Phân Phối Poisson được Sử Dụng. Công Thức Phân Phối Và Poisson

Cách các yêu cầu bắt đầu đến: “Poisson ở đâu? Các nhiệm vụ trên công thức Poisson nằm ở đâu? và như thế. Và vì vậy tôi sẽ bắt đầu với sử dụng cá nhân Phân phối Poisson - do nhu cầu cao về vật liệu.

Nhiệm vụ quen thuộc đến kỳ lạ:

Và hai nhiệm vụ sau về cơ bản khác với những nhiệm vụ trước:

Ví dụ 4

Biến ngẫu nhiên tuân theo định luật Poisson với kỳ vọng toán học. Tìm xác suất để một biến ngẫu nhiên đã cho sẽ nhận một giá trị nhỏ hơn kỳ vọng toán học của nó.

Sự khác biệt là ở đây chúng ta đang nói CHÍNH XÁC về phân phối Poisson.

Quyết định: biến ngẫu nhiên nhận các giá trị với các xác suất:

Theo điều kiện, và ở đây mọi thứ đều đơn giản: sự kiện bao gồm ba kết quả không tương thích:

Xác suất mà một biến ngẫu nhiên sẽ nhận một giá trị nhỏ hơn kỳ vọng toán học của nó.

Trả lời:

Một nhiệm vụ hiểu tương tự:

Ví dụ 5

Biến ngẫu nhiên tuân theo định luật Poisson với kỳ vọng toán học. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên đã cho nhận giá trị dương.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Ngoại trừ sự xấp xỉphân phối nhị thức(Ví dụ 1-3), phân phối Poisson đã được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết xếp hàng cho một đặc tính xác suất điều đơn giản nhất dòng sự kiện. Tôi sẽ cố gắng ngắn gọn:

Cho phép một số hệ thống nhận yêu cầu ( cuộc gọi điện thoại, khách hàng đến, v.v.). Luồng ứng dụng được gọi là điều đơn giản nhất nếu nó thỏa mãn các điều kiện sự cố định, thiếu hậu quả và bình thường. Tính ổn định ngụ ý rằng cường độ của các ứng dụng liên tục và không phụ thuộc vào thời gian trong ngày, ngày trong tuần hoặc các khung giờ khác. Nói cách khác, không có "giờ cao điểm" và không có "giờ chết". Việc không có hậu quả có nghĩa là xác suất xuất hiện của các ứng dụng mới không phụ thuộc vào "tiền sử", tức là không có chuyện “một bà kể” và những người khác “chạy vào” (hoặc ngược lại, bỏ trốn). Và, cuối cùng, thuộc tính của sự bình thường được đặc trưng bởi thực tế rằng đủ nhỏ Khoảng thời gian gần như không thể sự xuất hiện của hai hơn các ứng dụng. "Hai vị lão bà ở cửa?" - không xin lỗi.

Vì vậy, hãy để một số hệ thống nhận được luồng yêu cầu đơn giản nhất với cường độ trung bình yêu cầu mỗi phút (mỗi giờ, mỗi ngày hoặc bất kỳ khoảng thời gian nào). Sau đó, xác suất mà trong một khoảng thời gian nhất định, hệ thống sẽ nhận được chính xác các yêu cầu, tương đương với:

Ví dụ 6

Các cuộc gọi đến nhân viên điều phối taxi thể hiện luồng Poisson đơn giản nhất với cường độ trung bình là 30 cuộc gọi mỗi giờ. Tìm xác suất để: a) trong 1 phút. 2-3 cuộc gọi sẽ được nhận, b) sẽ có ít nhất một cuộc gọi trong vòng năm phút.

Quyết định: sử dụng công thức Poisson:

a) Với tính ổn định của dòng chảy, chúng tôi tính số cuộc gọi trung bình trong 1 phút: cuộc gọi - trung bình là một phút.

Theo định lý cộng xác suất của các biến cố không tương thích: - xác suất trong 1 phút sẽ nhận được 2-3 cuộc gọi trong phòng điều khiển.

b) Tính số cuộc gọi trung bình trong 5 phút:

Giới thiệu

Các sự vật hiện tượng có phải là đối tượng của quy luật nào không? nhân vật ngẫu nhiên? Có, nhưng những luật này khác với những gì chúng ta đã quen. luật vật lý. Các giá trị của SW không thể được dự đoán ngay cả trong các điều kiện thực nghiệm đã biết, chúng tôi chỉ có thể chỉ ra các xác suất mà SW sẽ nhận một giá trị này hoặc một giá trị khác. Nhưng khi biết phân phối xác suất của SW, chúng ta có thể rút ra kết luận về các sự kiện mà các biến ngẫu nhiên này tham gia. Đúng, những kết luận này cũng sẽ có tính chất xác suất.

Hãy để một số SW rời rạc, tức là chỉ có thể nhận giá trị cố định Xi. Trong trường hợp này, một loạt các xác suất P (Xi) cho tất cả (i = 1… n) giá trị cho phépđại lượng này được gọi là luật phân phối của nó.

Quy luật phân phối SW là một quan hệ thiết lập mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của SW và xác suất mà các giá trị này được chấp nhận. Luật phân phối hoàn toàn đặc trưng cho SW.

Khi xây dựng mô hình toán họcđể kiểm tra giả thuyết thống kê cần phải đưa ra một giả định toán học về luật phân phối SW (cách xây dựng mô hình theo tham số).

Cách tiếp cận phi tham số để mô tả mô hình toán học (SW không có luật phân phối tham số) kém chính xác hơn, nhưng có phạm vi rộng hơn.

Tương tự như đối với xác suất. sự kiện ngẫu nhiên, chỉ có hai cách để tìm nó cho luật phân phối SW. Hoặc chúng tôi xây dựng một lược đồ của một sự kiện ngẫu nhiên và tìm một biểu thức phân tích (công thức) để tính xác suất (có thể ai đó đã làm điều đó hoặc sẽ làm điều đó cho chúng tôi!), Hoặc chúng tôi sẽ phải sử dụng một thử nghiệm và dựa trên tần số quan sát, đưa ra một số giả thiết (đưa ra giả thuyết) về quy luật phân phối.

