Hàm Phức - Hoàngvănthành

Trang chủ » Công Thức Luỹ Thừa Của Số Phức » Hàm Phức - Hoàngvănthành

Có thể bạn quan tâm

Monday, March 2, 2015

Hàm phức

I. Số phức

1. Dạng đại số của số phức

Số phứcz là số có dạngđại số z = a + bi, với a và blà các số thực, ilà đơn vị ảo, với i2 = -1. Số thực a được gọi là phần thực củaz, kí hiệu là Re(z). Số thực b được gọi là phần ảocủaz, kí hiệu là Im(z). Và bi được gọi là số thuần ảocủaz. 2. Mặt phẳng phức Số phức z = a + bi có thể được biểu diễn trên mặt phẳng Đề-các, gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng z, với trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo. Như vậy, số phức z = a + bi xác định một điểm có toạ độ (a, b). Hình 1.1 Biểu diễn số phức z và số phức liên hợp trong mặt phẳng phức. Thí dụ: Số phức −3.5 + 2icó: Re(-3.5 + 2i) = -3.5 là số thực. Im(-3.5 + 2i) = 2 là số ảo. Như thế, số phức zđược viết là z = Re(z) + Im(z)i.

3. Số phức liên hợp

3.1 Định nghiã

Cho số phứcz = a + bi khác 0, số phức = a – bi được gọi làsố phức liên hợp của z.

3.2 Tính chất của số phức liên hợp: 1) z x = a2 + b2 là một số thực. 2)= + ' 3)= x ' 4) = / '

4. Đại số của số phức

Cho hai số phức khác 0, z = a + ib và w = m + in

4.1 Hai số phức bằng nhau z = w nếu và chỉ nếu a = m và b = n. 4.2 Phép cộng và trừ hai số phức: z + w = a + ib + m + in = (a + m) + i(b + n) z - w = a + ib – (m + in) = (a - m) + i(b - n) 4.3 Phép nhân hai số phức: zw = (a + ib)(m + in) = am + ian + ibm + i2bn = am + ian + ibm – bn = (am - bn) + i(an + bm) 4.4 Phép chia hai số phức: Nếu dùng số liên hợp, ta có: 5. Tam giác Pascal

Để triển khai những số phức dạng (x + y)n, ta có thể dùng những hệ số của tam giác Pascal dưới đây

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

. . .

Hàng thứ nhất là (x + y)0 = 1

Hàng thứ hai là (x + y)1 = (x + y)

Hàng thứ ba là (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Hàng thứ tư là (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Hàng thứ năm là (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Thí du:

(2-i)4 = 24 + 4(23)(-i) + 6(22)(-i)2 + 4(2)(-i)3 + (-i)4

= 16 – 32i + 24(-i)2 + 8(-i)3 + (-i)4

= 16 – 32i -24 + 8i + 1

= -7 – 24i

6. Trường số phức

Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là C.

Cho u, w, z là 3 số phức Î C, thì những tiên đề sau: 6.1 Phép cộng: 1) z + w Î C (tính đóng kín). 2) z + w = w + z (tính giao hoán). 3) (u + w) + z = u + (w + z) (tính kết hợp). 4) Đơn vị cộng 0 thoả mãn z + 0 = 0 + z = z. 5) Nghịch đảo cộng, kí hiệu –z, thoả mãn z + (-z) = (-z) + z = 0. 6.2 Phép nhân: 6) zw Î C (tính đóng kín). 7) zw = wz (tính giao hoán). 8) (uw)z = u(wz) (tính kết hợp). 9) Đơn vị nhân 1 thoả mãn z.1 = 1.z = z. 10) Nghịch đảo nhân, kí hiệu z-1, thoả mãn zz-1 = z-1z = 1. 6.3 Tính phân bố của cộng và nhân: 11) (w + z)u = wu + zu. 12) u(w + z) = uw + uz. Các tiên đề trên được thoả mãn và C được gọi là trường số phức.

7. Dạng cực của số phức

Hình 1.2

Toạ độ cực của số phức z.

7.1 Môđun Chosố phức z = a + bi, thì z x = a2 + b2. Căn bậc hai của z x được gọi là môđuncủa z, kí hiệu là|z|. Như vậy, |z| = Tính chất của môđun 1) || = |z| 2) |z1z2| = |z1||z2| 3) |zn| = |z|n 4) |z1/z2| = |z1|/|z2| 5) Bất đẳng thức tam giác | z1 + z2 |< |z1| + |z2| | z1 + z2 + … + zn|< |z1| + |z2| + … + |zn| | z1 + z2 |>|z1| - |z2| | z1 - z2 |> |z1| - |z2| 7.2 Acgumen Cho số phức z = a + bi, thì gócqgiữa chiều dương của trục thực Ox và đường thẳng Oz được gọi là acgumencủa z, kí hiệu là arg(z). Giá trị chính của arg(z), kí hiệu Arg(z), là giá trị duy nhất q mà -p<q£p. Ta có đẳng thức: arg(z) = Arg(z) + 2np, n = 0, ±1, ±2, … Giá trị chính cũng có thể là giữa 0 và 2p. Tính chất củaacgumen 1) arg(z1 x z2) = arg(z1) + arg(z2) 2) arg(z1/z2) = arg(z1) - arg(z2) 3) arg(zn) = n arg(z) 7.3 Định nghĩa

Số phứcz = a + bicó thể viết dưới dạng

z = a + bi =(a / + ib /).

