Chuyên Đề Số Chính Phương Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 8

Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

Chuyên Đề Số Chính Phương Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.38 KB, 5 trang )

www.thuvienhoclieu.comCHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNGI. Số chính phương:A. Một số kiến thức:Số chính phương: số bằng bình phương của một số khácVí dụ:4 = 22; 9 = 32A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chiahết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24,…{ = a thì 99...9{{+ Số 11...1= 9a � 9a + 1 = 99...9+ 1 = 10nnnnB. Một số bài toán:1. Bài 1:Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1GiảiGọi A = n2 (n �N)a) xét n = 3k (k �N) � A = 9k2 nên chia hết cho 3n = 3k �1 (k �N) � A = 9k2 �6k + 1, chia cho 3 dư 1Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1b) n = 2k (k �N) thì A = 4k2 chia hết cho 4n = 2k +1 (k �N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phươnga) M = 19922 + 19932 + 19942b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002e) R = 13 + 23 + ... + 1003Giảiwww.thuvienhoclieu.comTrang 1www.thuvienhoclieu.coma) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3 � M chia cho 3 dư 2 do đó Mkhông là số chính phươngb) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai sốchính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phươngc) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phươngd) Q = 12 + 22 + ...+ 1002Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nêntổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phươnge) R = 13 + 23 + ... + 1003Gọi Ak = 1 + 2 +... + k =k(k + 1)k(k - 1), Ak – 1 = 1 + 2 +... + k =22Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:13 = A1223 = A22 – A12.....................n3 = An2 = An - 12Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:22n(n + 1) � �100(100  1) �2�1 + 2 + ... +n = An = ��  50.101 là số chính phương��2� 2 � ��33323. Bài 3:CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương.a) A = (10n +10n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1n 11 2 3 )(10 n+1 + 5) + 1  10  1 .(10n 1  5)  1A = ( 11.....1n10  12Đặt a = 10n+1 thì A =a-1a 2 + 4a - 5 + 9 a 2 + 4a + 4 �a + 2 �(a + 5) + 1 =��999�3 �14 2 43 555.....514 2 43 6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)b) B = 111.....1nn-1��14 2 43 555.....514 2 43 . 10n + 555.....514 2 43 . 10n + 5 �14 2 43 + 1 = 111.....114 2 43 + 1 = 111.....1111.....1B = 111.....114 2 43 �+ 1nnnnn� n�1 2 3 = a thì 10n = 9a + 1 nênĐặt 11.....1n2{ 4B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 = 33....3n-1www.thuvienhoclieu.comTrang 2www.thuvienhoclieu.com1 2 3 .+ 44.....414 2 43 + 1c) C = 11.....12nn1 2 3 Thì C = 11.....11 2 3 11.....11 2 3 + 4. 11.....11 2 3 + 1 = a. 10n + a + 4 a + 1Đặt a = 11.....1nnnn= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2123 8 00.....0123 1 .d) D = 99....9nn123 = a � 10n = a + 1Đặt 99....9n123 . 10n + 2 + 8. 10n + 1 + 1 = a . 100 . 10n + 80. 10n + 1D = 99....9n123 )2= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = ( 99....9n+11 2 3 22.....21 2 3 22.....21 2 3 .10n + 2 + 2. 11.....11 2 3 00 + 251 2 3 5 = 11.....11 2 3 00 + 25 = 11.....1e) E = 11.....1nn+1nn+1nn1 2 3 5)2= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = ( 33.....3n1 2 3 là số chính phương thì 11.....11 2 3 là số chính phương1 2 3 = 4. 11.....1f) F = 44.....41001001001 2 3 là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1Số 11.....1100Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 111.....11 2 3 có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 31001 2 3 không là số chính phương nên F = 44.....41 2 3 không là số chính phươngvậy 11.....1100100Bài 4:1 4 2 43 ; B = 11.......1114 2 43 ; C = 66.....6614 2 43a) Cho các số A = 11........112mm+1mCMR: A + B + C + 8 là số chính phương .102 m  110m1  110m  1Ta có: A;B=; C = 6.Nên:999102 m  1 10m1  110m  1102 m  1  10m 1  1  6(10m  1)  72A+B+C+8 =++ 6.+8=999910 m   16.10m  64 �102 m  1  10.10m  1  6.10m  6  7210m  8 �==��99� 3 �22b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4www.thuvienhoclieu.comTrang 3www.thuvienhoclieu.com= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2= (x2 + 5xy + 5y2)2Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phươnga) n2 – n + 2b) n5 – n + 2Giảia) Với n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 không là số chính phươngVới n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 là số chính phươngVới n > 2 thì n2 – n + 2 không là số chính phương Vì(n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2b) Ta có n5 – n chia hết cho 5 Vìn5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1)Với n = 5k thì n chia hết cho 5Với n = 5k �1 thì n2 – 1 chia hết cho 5Với n = 5k �2 thì n2 + 1 chia hết cho 5Nên n5 – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n5 – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nênn5 – n + 2 không là số chính phươngVậy : Không có giá trị nào của n thoã mãn bài toánBài 6 :a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phươngb) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵnGiảiMọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3Với a = 4k + 1 thì a = 4k2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2Với a = 4k + 3 thì a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nênA = (10k �3)2 =100k2 �60k + 9 = 10.(10k2 �6) + 9Số chục của A là 10k2 �6 là số chẵn (đpcm)Bài 7:Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vịGiảiGọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận cùng của b2Theo đề bài , chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b2 phải lẻwww.thuvienhoclieu.comTrang 4www.thuvienhoclieu.comXét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ, chúngđều tận cùng bằng 6Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị là 6Bài tập về nhà:Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương123 4a) A = 22.....214 2 43 88....8{ 9d) D = 44.....4n123 251 2 3 00....0c) C = 99....9b) B = 1111555650n-1n14 2 43 – 22....2123e) M = 11.....12nnnf) N = 12 + 22 + ...... + 562Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phươnga) n3 – n + 2b) n4 – n + 2Bài 3: Chứng minh rằnga)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phươngb) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻBài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vịwww.thuvienhoclieu.comTrang 5

Tài liệu liên quan

• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12
  • 17
  • 973
  • 2
• Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9
  • 29
  • 2
  • 2
• SKKN: Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5
  • 26
  • 6
  • 19
• 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5
  • 31
  • 1
  • 4
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8
  • 118
  • 641
  • 0
• chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9
  • 29
  • 723
  • 0
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 chuyên đề phương trình và hệ phương trình
  • 14
  • 1
  • 1
• CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 4
  • 23
  • 1
  • 1
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 chương 3
  • 4
  • 527
  • 0
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 chương 1
  • 7
  • 501
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(217 KB - 5 trang) - Chuyên Đề Số Chính Phương Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 8 Tải bản đầy đủ ngay ×