Tất nhiên, đối với mỗi phân phối "cổ điển", công việc này đã được thực hiện từ lâu - được biết đến rộng rãi và rất thường được sử dụng trong thống kê ứng dụng là phân phối nhị thức và đa thức, phân phối hình học và siêu đại, phân phối Pascal và Poisson, và nhiều người khác.

Đối với hầu hết các phân phối cổ điển, các bảng thống kê đặc biệt ngay lập tức được xây dựng và xuất bản, được tinh chỉnh khi độ chính xác của các phép tính tăng lên. Nếu không sử dụng nhiều tập các bảng này, không học cách sử dụng chúng trong hai thế kỷ qua công dụng thực tế số liệu thống kê không thể thực hiện được.

Ngày nay, tình hình đã thay đổi - không cần phải lưu trữ dữ liệu tính toán bằng các công thức (cho dù công thức sau phức tạp đến đâu!), Thời gian sử dụng luật phân phối cho thực tế giảm xuống còn phút, hoặc thậm chí vài giây. Hiện đã có đủ số lượng các gói ứng dụng khác nhau chương trình máy tính cho những mục đích này.

Trong số tất cả các phân phối xác suất, có những phân phối được sử dụng thường xuyên nhất trong thực tế. Các phân phối này đã được nghiên cứu chi tiết và các đặc tính của chúng đã được biết đến nhiều. Nhiều phân bố trong số này tạo thành nền tảng của toàn bộ các lĩnh vực kiến ​​thức, chẳng hạn như lý thuyết xếp hàng, lý thuyết độ tin cậy, kiểm soát chất lượng, lý thuyết trò chơi, v.v.

Trong số đó, không thể không chú ý đến các công trình của Poisson (1781-1840), người đã chứng minh một dạng luật tổng quát hơn của Jacob Bernoulli. những con số lớn, và cũng là lần đầu tiên áp dụng lý thuyết xác suất vào các bài toán bắn súng. Tên của Poisson gắn liền với một trong những định luật phân phối, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và các ứng dụng của nó.

Đó là luật phân phối mà bài báo này được dành. khóa học làm việc. Nó sẽ là trực tiếp về luật, về nó đặc điểm toán học, tính chất đặc biệt, mối liên hệ với phân phối nhị thức. Một vài từ sẽ được nói về ứng dụng thực tế và một số ví dụ thực tế được đưa ra.

Mục đích của phần tóm tắt của chúng tôi là làm rõ bản chất của các định lý phân phối Bernoulli và Poisson.

Nhiệm vụ là nghiên cứu và phân tích tài liệu về chủ đề của bài văn.

1. Phân phối nhị thức (phân phối Bernoulli)

Phân phối nhị thức (phân phối Bernoulli) - phân phối xác suất của số lần xuất hiện của một số sự kiện trong các thử nghiệm độc lập lặp lại, nếu xác suất xuất hiện của sự kiện này trong mỗi thử nghiệm bằng p (0

Người ta nói rằng SV X được phân phối theo luật Bernoulli với tham số p nếu nó nhận các giá trị 0 và 1 với các xác suất pX (x) ºP (X = x) = pxq1-x; p + q = 1; x = 0,1.

Phân phối nhị thức nảy sinh khi câu hỏi được đặt ra: có bao nhiêu lần một sự kiện xảy ra trong một loạt các quan sát (thí nghiệm) độc lập nhất định được thực hiện trong cùng một điều kiện.

Để thuận tiện và rõ ràng, chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ta biết giá trị p - xác suất khách vào cửa hàng sẽ là người mua và (1 - p) = q - xác suất khách vào cửa hàng sẽ không phải là người mua.

Nếu X là số lượng người mua từ Tổng số n khách truy cập, thì xác suất để có k người mua trong số n khách truy cập là

P (X = k) =, trong đó k = 0,1,… n 1)

Công thức (1) được gọi là công thức Bernoulli. Tại số lượng lớn kiểm tra phân phối nhị thức có xu hướng bình thường.

Thử nghiệm Bernoulli là một thử nghiệm xác suất với hai kết quả, thường được gọi là "thành công" (nó thường được ký hiệu bằng ký hiệu 1) và "thất bại" (tương ứng, nó được ký hiệu bằng 0). Xác suất thành công thường được ký hiệu bằng chữ p, thất bại - bằng chữ q; tất nhiên q = 1-p. Giá trị p được gọi là tham số thử nghiệm Bernoulli.

Các biến ngẫu nhiên nhị thức, hình học, pascal và nhị thức âm được thu thập từ dãy kiểm tra độc lập Bernoulli, nếu trình tự này bị gián đoạn theo cách này hay cách khác, ví dụ, sau lần thử thứ n hoặc lần thứ x thành công. Thông thường sử dụng các thuật ngữ sau:

là tham số thử nghiệm Bernoulli (xác suất thành công trong một thử nghiệm duy nhất);

- số lần thử nghiệm;

- số lần thành công;

- số lần hỏng hóc.

Biến ngẫu nhiên nhị thức (m | n, p) là số m thành công trong n lần thử.

Biến ngẫu nhiên hình học G (m | p) là số m lần thử nghiệm cho đến lần thử nghiệm đầu tiên (kể cả lần thử nghiệm đầu tiên).

Biến ngẫu nhiên Pascal C (m | x, p) là số m lần thử cho đến lần thử thứ x (tất nhiên không bao gồm bản thân thành công thứ x).

Biến ngẫu nhiên nhị thức phủ định Y (m | x, p) là số m thất bại trước lần thành công thứ x (không bao gồm thành công thứ x).

Lưu ý: đôi khi phân phối nhị thức âm được gọi là pascal và ngược lại.

Phân phối Poisson

2.1. Định nghĩa định luật Poisson

Trong nhiều bài toán thực tế, người ta phải giải quyết các biến ngẫu nhiên được phân phối theo một quy luật đặc biệt, được gọi là định luật Poisson.

Xét một biến ngẫu nhiên không liên tục X, chỉ có thể nhận các giá trị nguyên, không âm: 0, 1, 2,…, m,…; và dãy các giá trị này về mặt lý thuyết là không giới hạn. Một biến ngẫu nhiên X được cho là phân phối theo định luật Poisson nếu xác suất mà nó có giá trị nhất định m, được biểu thị bằng công thức:

trong đó a là một số giá trị dương, được gọi là tham số luật Poisson.

