Công Thức Tổng Poisson (Poisson Summation Formula)

Trang chủ » Công Thức Poisson » Công Thức Tổng Poisson (Poisson Summation Formula)

Có thể bạn quan tâm

Bỏ qua nội dung Trình đơn cơ sở
  • Trang chủ
  • Giới thiệu
  • Contact
  • Về chúng tôi
Tìm Tìm kiếm cho:

Công thức tổng Poisson (trong phần bài tập) được phát biểu dưới dạng

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}= 2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n2\pi),

trong đó hai chuỗi ở hai vế của đẳng thức hội tụ trong \mathcal D'(\mathbb R).

Để chứng minh, ta lấy \varphi\in \mathcal D(\mathbb R) xét tác động của hai chuỗi đó lên \varphi có

\langle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}, \varphi\rangle= (2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} F\varphi(n),

F\varphi(n)=(2\pi)^{-1/2}\int\limits_{\mathbb R}e^{-inx}\varphi(x)dx,

\langle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n2\pi), \varphi\rangle= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi).

Dạng thường phát biểu của Công thức Poisson

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi)=(2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} F\varphi(n).

Ta sẽ chứng minh Công thức Poisson này. Xét chuỗi hàm

\psi(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(x+n2\pi).

Do giá của \varphi là tập compact nên tổng trên là tổng hữu hạn. Do đó chuỗi hàm trên hội tụ đều đến hàm \psi liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi. Khi đó, khai triển Fourier của \psi(x)

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}, c_n=(2\pi)^{-1}\int\limits_0^{2\pi}e^{-iny}\psi(y)dy

hội tụ điểm đến \psi(x), hay

\psi(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}(2\pi)^{-1}\int\limits_{0}^{2\pi}e^{-iny}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi(y+k2\pi)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int_0^{2\pi}e^{-iny}\varphi(y+k2\pi)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{k2\pi}^{(k+1)2\pi}e^{-iny}\varphi(y)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iny}\varphi(y)dy

do đó

\psi(0)=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{\mathbb R}e^{-iny}\varphi(y)dy

hay

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi)= (2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}F\varphi(n).

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Previous Article My PhD thesis Next Article Không gian Schwartz- Đặc trưng khác

3 bình luận về “Công thức tổng Poisson (Poisson summation formula)”

  1. datuan5pdes Tháng Mười Một 4, 2007 / 7:25 chiều

    Việc giả thiết hàm \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R) là quá chặt! Ta có thể giảm bớt giả thiết đó!? Công thức Poisson cho trường hợp nhiều chiều sẽ thế nào?

    Trả lời
    • datuan5pdes Tháng Bảy 25, 2012 / 5:33 chiều

      Về giả thiết có thể giảm, các bạn xem trong bài

      “SAMPLING MULTIPLIERS AND THE POISSON SUMMATION FORMULA” The J. of FOURIER ANAL. and APPL. vol. 3, no. 5 (1997), pp. 505-523

      của John J. Benedetto, Georg Zimmermann.

      Trả lời
  2. datuan5pdes Tháng Tư 2, 2008 / 11:11 sáng

    Từ Công thức Poisson người ta sẽ chứng minh được rằng nếu f\in \mathcal D' mà giá của nó và biến đổi Fourier của nó là các tập compact thì nó đồng nhất bằng 0. Đây là kết quả của M. Benedicks trong bài báo “On Fourier transforms of functions support on sets of finite Lebesgue measure,” J. Math. Anal. Appl. 106 (1985), 180-183.

    Trả lời

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.

Chuyên mục

Chuyên mục Chọn chuyên mục 1 (5) Bài giảng (33) Bài tập (24) Khóa Luận – Luận văn (9) Tham khảo (123) Thông báo (10) Đề thi (22) Tìm kiếm cho:

Cách gõ TeX

Để đánh công thức Toán học trong Comments và Entry, bạn có thể làm như sau: 1. Gõ $ 2. Gõ latex 3. Gõ dấu cách 4. Gõ công thức của mình. 5. Gõ nốt $.

Các bạn có thể học cách gõ công thức ở http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics

