Chuyên đề Về Phương Trình Bậc Hai Một ẩn

I. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0

 

II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4ac

*) Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\]

*) Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\,\]

*) Nếu Δ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\]

*) Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\]

*) Nếu Δ’ 0

    6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0

    7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0

    8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0

    9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

    10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1

    11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0

    12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

 

B. Một số bài tập có lời giải

 

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) \[2{{x}^{2}}-8=0\]

b) \[3{{x}^{2}}-5x=0\]

c) \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]

d) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]

e) \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]

f) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]

Giải

a) \[2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2\]

Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 2\]

b) 

Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=\frac{5}{3}\]

c) \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\]

\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5=0\]

Nhẩm nghiệm:

Ta có: a – b + c =  2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1\];  \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\]

d) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]

\[\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)-\left( 2x+6 \right)=0\] \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+3 \right)-2\left( x+3 \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\]

e) \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\]

Đặt \[t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right).\] Ta có phương trình: \[{{t}^{2}}+3t-4=0\]

a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0

=> phương trình có nghiệm: \[{{t}_{1}}=1>0\] (thỏa mãn); \[{{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-40;\sqrt{\Delta }=17\]

=> phương trình có hai nghiệm:

\[{{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.\left( -4 \right)}=-\frac{1}{4}\] (thỏa mãn ĐKXĐ)

\[{{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.\left( -4 \right)}=4\] (thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\]  (1)

a/ Giải phương trình với m = – 2.

b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\] theo m.

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9.\]

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3.\] Tính nghiệm còn lại.

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.

HƯỚNG DẪN GIẢI.

a/ Thay m = – 2 vào phương trình (1) ta có phương trình:

\[{{x}^{2}}-2x+1=0\]

\[\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\]

\[\Leftrightarrow x-1=0\]

\[\Leftrightarrow x=1\]

Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b/ Phương trình \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] (1)

Ta có: \[\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-4m-12\]

Phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]\[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:  

*) \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( -m \right)}^{2}}-2\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-2m-6\]

*) \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{\left( -m \right)}^{3}}-3\left( m+3 \right)\left( -m \right)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m\]

c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]

Khi đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6\]

Do đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0\]

Δ’(m) = (-1)2 – 1.(-15) = 1 + 15 = 16 > 0

=> phương trình có hai nghiệm:  \[{{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5\];  \[{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3\]

Thử lại :

+) Với \[m=5\Rightarrow \Delta =-7 loại.

+) Với \[m=-3\Rightarrow \Delta =9>0\] => thỏa mãn.

Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\]

d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\]

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:  

Hệ thức: \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\]  (c)

Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình:

Thay  vào (b) ta có phương trình:

\[\left( -3m-5 \right)\left( 2m+5 \right)=m+3\]

\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3\]

\[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0\]

\[\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0\]

\[{{\Delta }_{\left( m \right)}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0\]

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2,{{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}\]

Thử lại:

+) Với \[m=-2\Rightarrow \Delta =0\] => thỏa mãn.

+) Với \[m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0\] => thỏa mãn.

Vậy với \[m=-2;m=-\frac{7}{3}\] phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\]

e/ Phương trình (1) có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\]

\[\Leftrightarrow {{\left( -3 \right)}^{2}}+m.\left( -3 \right)+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6\]

Khi đó: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-\left( -3 \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3\]

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3\].

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow ac