Phạm vi phân phối biến ngẫu nhiên X, được phân phối theo định luật Poisson, trông giống như sau:

xm	…	m	…
Buổi chiều	e-a	…	…

2.2 Các đặc điểm chính của phân phối Poisson

Trước tiên, hãy đảm bảo rằng chuỗi các xác suất có thể là một chuỗi phân phối, tức là rằng tổng của tất cả các xác suất Pm bằng một.

Chúng tôi sử dụng sự mở rộng của hàm ex trong chuỗi Maclaurin:

Biết rằng chuỗi này hội tụ với bất kỳ giá trị nào của x, do đó, lấy x = a, ta được

vì thế

Hãy xác định các đặc điểm chính - kỳ vọng toán học và phương sai - của một biến ngẫu nhiên X, được phân phối theo định luật Poisson. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của chúng. Theo định nghĩa, khi một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một tập giá trị có thể đếm được:

Số hạng đầu tiên của tổng (tương ứng với m = 0) bằng 0, do đó, tổng có thể được bắt đầu từ m = 1:

Do đó, tham số a không khác gì kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X.

Độ phân tán của một biến ngẫu nhiên X được gọi là kỳ vọng toán học bình phương độ lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó:

Tuy nhiên, sẽ thuận tiện hơn khi tính toán nó bằng công thức:

Do đó, đầu tiên chúng ta tìm thời điểm ban đầu thứ hai của X:

Theo chứng minh trước đây

bên cạnh đó,

2.3 Các đặc điểm bổ sung của phân phối Poisson

I. Thời điểm ban đầu của bậc k của một biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng toán học của giá trị Xk:

Đặc biệt, thời điểm ban đầu của bậc đầu tiên bằng với kỳ vọng toán học:

II. Mômen trung tâm của bậc k của một biến ngẫu nhiên X là kỳ vọng toán học của giá trị k:

Đặc biệt, thời điểm trung tâmĐơn hàng đầu tiên là 0:

μ1 = M = 0,

mômen trung tâm của bậc 2 bằng độ phân tán:

μ2 = M2 = a.

III. Đối với một biến ngẫu nhiên X có phân phối theo định luật Poisson, ta tìm xác suất để biến đó nhận giá trị không nhỏ hơn k cho trước. Chúng tôi biểu thị xác suất này bằng Rk:

Rõ ràng, xác suất Rk có thể được tính bằng tổng

Tuy nhiên, nó dễ dàng hơn nhiều để xác định nó từ xác suất sự kiện ngược lại:

Đặc biệt, xác suất để đại lượng X có giá trị dương được biểu thị bằng công thức

Như đã đề cập, nhiều vấn đề trong thực tế dẫn đến phân phối Poisson. Hãy xem xét một trong số nhiệm vụ điển hình thuộc loại như vậy.

Hình 2

Cho các điểm được phân bố ngẫu nhiên trên trục x Ox (Hình 2). Giả sử rằng phân phối ngẫu nhiên của các điểm thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Xác suất để một hoặc một số điểm khác rơi trên đoạn l chỉ phụ thuộc vào độ dài của đoạn này, nhưng không phụ thuộc vào vị trí của nó trên trục x. Nói cách khác, các điểm được phân bố trên trục x với cùng mật độ trung bình. Hãy để chúng tôi biểu thị mật độ này, tức là kỳ vọng toán học của số điểm trên một đơn vị độ dài, thông qua λ.

2) Các điểm được phân bố trên trục x độc lập với nhau, tức là xác suất để đạt được một số điểm nhất định vào phân đoạn nhất định không phụ thuộc vào số lượng trong số chúng rơi vào bất kỳ phân đoạn nào khác không trùng với nó.

3) Xác suất để hai hoặc nhiều điểm bắn trúng một khu vực nhỏ Δх là không đáng kể so với xác suất bắn trúng một điểm (điều kiện này có nghĩa là hai hoặc nhiều điểm trên thực tế không thể trùng nhau).

Hãy tách ra một đoạn nhất định có độ dài l trên trục abscissa và xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc X - số điểm rơi trên đoạn này. Các giá trị có thể có của đại lượng sẽ là 0,1,2,…, m,… loạt bài này tiếp tục vô thời hạn.

Hãy chứng minh rằng biến ngẫu nhiên X được phân phối theo định luật Poisson. Để làm được điều này, chúng ta cần tính xác suất Pm để có đúng m điểm rơi trên đoạn.

Hãy giải quyết thêm trước một nhiệm vụ đơn giản. Xét một đoạn nhỏ Δx trên trục Ox và tính xác suất để có ít nhất một điểm rơi trên đoạn này. Chúng tôi sẽ lập luận như sau. Gia trị được ki vọng số điểm rơi trên đoạn này rõ ràng là bằng λ · Δх (vì trung bình λ điểm rơi trên một đơn vị độ dài). Theo điều kiện 3, đối với một đoạn nhỏ Δх, có thể bỏ qua khả năng có hai hoặc nhiều điểm rơi trên đó. Do đó, kỳ vọng toán học λ · Δх của số điểm rơi trên đoạn Δх sẽ xấp xỉ bằng xác suất chạm vào một điểm trên đó (hoặc tương đương với các điều kiện này, ít nhất là một).

Do đó, lên đến vô số đơn hàng cao hơn, tại Δх → 0, chúng ta có thể coi xác suất để một (ít nhất một) điểm rơi trên vị trí Δх, bằng λ · Δх, và xác suất không điểm nào rơi bằng 1-c · Δх.

Chúng ta hãy sử dụng điều này để tính xác suất Pm để chính xác m điểm rơi trên đoạn l. Chia đoạn l cho n các phần bằng nhauĐộ dài Chúng ta hãy đồng ý gọi đoạn sơ cấp Δx là "trống" nếu nó không bao gồm bất kỳ điểm nào và "bị chiếm" nếu có ít nhất một điểm. Theo phần trên, xác suất để đoạn Δх bị "chiếm" là xấp xỉ bằng λ · Δх =; xác suất mà nó sẽ là "rỗng" là bằng 1-. Vì, theo điều kiện 2, các lần truy cập của các điểm trong các phân đoạn không trùng lặp là độc lập, khi đó n phân đoạn của chúng ta có thể được coi là n "thí nghiệm" độc lập, trong đó mỗi phân đoạn có thể được "chiếm" với xác suất p =. Hãy tìm xác suất để trong n đoạn có đúng m bị "chiếm". Theo định lý thử nghiệm độc lập lặp lại, xác suất này bằng

,

hoặc ký hiệu λl = a:

.

