Công Thức Poisson – Công Thức Tổng Poisson | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Như đã làm quen trong môn Phương trình đạo hàm riêng, ta đã biết công thức Poisson cho hàm điều hòa $u$ (hàm thỏa mãn phương trình Laplace $u_{xx}+u_{yy}=0$ ) trong:

+ miền hình tròn đơn vị $D=\{(r, \varphi)|\; 0\le r<1, 0\le\varphi<2\pi\}$

$u(r, \varphi)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}P_r(\varphi-\theta)u(1, \theta)d\theta$ ,

trong đó $P_r(\varphi)=\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos\varphi+r^2}$ ,

+ nửa mặt phẳng trên $\mathbb R^2_+=\{(x, y)|\; y>0\}$

$u(x, y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \mathcal P_y(x-t)u(t, 0)dt$ ,

trong đó $\mathcal P_y(t)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{y}{y^2+t^2}$ .

Nhìn qua có vẻ như chúng chưa liên hệ gì với nhau? Tuy nhiên dưới con mắt ánh xạ bảo giác trong hàm phức, hai công thức trên chẳng qua là một, sai khác một ánh xạ bảo giác.

(Các bạn có thể tham khảo

https://bomongiaitich.wordpress.com/2009/04/13/bai-toan-bien-dirichlet-tren-n%e1%bb%ada-d%e1%ba%a3i-vo-h%e1%ba%a1n/)

Ta cũng có thể nhìn nhận vấn đề theo cách khác như dưới đây tôi sẽ trình bày.

+ Qua phép nghịch đảo qua đường tròn đơn vị $r\to 1/r$ , công thức Poisson cho hàm điều hòa ngoài hình tròn đơn vị $\{(r, \varphi)|\; r>1, 0\le\varphi<2\pi\}$

$u(r, \varphi)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}Q_r(\varphi-\theta)u(1, \theta)d\theta$

với $Q_r(\varphi)=\dfrac{r^2-1}{1-2r\cos\varphi+r^2}$ .

Nhìn lại miền ngoài hình tròn đơn vị một chút ta thấy nó chính là việc cuộn tròn nửa mặt phẳng trên! Một cách toán học, việc xét hàm trên miền ngoài hình tròn đơn vị chẳng qua là việc khảo sát các hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ trên nửa mặt phẳng. Một mắt xích quan trọng!

Đi vào cụ thể, công thức Poisson cho miền ngoài hình tròn hoàn toàn dẫn được từ công thức Poisson cho nửa mặt phẳng trên như sau.

Hàm điều hòa $u:\mathbb R^2_+\to\mathbb R$ bây giờ được xét là hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ theo biến $x$ .

Ta viết lại công thức Poisson

$u(x, y)=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal P_y(x-t)u(t, 0)dt=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty \int\limits_{k2\pi}^{(k+1)2\pi}\mathcal P_y(x-t)u(t, 0)dt$ .

Do $u(x, y)$ tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ theo biến $x$ nên

$\int\limits_{k2\pi}^{(k+1)2\pi}\mathcal P_y(x-t)u(t, 0)dt=\int\limits_{0}^{2\pi}\mathcal P_y(x+k2\pi-t)u(t, 0)dt$ .

Ta cần tính chuỗi

$\sum\limits_{k=-\infty}^\infty \mathcal P_y(x+k2\pi)=\dfrac{1}{\pi}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty \dfrac{y}{y^2+(x+k2\pi)^2}$ .

Lúc này công thức tổng Poisson được sử dụng.

Công thức tổng Poisson được phát biểu như sau.

Cho $f:\mathbb R\to\mathbb C$ đủ tốt (chẳng hạn khả vi vô hạn và tất cả các đạo hàm tiến về $0$ nhanh hơn bất kỳ đa thức nào khi $|x|$ tiến ra $+\infty$ ).

Khi đó

$\sum\limits_{k=-\infty}^\infty f(x+2k \pi)=(2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}Ff(k)$

trong đó $Ff(k)=(2\pi)^{-1/2}\int\limits_{\mathbb R}e^{-ikx}f(x)dx$ .

