2 - 2\sqrt 3 $ b.Phương trình dạng : $\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $ Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Ví dụ 5. giải phương trình : ${x^2} + 3\sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} $ Giải​Ta đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ v = \sqrt {{x^2} - 1} \end{array} \right.$ khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = \sqrt {{u^2} - {v^2}} $ Ví dụ 6.Giải phương trình sau : $\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} $ Giải​Điều kiện x ≥ 1/2. Bình phương 2 vế ta có : $\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)} = \left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {2x - 1} \right)$ Ta có thể đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x\\ v = 2x - 1 \end{array} \right.$ khi đó ta có hệ : $uv = {u^2} - {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}v\\ u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \end{array} \right.$ Do $u,v \ge 0.\,\,u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {2x - 1} \right)$ Ví dụ 7. giải phương trình : $\sqrt {5{x^2} - 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $ Giải​Đk x ≥ 5. Chuyển vế bình phương ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} $ Nhận xét : không tồn tại số α, β để : $2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - x - 20} \right) + \beta \left( {x + 1} \right)$ vậy ta không thể đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} - x - 20\\ v = x + 1 \end{array} \right.$. Nhưng may mắn ta có : $\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)$ Ta viết lại phương trình: $2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} $. Đến đây bài toán được giải quyết .

   Bài viết mới nhất

   • 9 kỹ thuật casio giải nhanh toán học trong nốt nhạc24/01/2018
   • Sử dụng máy tính casio ép tích bằng ẩn phụ không hoàn toàn24/01/2018
   • Sử dụng máy tính casio ép tích bằng ẩn phụ hoàn toàn24/01/2018
   • Sử dụng máy tính casio giải 6 chủ đề đa thức chứa nhiều căn24/01/2018
   • CHUYÊN ĐỀ: PT_HPT VÔ TỶ (Định hướng)16/04/2016
   Doremon, 3/2/15 #1 Trương Quang Bảo thích bài này.

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 10 > Chủ đề 3: PT, BPT và hệ phương trình đại số > Bài 03. Phương trình vô tỉ >