Với n đủ lớn, xác suất này xấp xỉ bằng xác suất để chính xác m điểm rơi trên đoạn l, vì va vào hai điểm trở lên trên đoạn Δx có xác suất không đáng kể. Để tìm giá trị chính xác của Pm, chúng ta cần đi đến giới hạn là n → ∞:

Cho rằng

,

chúng tôi nhận được rằng xác suất mong muốn được biểu thị bằng công thức

trong đó a = λl, tức là đại lượng X được phân phối theo định luật Poisson với tham số a = λl.

Cần lưu ý rằng giá trị a có nghĩa là số điểm trung bình trên mỗi đoạn l. Giá trị của R1 (xác suất giá trị của X nhận giá trị dương) trong trường hợp này biểu thị xác suất để có ít nhất một điểm rơi trên đoạn l: R1 = 1-e-a.

Như vậy, chúng ta đã thấy rằng phân phối Poisson xảy ra trong đó một số điểm (hoặc các phần tử khác) chiếm một vị trí ngẫu nhiên độc lập với nhau và số lượng các điểm này rơi vào một khu vực nào đó được tính. Trong trường hợp của chúng tôi, khu vực này là đoạn l trên trục x. Tuy nhiên, kết luận này có thể dễ dàng mở rộng cho trường hợp phân bố của điểm trong mặt phẳng (trường phẳng ngẫu nhiên của điểm) và trong không gian (trường không gian ngẫu nhiên của điểm). Dễ dàng chứng minh rằng nếu các điều kiện sau đây được đáp ứng:

1) các điểm được phân bố thống kê đồng đều trên thực địa với mật độ trung bình λ;

2) các điểm rơi vào các vùng không chồng lấn một cách độc lập;

3) các dấu chấm xuất hiện đơn lẻ, không theo cặp, dấu ba, v.v.,

thì số điểm X thuộc bất kỳ khu vực D (phẳng hoặc không gian) nào được phân bố theo định luật Poisson:

,

trong đó a là số điểm trung bình thuộc vùng D.

Vì trường hợp phẳng a = SD λ, trong đó SD là diện tích của vùng D,

đối với không gian a = VD λ, trong đó VD là thể tích của vùng D.

Đối với phân phối Poisson của số điểm rơi vào một đoạn hoặc khu vực, điều kiện về mật độ không đổi (λ = const) là không cần thiết. Nếu hai điều kiện còn lại được đáp ứng, thì định luật Poisson vẫn được giữ nguyên, chỉ có tham số a trong nó nhận được một biểu thức khác: hóa ra là không phép nhân đơn giản mật độ λ theo chiều dài, diện tích hoặc thể tích, nhưng bằng cách tích phân mật độ thay đổi trên một phân đoạn, diện tích hoặc thể tích.

Poisson phân phối lượt chơi vai trò quan trọng trong một số vấn đề về vật lý, lý thuyết truyền thông, lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết xếp hàng, v.v. Mọi nơi có thể xảy ra một số ngẫu nhiên của một số sự kiện (phân rã phóng xạ, cuộc gọi điện thoại, hỏng hóc thiết bị, tai nạn, v.v.) trong một thời gian nhất định.

Cân nhắc nhiều nhất tình huống điển hình, trong đó xảy ra phân phối Poisson. Để một số sự kiện (mua hàng tại cửa hàng) xảy ra vào các thời điểm ngẫu nhiên. Hãy xác định số lần xuất hiện của các sự kiện đó trong khoảng thời gian từ 0 đến T.

Số ngẫu nhiên các sự kiện xảy ra theo thời gian từ 0 đến T được phân phối theo luật Poisson với tham số l = aT, trong đó a> 0 là tham số nhiệm vụ phản ánh tần suất trung bình của các sự kiện. Xác suất của k mua hàng trong một khoảng thời gian lớn (ví dụ: một ngày) sẽ là

Sự kết luận

Kết luận, tôi muốn lưu ý rằng phân phối Poisson là một phân phối khá phổ biến và quan trọng có các ứng dụng cả trong lý thuyết xác suất và các ứng dụng của nó, và thống kê toán học.

Nhiều vấn đề thực tế cuối cùng bắt nguồn từ việc phân phối Poisson. Của anh ấy tài sản đặc biệt, bao gồm sự bình đẳng của kỳ vọng toán học và phương sai, thường được sử dụng trong thực tế để quyết định xem một biến ngẫu nhiên có được phân phối theo luật Poisson hay không.

Một điều quan trọng nữa là định luật Poisson cho phép tìm xác suất của một sự kiện trong các thử nghiệm độc lập lặp đi lặp lại tại Với số lượng lớn số lần lặp lại kinh nghiệm và xác suất đơn lẻ nhỏ.

Tuy nhiên, phân bố Bernoulli được sử dụng trong thực tế tính toán kinh tế, và đặc biệt là trong phân tích tính bền vững, cực kỳ hiếm. Điều này là do cả những khó khăn về tính toán và thực tế là phân phối Bernoulli dành cho số lượng rời rạc, và với thực tế là các điều kiện của sơ đồ cổ điển (tính độc lập, số lần thử đếm được, tính bất biến của các điều kiện ảnh hưởng đến khả năng xảy ra sự kiện) không phải lúc nào cũng được đáp ứng trong các tình huống thực tế. Nghiên cứu thêm trong lĩnh vực phân tích lược đồ Bernoulli, được thực hiện trong các thế kỷ XVIII-XIX. Laplace, Moivre, Poisson và những người khác nhằm mục đích tạo ra khả năng sử dụng sơ đồ Bernoulli trong trường hợp một số lượng lớn các thử nghiệm có xu hướng vô hạn.

