I. Lý Thuyết Và Bài Tập Phương Trình Bậc Nhất Một ẩn - Gia Sư Điểm 10

Trong bài viết hôm nay, giasudiem10 sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh lý thuyết phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn. Cũng như cách giải hai loại phương trình này cực hay. Đây là phần kiến thức Đại số phổ thông vô cùng quan trọng, nó có liên quan đến nhiều dạng toán thường gặp trong các đề thi quan trọng. Các em tìm hiểu để củng cố thêm phần kiến thức nhé !

I. Lý thuyết và bài tập phương trình bậc nhất một ẩn

1. Các kiến thức cần nhớ  

Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình dạng ax+b=0,ax+b=0,với a và b là hai số đã cho và a≠0,a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

– Quy tắc chuyển vế của phương trình bậc nhất một ẩn: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

– Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể:

• Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.0.
• Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.0.

Phương trình dạng ax+b=0ax+b=0 với a≠0a≠0 luôn có một nghiệm duy nhất x=−ba.x=−ba.

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1: Chuyển vế ax=−bax=−b

Bước 2: Chia hai vế cho aa ta được: x=−bax=−ba

Bước 3: Kết luận nghiệm: S={−ba}S={−ba}

Tổng quát phương trình ax+b=0ax+b=0 (với a≠0a≠0) được giải như sau:

ax+b=0⇔ax=−b⇔x=−baax+b=0⇔ax=−b⇔x=−ba

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=−bax=−ba

Chú ý:

Cho phương trình ax+b=0ax+b=0 (1).(1).

+ Nếu {a=0b=0{a=0b=0  thì phương trình (1)(1) có vô số nghiệm

+ Nếu {a=0b≠0{a=0b≠0  thì phương trình (1)(1) vô nghiệm

+Nếu a≠0a≠0  phương trình (1)(1) có nghiệm duy nhất x=−bax=−ba.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải: Ta vận dụng định nghĩa: Phương trình dạng ax+b=0,ax+b=0,với a và b là hai số đã cho và a≠0,a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn

Advertisement. Scroll to continue reading.

Phương pháp: Ta dùng các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải phương trình.

Biện luận như sau:

Cho phương trình ax+b=0ax+b=0 (1)(1) .

+ Nếu {a=0b=0{a=0b=0  thì phương trình (1)(1) có vô số nghiệm

+ Nếu {a=0b≠0{a=0b≠0  thì phương trình (1)(1) vô nghiệm

+ Nếu a≠0a≠0 thì phương trình (1)(1) có nghiệm duy nhất x=−bax=−ba.

Dạng  3: Giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp: Cách giải phương trình đưa được về dạng ax+b=0ax+b=0:

* Nếu phương trình có mẫu số thì ta thực hiện các bước:

+ Quy đồng mẫu hai vế

+ Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

+ Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

+ Thu gọn và giải phương trình nhận được.

* Nếu phương trình không chứa mẫu thì ta sử dụng các quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phá ngoặc và sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi.

* Nếu phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta phá dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng

|A|=m(m≥0)⇔[A=mA=−m|A|=m(m≥0)⇔[A=mA=−m .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 7x – 35 = 0

b) 4x – x – 18 = 0

c) x – 6 = 8 – x

Gợi ý giải:

a) Ta có: 7x – 35 = 0 ⇔ 7x = 35 ⇔ x = 35/7 = 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

b) Ta có: 4x – x – 18 = 0 ⇔ 3x – 18 = 0 ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 18/3 = 6.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 6.

c) Ta có: x – 6 = 8 – x ⇔ 2x = 14 ⇔ x = 14/2 = 7.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 7.

Bài 2:

a) Tìm giá trị của m sao cho phương trình sau nhận x = – 5 làm nghiệm: 2x – 3m = x + 9.

b) Tìm giá trị của m, biết rằng phương trình: 5x + 2m = 23 nhận x = 2 làm nghiệm

Gợi ý giải:

a) Phương trình 2x – 3m = x + 9 có nghiệm là x = – 5

Khi đó ta có: 2.( – 5 ) – 3m = – 5 + 9 ⇔ – 10 – 3m = 4

⇔ – 3m = 14 ⇔ m = – 14/3.

Vậy m = – 14/3 là giá trị cần tìm.

b) Phương trình 5x + 2m = 23 có nghiệm là x = 2

Khi đó ta có: 5.2 + 2m = 23 ⇔ 2m = 23 – 10

⇔ 2m = 13 ⇔ m = 13/2.

Vậy m = 13/2 là giá trị cần tìm.

II. Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết, cách giải các dạng toán và bài tập đi kèm

1. Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 một ẩn với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:

• Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

• Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:

• Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

2. Định lý Viet trong phương trình bậc 2 một ẩn

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

• x1+x2=-b/a
• x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
• 
• …

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

3. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Lưu ý khi giải phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0

– Nếu b = 0, ta có ax2 + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết b.

– Nếu c = 0, ta có ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai khuyết c.

3.1 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khác với phương trình không khuyết:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta giải theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi thành phương trình dạng a(x+m)2 = n.

Cách 2: Biến đổi thành phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0

3.2 Cách giải phương trình bậc hai một ẩn khuyết b

ax2 + c = 0 (a ≠ 0)

Ta được x2 = -c/a. Nếu -ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = √-ca

Nếu -ca < 0 thì phương trình vô nghiệm

3.3 Cách giải phương trình khuyết c

ax2 + bx = 0 (a ≠ 0)

Ta biến đổi thành: x(a + b) = 0<=> x = 0 và ax = -b  <=> x=0 và x=−b/a

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = −b/a

4. Các dạng toán phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’. Rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x2-3x+2=0
2. x2+x-6=0

Hướng dẫn:

1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý 

⇒ phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt dưới đây:

a) Phương trình khuyết hạng tử

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).

Phương pháp:

• 
• Nếu -c/a>0, nghiệm là:

• Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

• 

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

1. x2-4=0
2. x2-3x=0

Hướng dẫn:

1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

b) Phương trình đưa về dạng bậc 2

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

• Đặt t=x2 (t≥0).
• Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
• Quy đồng khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài phương pháp đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, ta cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất. Nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. 4×4-3×2-1=0
2. 

Hướng dẫn:

1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

• t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

1. Ta có:

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
  • Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
  • Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

 

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

• Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
• Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Tags: bài tập phương trìnhdạng toán phương trìnhgiải phương trìnhphương trình bậc haiphương trình bậc nhất