(Các bạn có thể tham khảo bài

http://datuan5pdes.wordpress.com/2007/10/30/cong-th%e1%bb%a9c-poisson/?preview=true&preview_id=54&preview_nonce=0dbed6b675

hay

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula)

Sử dụng hàm $f(x)=\mathcal P_y(x)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{y}{y^2+x^2}$ với lưu ý biến đổi Fourier của hàm này

$Ff(\xi)=(2\pi)^{-1/2}e^{-y|\xi|}$ ta có

$\sum\limits_{k=-\infty}^\infty \mathcal P_y(x+k2\pi)=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty e^{ik x}e^{-|k|y}$ .

(Xem trong bài

http://datuan5pdes.wordpress.com/2008/11/25/cong-th%e1%bb%a9c-t%e1%bb%95ng-poisson-d%e1%bb%8bnh-ly-mittag-leffler/)

Đến đây ta được công thức Poisson cho hàm điều hòa tuần hoàn trên đường thẳng. Công thức này quen thuộc trong việc giải bài toán biên trong nửa dải, chẳng hạn

$u_{xx}+u_{yy}, 0<x<\pi, y>0$ ,

$u(0, y)=u(\pi, y)=0, y>0$ ,

$u(x, 0)=f(x)$ .

Khi đó ta thác triển các hàm $u(x, y), f(x)$ thành các hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ ta được

$u(x, y)=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_ke^{-|k|y}e^{ikx}$

với $c_k=\int\limits_0^{2\pi} f(x)e^{-ikx}dx$ .

Để chuyển sang công thức Poisson cho miền ngoài hình tròn, cần lưu ý khi chuyển sang hệ tọa độ cực phương trình Laplace chuyển thành

$\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\Big(r\dfrac{\partial v}{\partial r}\Big)+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^2 v}{\partial \varphi^2}=0$

khác so với phương trình Laplace trong nửa dải

$u_{xx}+u_{yy}=0$ .

Tuy nhiên nếu lại đổi biến $x=\varphi, y=\log r$ thì phương trình ngoài hình tròn trùng với phương trình trong nửa dải.

Khi đó, với $r=e^y, x=\varphi$ ta thu được công thức Poisson ngoài hình tròn và công thức

$u(r, \varphi)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k r^{-|k|}e^{ik\varphi}$

với $c_k=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u(1, \varphi)e^{ik\varphi}d\varphi$ .

Với phương trình truyền nhiệt ta cũng gặp sự kiện thú vị tương tự.

Từ công thức Poisson cho phương trình truyền nhiệt $u_t=a^2u_{xx}$ trên toàn đường thằng

$u(x, t)=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal H_t(x-y)u(y, 0)dy$

với $\mathcal H_t(y)=\dfrac{1}{\sqrt{4a^2\pi t}}e^{-\frac{y^2}{4a^2t}}$

ta có thể dẫn đến công thức Poisson cho phương trình truyền nhiệt trên đường tròn, hay dễ hình dung là phương trình truyền nhiệt đối với hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ . Ta cũng có thể đề cập đến phương trình truyền nhiệt đối với hàm tuần hoàn chu kỳ $2L, L>0$ , tổng quát như dưới đây.

Do hàm $u(x, t)$ tuần hoàn chu kỳ $2L$ theo $x$ nên ta viết lại công thức Poisson

$u(x, t)=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal H_t(x-y)u(y, 0)dy=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty \int\limits_{k2L}^{(k+1)2L} \mathcal H_t(x-y)u(y, 0)dy$

$=\int\limits_{0}^{2L} (\sum\limits_{k=-\infty}^\infty\mathcal H_t(x+k2L-y))u(y, 0)dy$ .

Dùng công thức tổng Poisson

$\sum\limits_{k=-\infty}^\infty f(x+2k L)=\dfrac{(2\pi)^{1/2}}{2L}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty e^{\frac{ik\pi x}{L}}Ff(\frac{k\pi}{L})$

cho hàm $f(y)=\mathcal H_t(y)$ với chú ý biển đổi Fourier

$Ff(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-a^2\xi^2 t}$

ta được

$H_t(x)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty\mathcal H_t(x+k2L)=\dfrac{1}{2L}\sum\limits_{k=-\infty}^\infty e^{\frac{ik\pi x}{L}}e^{-(\frac{ak\pi}{L})^2 t}$ .