Văn chương

1. Wentzel E.S. Lý thuyết xác suất. - M, " trường cao học" 1998

2. Gmurman V.E. Hướng dẫn giải các bài toán về lý thuyết xác suất và thống kê toán học. - M, "Trường cao cấp" 1998

3. Tuyển tập các bài toán về toán học cho các cơ sở giáo dục đại học. Ed. Efimova A.V. - M, Khoa học 1990

Trong nhiều ứng dụng thực tế quan trọng, phân phối Poisson đóng một vai trò quan trọng. Nhiều đại lượng số rời rạc là sự triển khai của quá trình Poisson, có các tính chất sau:

• Chúng tôi quan tâm đến số lần một sự kiện xảy ra trong một loạt các kết quả có thể có của một thử nghiệm ngẫu nhiên. Phạm vi của các kết quả có thể xảy ra có thể là một khoảng thời gian, một phân đoạn, một bề mặt, v.v.
• Xác suất của một sự kiện nhất định là như nhau đối với tất cả các lĩnh vực của kết quả có thể xảy ra.
• Số lượng các sự kiện xảy ra trong một lĩnh vực của các kết quả có thể xảy ra không phụ thuộc vào số lượng các sự kiện xảy ra trong các lĩnh vực khác.
• Xác suất mà một sự kiện nhất định xảy ra nhiều lần trong cùng một phạm vi các kết quả có thể xảy ra có xu hướng bằng không khi phạm vi các kết quả có thể xảy ra giảm xuống.

Để hiểu sâu hơn về ý nghĩa của quy trình Poisson, giả sử chúng ta kiểm tra số lượng khách hàng đến chi nhánh ngân hàng ở khu trung tâm thương mại trong bữa trưa, tức là từ 12 giờ đến 13 giờ. Giả sử bạn muốn xác định số lượng khách hàng đến mỗi phút. Tình huống này có các tính năng được liệt kê ở trên không? Đầu tiên, sự kiện chúng tôi quan tâm là sự xuất hiện của khách hàng và phạm vi kết quả có thể xảy ra là khoảng thời gian một phút. Có bao nhiêu khách hàng sẽ đến ngân hàng trong một phút - không có, một, hai hoặc nhiều hơn? Thứ hai, có thể giả định rằng xác suất khách hàng đến trong vòng một phút là như nhau đối với tất cả các khoảng thời gian một phút. Thứ ba, sự xuất hiện của một khách hàng trong bất kỳ khoảng thời gian một phút nào là độc lập với sự xuất hiện của bất kỳ khách hàng nào khác trong bất kỳ khoảng thời gian một phút nào khác. Và, cuối cùng, xác suất để nhiều hơn một khách hàng đến ngân hàng có xu hướng bằng không nếu khoảng thời gian có xu hướng bằng không, chẳng hạn, nhỏ hơn 0,1 s. Vì vậy, số lượng khách hàng đến ngân hàng trong bữa trưa trong vòng một phút được mô tả bằng phân phối Poisson.

Phân phối Poisson có một tham số, được biểu thị bằng ký hiệu λ (chữ cái Hy Lạp "lambda") - số thử nghiệm thành công trung bình trong một phạm vi kết quả có thể có. Phương sai của phân phối Poisson cũng là λ và độ lệch chuẩn của nó là. Số lần thử nghiệm thành công X Biến ngẫu nhiên Poisson thay đổi từ 0 đến vô cùng. Phân phối Poisson được mô tả bằng công thức:

ở đâu P (X)- xác suất X thử nghiệm thành công, λ là số lần thành công dự kiến, e- căn cứ lôgarit tự nhiên, bằng 2,71828, X- số lần thành công trên một đơn vị thời gian.

Hãy quay lại ví dụ của chúng ta. Giả sử trong giờ nghỉ trưa, trung bình mỗi phút có ba khách hàng đến ngân hàng. Xác suất để hai khách hàng đến ngân hàng vào một phút nhất định là bao nhiêu? Xác suất để có nhiều hơn hai khách hàng đến ngân hàng là bao nhiêu?

Chúng ta hãy áp dụng công thức (1) với tham số λ = 3. Khi đó xác suất để hai khách hàng đến ngân hàng trong một phút nhất định bằng

Xác suất để có nhiều hơn hai khách hàng đến ngân hàng là P (X> 2) = P (X = 3) + P (X = 4) + ... + P (X = ∞). Vì tổng của tất cả các xác suất phải bằng 1, các phần tử của chuỗi ở phía bên phải của công thức biểu thị xác suất của phép cộng với biến cố X ≤ 2. Nói cách khác, tổng của chuỗi này là 1 - P (X ≤ 2). Như vậy, P (X> 2) = 1 - P (X≤2) = 1 - [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)]. Bây giờ, sử dụng công thức (1), chúng ta thu được:

Như vậy, xác suất để không quá hai khách hàng đến ngân hàng trong vòng một phút là 0,423 (hay 42,3%), và xác suất có hơn hai khách hàng đến ngân hàng trong vòng một phút là 0,577 (hay 57,7%).

Các phép tính như vậy có vẻ tẻ nhạt, đặc biệt nếu tham số λ đủ lớn. Để tránh các phép tính phức tạp, nhiều xác suất Poisson có thể được tìm thấy trong các bảng đặc biệt (Hình 1). Ví dụ: xác suất để có hai khách hàng đến ngân hàng trong một phút nhất định, nếu trung bình ba khách hàng đến ngân hàng mỗi phút, nằm ở giao điểm của đường X= 2 và cột λ = 3. Như vậy, nó bằng 0,2240 hoặc 22,4%.

Cơm. 1. Xác suất Poisson cho λ = 3

Bây giờ không ai có thể sử dụng bảng nếu Excel có sẵn hàm = POISSON.DIST () (Hình 2). Hàm này có ba tham số: số lần thử thành công X, số lần thử nghiệm thành công trung bình dự kiến ​​λ, tham số Tích phân, nhận hai giá trị: FALSE - trong trường hợp này, xác suất của số lần thử thành công được tính X(chỉ X), TRUE - trong trường hợp này, xác suất của số lần thử thành công từ 0 đến X.

