Số Phức (Complex Number) | Maths 4 Physics & More... | Trang 2

Trang chủ » Công Thức Luỹ Thừa Của Số Phức » Số Phức (Complex Number) | Maths 4 Physics & More... | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

III. Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức:

3.1 Nâng lên lũy thừa:

Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:

[r(cos{\varphi} + isin{\varphi})]^n = r^n (cosn{\varphi} + isinn{\varphi})

Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với số mũ của lũy thừa.

3.2 Áp dụng của công thức Moivre:

Trong công thức đặt r = 1, ta được:

[(cos{\varphi} + isin{\varphi})]^n = (cosn{\varphi} + isinn{\varphi})

Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn {\sin}n{\varphi} , {\cos}n{\varphi} theo luỹ thừa của {\cos}{\varphi} , {\sin}{\varphi} .

Chẳng hạn với n = 3: ta có:

VT={{\cos }^{3}}\varphi +i.3{{\cos }^{2}}\varphi \sin \varphi +3\cos \varphi {{\sin }^{2}}\varphi +i{{\sin }^{3}}\varphi

VP = {\cos}3{\varphi} + i{\sin}3{\varphi}

Do đó: \cos 3\varphi ={{\cos }^{3}}\varphi -3\cos \varphi {{\sin }^{2}}\varphi =-3\cos \varphi +4{{\cos }^{3}}\varphi

\sin 3\varphi =-{{\sin }^{3}}\varphi +3{{\cos }^{2}}\varphi \sin \varphi =3\sin \varphi -4{{\sin }^{3}}\varphi

3.3 Phép khai căn:

Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn: \sqrt[n]{z} = w \Leftrightarrow {w^n} = z .

Hay: \sqrt[n]{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )} = \rho (\cos \theta +i\sin \theta )

\Leftrightarrow r(\cos \varphi +i\sin \varphi ) = {{\rho }^{n}}(\cos n\theta +i\sin n\theta )

Vì trong những số phức bằng nhau. Môđun phải bằng nhau nhưng argument có thể sai khác một bội 2{\pi} nên:

{\rho}^n = r ; \qquad n{\theta} = \varphi + k2{\pi}

Từ đó: \rho = \sqrt[n]{r} ; \theta = { \dfrac{\varphi + k2{\pi}}{n}} ; k là số nguyên tùy ý.

Cho k các giá trị 0, 1, 2, …, n-1 ta được n giá trị khác nhau của căn. Chú ý với k = n, n+1, n+2,… thì giá trị sẽ lần lượt trùng với các giá trị ứng với k = 0, 1, 2, …

Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau.

Nhận xét:

Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác:

Nếu A > 0 thì A = |A| ({\cos}0 + i{\sin}0)

Nếu A < 0 thì A = |A| ({\cos}{\pi} + i{\sin}{\pi})

Ví dụ: Tìm \sqrt[3]{1} \qquad \sqrt[4]{-1} \qquad (2+2i)^3

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

38 bình luận về “Số phức (Complex Number)”

  1. Tính z= i^i, và cho em hỏi: 1^(x+yi)=? Cảm ơn thầy!

    ThíchThích

    Posted by PhamVanTuyen | 11/09/2011, 20:19 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Từ khóa » Công Thức Luỹ Thừa Của Số Phức