Công Thức Moivre - Vườn Toán

Trang chủ » Công Thức Luỹ Thừa Của Số Phức » Công Thức Moivre - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Công thức Moivre

Ở bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức và công thức Moivre. Xin nhắc lại rằng điểm trọng tâm của số phức là sự ra đời của một con số rất đặc biệt, đó là con số $i$ với tính chất $$i^2 = -1.$$ Số phức có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Kỳ trước chúng ta đã học về những phép tính đại số cơ bản của số phức.
  • Phép cọng và trừ $$(a + i b) + (c + i d) = (a+c) + i (b+d) ,$$ $$(a + i b)- (c + i d) = (a-c) + i (b - d). $$
  • Phép nhân $$(a + i b)(c + i d) = ac + i ad + i bc + i^2 bd = (ac - bd) + i (bc + ad ) .$$
  • Phép chia Sử dụng đẳng thức $$(a + i b)(a - ib ) = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 .$$ $$\frac{c + i d}{a + i b} = \frac{(c + i d)(a - ib)}{(a + ib)(a - ib)} = \frac{(ac + bd) + i(ad - bc)}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + i \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}.$$
  • Số phức liên hợp $$\overline{a + i b} = a - ib, ~~~~\overline{a- ib} = a + ib.$$
  • Trị tuyệt đối $$|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
Dạng lượng giác của số phức Hôm nay chúng ta sẽ học về một tính chất rất quan trọng của số phức, đó là mọi số phức $z$ đều có thể viết về dạng lượng giác như sau $$z = r (\cos{\phi} + i ~\sin{\phi}),$$ trong đó $r = |z|$. Thật vậy, với $z = a + ib$, chúng ta có $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2},$$ do đó $$\frac{z}{r} = \frac{a}{r} + i ~ \frac{b}{r}.$$ Chúng ta có $$\left( \frac{a}{r} \right)^2 + \left( \frac{b}{r} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{r^2} = 1,$$ do đó tồn tại $\phi$ để $$\frac{a}{r} = \cos{\phi}, ~~~~~~ \frac{b}{r} = \sin{\phi}.$$ Suy ra $$\frac{z}{r} = \frac{a}{r} + i ~ \frac{b}{r} = \cos{\phi} + i ~ \sin{\phi}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác của số phức $$z = r (\cos{\phi} + i ~\sin{\phi}).$$ Trường hợp đặc biệt $z = 0$ thì chúng ta có thể chọn $r=\alpha = 0$. Phép nhân của số phức theo dạng lượng giác Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong việc lấy tích của hai số phức nhờ vào hằng đẳng thức sau đây $$(\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})(\cos{\beta} + i ~\sin{\beta}) = \cos{(\alpha + \beta)} + i ~ \sin{(\alpha + \beta)} .$$ Do đó nếu chúng ta có hai số phức $u$ và $v$, nếu chúng ta biểu diễn chúng về dạng lượng giác $$u = r (\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}),$$ $$v = s (\cos{\beta} + i ~ \sin{\beta}),$$ thì tích của chúng sẽ là $$uv = rs (\cos{(\alpha + \beta) + i ~\sin{(\alpha + \beta)}}) .$$ Luỹ thừa và Công thức Moivre Tương tự như phép nhân, phép lấy luỹ thừa cũng rất dễ dàng khi chúng ta viết số phức về dạng lượng giác. Nếu $$u = r (\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})$$ thì $$u^n = r^n (\cos{(n \alpha)} + i ~ \sin{(n \alpha)}).$$ Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức $$(\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})^n = \cos{(n \alpha)} + i ~ \sin{(n \alpha)}.$$ Bây giờ chúng ta làm một số bài tập. Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai $$x^2 − 2 x + 4 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác. Lời giải: Chúng ta có $$\Delta' = 1^2 - 4 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$1 \pm i~ \sqrt{3}.$$ Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$| 1 \pm i~ \sqrt{3} | = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$1 \pm i~ \sqrt{3} = 2 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).$$ Bài toán 2: Giải phương trình bậc hai $$x^2 − x + 1 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác. Lời giải: Chúng ta có $$\Delta = 1^2 - 4 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$\frac{1 \pm i~ \sqrt{3}}{2}.$$ Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \pm i~ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}.$$ Bài toán 3: Giải phương trình bậc hai $$x^2 − 3 x + 3 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác. Lời giải: Chúng ta có $$\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$\frac{3 \pm i~ \sqrt{3}}{2}.$$ Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{\left( \frac{3}{2}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~ \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).$$ Bài toán 4: Tính $(1 + i)^{2012}$ bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức sau $${2012 \choose 0} - {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} - {2012 \choose 6} + \dots + {2012 \choose 2008} - {2012 \choose 2010} + {2012 \choose 2012} = - 2^{1006}.$$ Lời giải: Cách thứ nhất chúng ta đưa $1+i$ về dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của $1+i$: $$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$1 + i = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i ~ \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} ( \cos{\frac{\pi}{4}} + i ~ \sin{\frac{\pi}{4}}).$$ Dùng công thức Moivre, chúng ta tính luỹ thừa $$(1 + i)^{2012} = (\sqrt{2})^{2012} ( \cos{\frac{2012 \pi}{4}} + i ~ \sin{\frac{2012 \pi}{4}}) = 2^{1006} (\cos{(503 \pi)} + i ~ \sin{(503 \pi)}) = - 2^{1006}.$$ Dùng nhị thức Newton, chúng ta có $$(1 + i)^{2012} = 1 + {2012 \choose 1} i + {2012 \choose 2} i^2 + {2012 \choose 3} i^3 + {2012 \choose 4} i^4 + {2012 \choose 5} i^5 + \dots + {2012 \choose 2011} i^{2011} + i^{2012}$$ $$= 1 + {2012 \choose 1} i - {2012 \choose 2} - {2012 \choose 3} i + {2012 \choose 4} + {2012 \choose 5} i + \dots - {2012 \choose 2011} i + 1$$ So sánh phần số thực của hai kết quả, chúng ta rút ra được hằng đẳng thức $$1 - {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} - {2012 \choose 6} + \dots + {2012 \choose 2008} - {2012 \choose 2010} + 1 = - 2^{1006}.$$ Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Viết các số sau về dạng lượng giác: $1 - i$, $3 + 3i$, $\sqrt{3} + 3i$, $3 - \sqrt{3} i$, $2$, $- 7 + 7i$, $3i$. 2. Tìm giá trị tuyệt đối của số phức $\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}$. 3. Cho $u = r (\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha})$ và $v = s (\cos{\beta} + i ~ \sin{\beta})$, tính $u/v$. 4. Tính $(1 + i)^{2013}$ bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức tổ hợp. 5. Biểu diễn $x$ dưới dạng lượng giác rồi tìm tất cả các giá trị của số phức $x$ sao cho $x^4 = -1$. Labels: cấp 3, công thức Moivre, đại số, hằng đẳng thức, lượng giác, nhị thức Newton, phương trình bậc hai, số phức, tổ hợp Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2013 (26)
    • ▼  tháng 1 (2)
      • Công thức Moivre
      • Số phức

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Công Thức Luỹ Thừa Của Số Phức