Cơm. 2. Tính toán trong Xác suất Excel Phân phối Poisson cho λ = 3

Tính gần đúng của phân phối nhị thức bằng cách sử dụng phân phối Poisson

Nếu số N lớn, và số lượng R- nhỏ, phân phối nhị thức có thể được tính gần đúng bằng cách sử dụng phân phối Poisson. Số càng lớn N và số lượng ít hơn R, độ chính xác gần đúng càng cao. Mô hình Poisson sau đây được sử dụng để tính gần đúng phân phối nhị thức.

ở đâu P (X)- xác suất X thành công với các thông số đã cho N và R, N- cỡ mẫu, R- xác suất thành công thực sự, e là cơ số của lôgarit tự nhiên, X- số lần thành công trong mẫu (X = 0, 1, 2,…, N).

Về mặt lý thuyết, một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson nhận các giá trị từ 0 đến ∞. Tuy nhiên, trong những tình huống mà phân phối Poisson được sử dụng để xấp xỉ phân phối nhị thức, thì biến ngẫu nhiên Poisson là số lần thành công trong số N quan sát - không được vượt quá số N. Từ công thức (2) nó theo sau đó với sự gia tăng số lượng N và giảm số lượng R xác suất tìm thấy một số lượng lớn thành công giảm và có xu hướng bằng không.

Như đã đề cập ở trên, kỳ vọng toán học µ và phương sai σ 2 của phân phối Poisson bằng λ. Do đó, khi tính gần đúng phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson, công thức (3) nên được sử dụng để ước lượng gần đúng kỳ vọng toán học.

(3) µ = Е (Х) = λ =np

Công thức (4) được sử dụng để tính gần đúng độ lệch chuẩn.

Xin lưu ý rằng độ lệch chuẩn được tính theo công thức (4) có xu hướng độ lệch chuẩn trong mô hình nhị thức, khi xác suất thành công P có xu hướng bằng không, và do đó, xác suất thất bại 1 - p có xu hướng thống nhất.

Giả sử rằng 8% số lốp xe được sản xuất tại một nhà máy nào đó bị lỗi. Để minh họa việc sử dụng phân phối Poisson để tính gần đúng phân phối nhị thức, chúng tôi tính xác suất tìm thấy một lốp bị lỗi trong mẫu 20 lốp. Chúng tôi áp dụng công thức (2), chúng tôi thu được

Nếu chúng ta tính toán phân phối nhị thức đúng, thay vì tính gần đúng của nó, chúng ta sẽ nhận được kết quả sau:

Tuy nhiên, những tính toán này khá tẻ nhạt. Đồng thời, nếu bạn sử dụng Excel để tính toán xác suất, thì việc sử dụng xấp xỉ phân phối Poisson trở nên thừa. Trên hình. 3 cho thấy rằng độ phức tạp của các phép tính trong Excel là như nhau. Tuy nhiên, phần này, theo ý kiến ​​của tôi, rất hữu ích để hiểu rằng trong những điều kiện nhất định, phân phối nhị thức và phân phối Poisson cho kết quả gần giống nhau.

Cơm. 3. So sánh mức độ phức tạp của các phép tính trong Excel: (a) Phân phối Poisson; (b) phân phối nhị thức

Vì vậy, trong ghi chú này và hai ghi chú trước đó, ba ghi chú rời rạc phân phối số:, và Poisson. Để hiểu rõ hơn về cách các phân bố này liên quan với nhau, chúng tôi trình bày một cây câu hỏi nhỏ (Hình 4).

Cơm. 4. Phân loại phân phối rời rạc xác suất

Tài liệu từ cuốn sách Levin và cộng sự. Thống kê cho các nhà quản lý được sử dụng. - M.: Williams, 2004. - tr. 320–328

Phân phối Poisson.

Hãy xem xét tình huống điển hình nhất mà phân phối Poisson xảy ra. Hãy để sự kiện NHƯNG xuất hiện một số lần nhất định trong một vùng không gian cố định (khoảng, diện tích, thể tích) hoặc một khoảng thời gian với cường độ không đổi. Để xác định, hãy xem xét sự xuất hiện tuần tự của các sự kiện trong thời gian, được gọi là dòng sự kiện. Về mặt đồ họa, dòng sự kiện có thể được minh họa bằng một tập hợp các điểm nằm trên trục thời gian.

Đây có thể là luồng cuộc gọi trong lĩnh vực dịch vụ (sửa chữa thiết bị gia dụng, gọi xe cấp cứu, v.v.), luồng cuộc gọi đến PBX, lỗi một số bộ phận của hệ thống, phân rã phóng xạ, các mảnh vải hoặc tấm kim loại và số lượng khuyết tật trên mỗi loại, v.v. Phân phối Poisson hóa ra hữu ích nhất trong những công việc mà nó được yêu cầu chỉ xác định số lượng kết quả tích cực (“thành công”).

Hãy tưởng tượng một cuộn nho khô được cắt thành nhiều miếng nhỏ kích thước bằng nhau. Do sự phân bố ngẫu nhiên của nho khô, không thể mong đợi rằng tất cả các lát đều chứa chúng. Cùng một số. Khi biết số nho khô trung bình có trong các lát này, thì phân phối Poisson cho xác suất mà bất kỳ lát nào đã cho có chứa X=k(k= 0,1,2, ...,) số nho khô.

Nói cách khác, phân phối Poisson xác định số lượng của một chuỗi dài các mảnh sẽ chứa 0, hoặc 1, hoặc 2, hoặc hơn thế nữa. số điểm nổi bật.

Hãy đưa ra các giả định sau.

1. Xác suất xảy ra một số sự kiện nhất định trong một khoảng thời gian nhất định chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng thời gian này, chứ không phụ thuộc vào vị trí của nó trên trục thời gian. Đây là tài sản của sự cố định.

2. Thực tế là không thể xảy ra nhiều hơn một sự kiện trong một khoảng thời gian đủ ngắn; xác suất có điều kiện sự xuất hiện trong cùng một khoảng thời gian của một sự kiện khác có xu hướng bằng không ở ® 0. Đây là tính chất của sự bình thường.

3. Xác suất xuất hiện số đã cho sự kiện trong một khoảng thời gian cố định không phụ thuộc vào số lượng sự kiện xuất hiện trong các khoảng thời gian khác. Đây là tài sản của không có hậu quả.

