Công Thức Tổng Poisson (Poisson Summation Formula)

Trang chủ » Công Thức Poisson » Công Thức Tổng Poisson (Poisson Summation Formula)

Có thể bạn quan tâm

Công thức tổng Poisson (trong phần bài tập) được phát biểu dưới dạng

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}= 2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n2\pi),

trong đó hai chuỗi ở hai vế của đẳng thức hội tụ trong \mathcal D'(\mathbb R).

Để chứng minh, ta lấy \varphi\in \mathcal D(\mathbb R) xét tác động của hai chuỗi đó lên \varphi có

\langle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}, \varphi\rangle= (2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} F\varphi(n),

F\varphi(n)=(2\pi)^{-1/2}\int\limits_{\mathbb R}e^{-inx}\varphi(x)dx,

\langle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n2\pi), \varphi\rangle= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi).

Dạng thường phát biểu của Công thức Poisson

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi)=(2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} F\varphi(n).

Ta sẽ chứng minh Công thức Poisson này. Xét chuỗi hàm

\psi(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(x+n2\pi).

Do giá của \varphi là tập compact nên tổng trên là tổng hữu hạn. Do đó chuỗi hàm trên hội tụ đều đến hàm \psi liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi. Khi đó, khai triển Fourier của \psi(x)

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}, c_n=(2\pi)^{-1}\int\limits_0^{2\pi}e^{-iny}\psi(y)dy

hội tụ điểm đến \psi(x), hay

\psi(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}(2\pi)^{-1}\int\limits_{0}^{2\pi}e^{-iny}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi(y+k2\pi)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int_0^{2\pi}e^{-iny}\varphi(y+k2\pi)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{k2\pi}^{(k+1)2\pi}e^{-iny}\varphi(y)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iny}\varphi(y)dy

do đó

\psi(0)=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{\mathbb R}e^{-iny}\varphi(y)dy

hay

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi)= (2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}F\varphi(n).

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Công Thức Poisson