Đặt

r = |z|, q = arg(z), ta có: z = r(cosq + isinq) gọi là dạng cực của z. Chú ý: Để biến đổi giữa số phức z dạng đại số và dạng cực, ta dùng r = |z| > 0 và tanq = b/a

7.4 Phép toán trên các số phức dạng cực

Cho hai số phức dạng cực khác 0, z = r(cosq + i sinq) z’ = r’(cosq’ + i sinq’) 1) Hai số phức dạng cực bằng nhau nếu và chỉ nếu r = r’ và q = q’ 2) Phép nhân số phức dạng cực z z’ = r r’ (cos(q + q’) + i sin(q + q’)) 3) Phép chia số phức dạng cực z/z' = r/r' (cos(q - q’) + i sin(q - q’)) 4) Luỹ thừa số phức dạng cực (công thức Moivre). zn = rn (cos(n q) + i sin(n q)) 5) Khai căn số phức dạng cực Mọi số phức khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng cực wk =(cosyk + i sinyk) yk = q/n + (k2p)/n, với k = 0, 1, …, n – 1. 8. Dạng mũ của số phức 8.1 Định nghĩa Dùng công thức Euler: eiq = cosq + i sinq ta có thể viết số phức z = r(cosq + isinq) dưới dạng mũ z = reiq 8.2 Phép toán trên các số phức dạng mũ Cho hai số phức dạng mũ khác không z1 = r1 eiq1 và z2 = r2 eiq2 1) Hai số phức dạng mũ bằng nhau nếu và chỉ nếu r1 = r2 và q1 = q2 + 2np, n Î Z 2) Phép nhân dạng mũ eiq1eiq2 = (cosq1 + isinq1) (cosq2 + isinq2) = (cosq1 cosq2 - sinq1 sinq2) + i(sinq1 cosq2 + cosq1 sinq2) = cos(q1 + q2) + isin(q1 + q2) = ei(q1 + q2) Suy ra, z1 z2 = r1 r2 ei(q1 + iq2) Như vậy, muốn nhân hai số phức, ta nhân môđun và cộng acgumen. 3) Phép chia dạng mũ z1/z2 = r1/r2.(eiq1 e-iq2)/(eiq2 e-iq2)= r1/r2. ei(q1 - q2)/ei0) = r1/r2. ei(q1 - q2) Như vậy, muốn chia hai số phức, ta chia môđun và trừ acgumen. 4) Luỹ thừa dạng mũ (Công thức De Moivre) Với z1 = 1 = 1eio và z2 = z = reiq, ta có nghịch đảo của z: 1/z = z-1 = 1/r e-iq Ta cũng có số liên hợp của z: = r e-iq Với z1 = z2 = z = reiq, ta có z2 = r2ei2q Dùng quy nạp, ta có thể chứng minh rằng zn = rn einq, n Î Z Nếu r = 1, thì công thức trên trở thành (eiq)n = einq, n Î Z Đây là công thức De Moivre (cosq + i sinq)n = cos(n q) + i sin(n q),n Î Z 5) Căn và luỹ thừa phân của số phức Cho số phức z khác không. a. Căn bậc n của z là bất cứ số phức w nào thoả mãn wn = z Cho z = reiq và w = reij , ta có rneinj = reiq Suy ra, rn = r Và nj = q + 2kp, kÎZ Nếu gọi là căn bậc n của số thực dương r, ta có r= jk = q/n + (k2p)/n, kÎZ Do đó, các căn bậc n của z là các số phức wk = ei(q/n+(2kp)/n), kÎZ Với dạng mũ này, tất cả căn bậc n của z đều nằm trên vòng tròn tâm O bán kính và cách đều nhau một góc 2p/n, bắt đầu từ góc q/n. Vậy, ta chỉ có n căn khi k = 0, 1, 2, …, n-1, vì bất cứ số phức z = reiqkhác không nào cũng chỉ có n căn bậc n: wk =ei(q/n+(2kp)/n), (k = 0, 1,2, …, n-1) Thí dụ: Tìm căn bậc n của 1. Xét phương trình zn = 1, nÎZ+ Vì (ez)n = ezez…ez Căn bậc n của 1 là cos2kp/n + isin2kp/n = e2kpi/n , k= 0, 1,2, …, n-1 Nếu w = e2pi/n, thì căn bậc n là 1, w, w2, …, wn-1. Thí dụ: Tìm căn bậc 4 của 2. Để tìm căn bậc n của một số a, ta viết rn einq= a ei0 Rồi cân bằng môđun và acgumen. Lặp lại thủ tục này bởi cộng thêm 2p, ta có: Căn thứ nhất là: (reiq)4 = 2 ei0 Suy ra, r = 21/4, q = o Căn thứ hai là: (reiq)4 = 2 ei2p Suy ra, r = 21/4, q = p/2 z = 21/4 eip/2 = 21/4[cos(p/2) + isin(p/2)] = i21/4 Căn thứ ba là: (reiq)4 = 2 ei4p Suy ra, r = 21/4, q = p z = 21/4 eip= 21/4[cos(p) + isin(p)] = -21/4 Căn thứ bốn là: (reiq)4 = 2 ei6p Suy ra, r = 21/4, q = 3p/2 z = 21/4 ei3p/2 = 21/4[cos(3p/2) + isin(3p/2)] = -i21/4 b. Luỹ thừa phân của một số phức z được định nghĩa như sau: zm/n = (z1/n)m = ()m ei(q + 2kp), (k = 0, 1,2, …, n-1) Posted by at 3:31 PM

No comments:

Post a Comment

Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)

About Me

hoangvthanh View my complete profile

Blog Archive

  • ▼  2015 (8)
    • ▼  March (2)
      • Ngôn Ngữ Lập Trình C
      • Hàm phức

Từ khóa » Công Thức Luỹ Thừa Của Số Phức