Luồng sự kiện thỏa mãn các câu đã liệt kê được gọi là điều đơn giản nhất.

Hãy xem xét một khoảng thời gian khá nhỏ. Dựa trên thuộc tính 2, sự kiện có thể xuất hiện trong khoảng thời gian này một lần hoặc hoàn toàn không xuất hiện. Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất xuất hiện của một sự kiện là R và không xuất hiện - thông qua q = 1-P. Xác suất R là hằng số (thuộc tính 3) và chỉ phụ thuộc vào độ lớn (thuộc tính 1). Kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của sự kiện trong khoảng thời gian sẽ bằng 0 × q+ 1 × P = P. Khi đó, số lần xuất hiện trung bình của các sự kiện trên một đơn vị thời gian được gọi là cường độ của luồng và được ký hiệu là một, những thứ kia. một = .

Xem xét một khoảng thời gian hữu hạn t và chia nó thành N bộ phận =. Sự xuất hiện của các sự kiện trong mỗi khoảng thời gian này là độc lập (tính chất 2). Xác định xác suất để trong một khoảng thời gian t với tốc độ dòng chảy không đổi một sự kiện sẽ xuất hiện chính xác X = k một khi nó không xuất hiện n – k. Vì một sự kiện có thể trong mỗi N khoảng trống xuất hiện không quá 1 lần, sau đó cho sự xuất hiện của nó k thời gian trên một phân đoạn thời lượng t nó sẽ xuất hiện trong bất kỳ k khoảng thời gian từ tổng số N. Có tổng số các kết hợp như vậy và xác suất của mỗi kết hợp là bằng. Do đó, theo định lý cộng xác suất, chúng ta thu được xác suất mong muốn công thức đã biết Bernoulli

Đẳng thức này được viết dưới dạng gần đúng, vì thuộc tính 2 đóng vai trò là tiền đề ban đầu trong tính dẫn xuất của nó, nên nó càng chính xác thì càng ít. Để có được một đẳng thức chính xác, chúng tôi chuyển đến giới hạn là ® 0 hoặc, bằng nhau, N®. Nhận sau khi thay thế

P = một= và q = 1 – .

Hãy giới thiệu tham số mới = tại, có nghĩa là số lần xuất hiện trung bình của sự kiện trong khoảng thời gian t. Sau khi các phép biến đổi đơn giản và đi đến giới hạn trong các thừa số, chúng ta thu được.

= 1, = ,

Cuối cùng chúng tôi nhận được

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2,718 ... là cơ số của lôgarit tự nhiên.

Sự định nghĩa. Giá trị ngẫu nhiên X, chỉ chấp nhận số nguyên, giá trị tích cực 0, 1, 2, ... có phân phối Poisson với tham số if

vì k = 0, 1, 2, ...

Phân phối Poisson đã được đề xuất Nhà toán học Pháp S.D. Poisson (1781-1840). Nó được sử dụng để giải quyết các vấn đề về tính toán xác suất tương đối hiếm, ngẫu nhiên lẫn nhau sự kiện độc lập trên một đơn vị thời gian, độ dài, diện tích và khối lượng.

Đối với trường hợp khi a) lớn và b) k=, công thức Stirling hợp lệ:

Để tính toán các giá trị tiếp theo, hãy sử dụng công thức lặp lại

P(k + 1) = P(k).

Ví dụ 1. Xác suất để trong số 1000 người vào một ngày nhất định được sinh ra: a) không có, b) một, c) hai, d) ba người?

Quyết định. Như P= 1/365, sau đó q\ u003d 1 - 1/365 \ u003d 364/365 "1.

sau đó

một) ,

b) ,

trong) ,

G) .

Do đó, nếu có 1000 mẫu người thì số người trung bình sinh vào một ngày nhất định tương ứng là 65 người; 178; 244; 223.

Ví dụ 2. Xác định giá trị mà với xác suất R sự kiện đã xảy ra ít nhất một lần.

Quyết định. Biến cố NHƯNG= (xuất hiện ít nhất một lần) và = (không xuất hiện dù chỉ một lần). Vì thế .

Từ đây và .

Ví dụ, cho R= 0,5, cho R= 0,95 .

Ví dụ 3. Trên khung dệt do một thợ dệt vận hành, 90 sợi chỉ bị đứt trong vòng một giờ. Tìm xác suất để trong 4 phút xảy ra ít nhất một lần đứt chỉ.

Quyết định. Theo điều kiện t = 4 phút và số lần gián đoạn trung bình mỗi phút, từ đâu . Xác suất yêu cầu là.

Tính chất. Kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với một tham số là:

M(X) = D(X) = .

Các biểu thức này thu được bằng cách tính toán trực tiếp:

Đây là sự thay thế N = k- 1 và sử dụng thực tế rằng.

Bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương tự như các phép biến đổi được sử dụng trong phép biến đổi M(X), chúng tôi nhận được

Phân phối Poisson được sử dụng để tính gần đúng phân phối nhị thức nói chung N

$ X $ có phân phối Poisson với tham số $ \ lambda $ ($ \ lambda $$> $ 0) nếu đại lượng này nhận các giá trị nguyên không âm $ k = 0, 1, 2, \ chấm $ với xác suất $ pk $ = $ \ frac (\ lambda ^ (:)) (: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} Simeon Denis Poisson vào năm 1837)

Phân phối Poisson còn được gọi là luật của các sự kiện hiếm, bởi vì các xác suất pk cho phép phân phối gần đúng số lần xuất hiện của một số sự kiện hiếm có với một số lượng lớn các thử nghiệm độc lập. Trong trường hợp này, giả sử $ \ lambda = n \ cdot р $, trong đó $ n $ là số lần thử nghiệm Bernoulli, $ р $ là xác suất sự kiện xảy ra trong một lần thử nghiệm.

Tính hợp pháp của việc sử dụng định luật Poisson thay vì phân phối nhị thức cho một số lượng lớn các thử nghiệm được đưa ra bởi định lý sau.

Định lý 1

Định lý Poisson.

Nếu trong lược đồ Bernoulli n $ \ rightarrow $$ \ infty $, p $ \ rightarrow $ 0, thì $ n \ cdot p $$ \ rightarrow $$ \ lambda $ ( số cuối cùng), sau đó

$! _ (n) ^ (k) p ^ (k) (1-p) ^ (n-k) \ to \ frac (\ lambda ^ (k)) (k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

Không cần bằng chứng.

Lưu ý 1

Công thức Poisson trở nên chính xác hơn cho $ p $ nhỏ và số lớn $ n $ và $ n \ cdot p $

Gia trị được ki vọng biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số $ \ lambda $:

$ M (X) $ = $ \ sum \ limit _ (k = 0) ^ (\ infty) k \ cdot \ frac (\ lambda ^ (k)) (k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

Sự phân tán biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số $ \ lambda $:

$ D (X) $ = $ \ lambda $.

Ứng dụng của công thức Poisson trong giải quyết vấn đề

ví dụ 1

Xác suất để một sản phẩm bị lỗi trong quá trình sản xuất hàng loạt là $ 0,002 $. Tìm xác suất để trong một lô hàng trị giá $ 1500 có không quá 3 cái bị lỗi. Tìm số phế phẩm trung bình.

• Gọi $ A $ là số mặt hàng bị lỗi trong một lô sản phẩm có giá trị $ 1500 $. Khi đó xác suất mong muốn là xác suất $ A $ $ \ leq $ 3 $. Trong bài toán này, chúng ta có một lược đồ Bernoulli với $ n = 1500 $ và $ p = 0,002 $. Để áp dụng định lý Poisson, chúng ta đặt $ \ lambda = 1500 \ cdot 0,002 = 3 $. Sau đó, xác suất mong muốn

\

• Số mặt hàng bị lỗi trung bình $ M (A) $ = $ \ lambda $ = 3.

Ví dụ 2

Tổng đài của tổ chức dịch vụ $ 100 đô la của người đăng ký. Xác suất mà một thuê bao sẽ gọi trong vòng $ 1 $ phút là $ 0,01 $. Tìm xác suất để không có ai gọi trong vòng $ 1 $ phút.

Gọi $ A $ là số cuộc gọi đến bộ chuyển mạch trong thời gian $ 1 $ phút. Khi đó xác suất mong muốn là xác suất $ A = 0 $. Trong bài toán này, có thể áp dụng lược đồ Bernoulli với $ n = 100 $, $ p = 0,01 $. Để sử dụng định lý Poisson, chúng tôi đặt

$ \ lambda = 100 \ cdot 0,01 = 1 $.

Sau đó, xác suất mong muốn

$ P = e ^ -1 $ $ \ khoảng 0,37 $.

Ví dụ 3

Nhà máy đã gửi $ 500 $ sản phẩm đến cơ sở. Xác suất hư hỏng của sản phẩm trong quá trình vận chuyển là $ 0,002 $. Tìm xác suất để con đường bị hỏng

1. chính xác là ba sản phẩm;
2. ít hơn ba mục.

Xem xét nhận xét của công thức Poisson, vì xác suất $ p = 0,002 $ của sản phẩm bị hư hỏng là nhỏ, và số lượng sản phẩm $ n = 500 $ là lớn và $ a = n \ cdot p = 1

Để giải quyết vấn đề thứ hai, công thức có thể áp dụng, trong đó $ k1 = 0 $ và $ k2 = 2 $. Chúng ta có:

\

Ví dụ 4

Cuốn sách giáo khoa đã được xuất bản với số lượng phát hành là 100.000 đô la Mỹ. Xác suất để một cuốn sách giáo khoa bị ràng buộc không chính xác là $ 0,0001 $. Xác suất để vòng lưu hành có chứa $ 5 $ sách bị lỗi là bao nhiêu?

Theo điều kiện của bài toán $ n = 100000 $, $ p = 0,0001 $.

Các sự kiện "trong số $ n $ sách, chính xác $ m $ sách bị ràng buộc không chính xác", trong đó $ m = 0,1,2, \ dot, 100000 $, là độc lập. Vì số $ n $ lớn và xác suất $ p $ nhỏ, nên xác suất $ P_n (m) $ có thể được tính bằng công thức Poisson: $ P_n $ (m) $ \ xấp xỉ \ frac ((\ lambda) ^ m \ cdot e ^ (- \ lambda)) (m$ , где $\lambda = np$.!}

Trong vấn đề đang xem xét

$ \ lambda = 100000 \ cdot 0,0001 = 10 $.

Do đó, xác suất mong muốn $ P_ (100000) $ (5) được xác định bằng đẳng thức:

$ P_ (100000) $ (5) $ \ khoảng \ frac (e ^ (- 10) \ cdot (10) ^ 5) (5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

Trả lời: $ 0,0375.

Ví dụ 5

Nhà máy đã gửi $ 5,000 các sản phẩm chất lượng tốt đến cơ sở. Xác suất để sản phẩm bị hư hỏng trên đường vận chuyển là $ 0,0002 $. Tìm xác suất để ba mặt hàng không sử dụng được sẽ đến cơ sở.

Theo điều kiện $ n = 5000 $; $ p = $ 0,0002; $ k = 3 $. Tìm $ \ lambda $:

$ \ lambda = n \ cdot p = 5000 \ cdot 0,0002 = 1 $.

Xác suất mong muốn theo công thức Poisson bằng:

Ví dụ 6

Xác suất để một thuê bao gọi đến tổng đài điện thoại trong vòng một giờ là 0,01. Trong vòng một giờ, 200 người đăng ký đã gọi đến. Tìm xác suất để trong một giờ có 3 thuê bao gọi đến.

Xét điều kiện của bài toán, chúng ta thấy rằng:

Hãy tìm $ \ lambda $ cho công thức Poisson:

\ [\ lambda = np = 200 \ cdot 0,01 = 2. \]

Thay thế các giá trị trong công thức Poisson và nhận giá trị:

Ví dụ 7

Khoa có 500 sinh viên. Tính xác suất để ngày 1 tháng 9 là sinh nhật của 2 học sinh đồng thời là bao nhiêu?

Ta có $ n = 500 $; $ p = 1/365 \ khoảng 0,0027 $, $ q = 0,9973 $. Vì số lượng thử nghiệm lớn và xác suất thực hiện rất nhỏ và $ npq = 1.35 \