Thư viện

Thư viện Thời gian Tháng Mười Một 2024 (1) Tháng Chín 2024 (1) Tháng Tư 2024 (1) Tháng Ba 2024 (1) Tháng Hai 2024 (1) Tháng Một 2024 (1) Tháng Chín 2023 (1) Tháng Bảy 2023 (1) Tháng Sáu 2023 (1) Tháng Tư 2023 (1) Tháng Ba 2023 (1) Tháng Hai 2023 (1) Tháng Mười Hai 2022 (1) Tháng Mười 2022 (1) Tháng Chín 2022 (1) Tháng Tám 2022 (1) Tháng Ba 2022 (1) Tháng Một 2022 (1) Tháng Chín 2021 (1) Tháng Bảy 2021 (1) Tháng Sáu 2021 (1) Tháng Năm 2021 (1) Tháng Chín 2020 (2) Tháng Tám 2020 (2) Tháng Bảy 2020 (2) Tháng Năm 2020 (1) Tháng Tư 2020 (1) Tháng Ba 2020 (1) Tháng Hai 2020 (1) Tháng Một 2020 (1) Tháng Mười Hai 2019 (1) Tháng Mười Một 2019 (1) Tháng Mười 2019 (1) Tháng Chín 2019 (1) Tháng Tư 2019 (1) Tháng Ba 2019 (1) Tháng Một 2019 (1) Tháng Mười Hai 2018 (1) Tháng Mười Một 2018 (1) Tháng Mười 2018 (1) Tháng Chín 2018 (2) Tháng Tám 2018 (1) Tháng Bảy 2018 (1) Tháng Sáu 2018 (1) Tháng Năm 2018 (2) Tháng Ba 2018 (1) Tháng Chín 2017 (1) Tháng Bảy 2017 (1) Tháng Năm 2017 (1) Tháng Tư 2017 (1) Tháng Một 2017 (1) Tháng Mười Hai 2016 (1) Tháng Mười Một 2016 (1) Tháng Mười 2016 (1) Tháng Chín 2016 (1) Tháng Tám 2016 (1) Tháng Bảy 2016 (1) Tháng Sáu 2016 (1) Tháng Năm 2016 (1) Tháng Tư 2016 (1) Tháng Ba 2016 (1) Tháng Hai 2016 (1) Tháng Một 2016 (1) Tháng Mười Hai 2015 (1) Tháng Mười Một 2015 (2) Tháng Mười 2015 (1) Tháng Chín 2015 (1) Tháng Tám 2015 (4) Tháng Bảy 2015 (2) Tháng Sáu 2015 (2) Tháng Năm 2015 (1) Tháng Tư 2015 (1) Tháng Ba 2015 (1) Tháng Hai 2015 (2) Tháng Một 2015 (1) Tháng Mười Hai 2014 (2) Tháng Mười Một 2014 (2) Tháng Mười 2014 (2) Tháng Chín 2014 (2) Tháng Tám 2014 (2) Tháng Bảy 2014 (2) Tháng Sáu 2014 (1) Tháng Năm 2014 (1) Tháng Tư 2014 (1) Tháng Ba 2014 (1) Tháng Hai 2014 (3) Tháng Một 2014 (2) Tháng Mười Hai 2013 (3) Tháng Mười Một 2013 (4) Tháng Mười 2013 (7) Tháng Chín 2013 (2) Tháng Tám 2013 (1) Tháng Bảy 2013 (1) Tháng Sáu 2013 (1) Tháng Năm 2013 (1) Tháng Tư 2013 (1) Tháng Ba 2013 (1) Tháng Hai 2013 (1) Tháng Một 2013 (1) Tháng Mười Hai 2012 (1) Tháng Mười Một 2012 (1) Tháng Mười 2012 (1) Tháng Chín 2012 (1) Tháng Tám 2012 (1) Tháng Bảy 2012 (1) Tháng Sáu 2012 (2) Tháng Năm 2012 (1) Tháng Tư 2012 (1) Tháng Ba 2012 (1) Tháng Hai 2012 (2) Tháng Một 2012 (3) Tháng Mười Hai 2011 (2) Tháng Mười Một 2011 (3) Tháng Mười 2011 (2) Tháng Chín 2011 (1) Tháng Tám 2011 (1) Tháng Bảy 2011 (1) Tháng Sáu 2011 (1) Tháng Năm 2011 (1) Tháng Tư 2011 (1) Tháng Ba 2011 (1) Tháng Hai 2011 (1) Tháng Một 2011 (1) Tháng Mười Hai 2010 (1) Tháng Mười Một 2010 (1) Tháng Mười 2010 (2) Tháng Chín 2010 (1) Tháng Sáu 2010 (1) Tháng Năm 2010 (2) Tháng Ba 2010 (1) Tháng Hai 2010 (2) Tháng Một 2010 (1) Tháng Mười Hai 2009 (3) Tháng Mười Một 2009 (3) Tháng Mười 2009 (2) Tháng Chín 2009 (2) Tháng Tám 2009 (1) Tháng Tư 2009 (1) Tháng Hai 2009 (1) Tháng Một 2009 (2) Tháng Mười Một 2008 (3) Tháng Mười 2008 (3) Tháng Chín 2008 (3) Tháng Tám 2008 (1) Tháng Năm 2008 (1) Tháng Hai 2008 (2) Tháng Mười Hai 2007 (3) Tháng Mười 2007 (3) Tháng Chín 2007 (4) Tháng Sáu 2007 (1) Tháng Năm 2007 (12)

Bài viết mới

  • Sách Giáo trình Giải tích điều hòa
  • Trao đổi môn GTĐH lớp K66TN
  • Không gian Sobolev – đại số Banach
  • Bất đẳng thức Christ-Kiselev maximal
  • Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớp NCS 2024

Bình luận mới nhất

datuan5pdes trong Trao đổi môn GTĐH lớp K66…
datuan5pdes trong Trao đổi môn GTĐH lớp K66…
datuan5pdes trong Trao đổi môn GTĐH lớp K66…
datuan5pdes trong Trao đổi môn GTĐH lớp K66…
datuan5pdes trong Trao đổi môn GTĐH lớp K66…
Tháng Mười 2007
H B T N S B C
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031
« Th9 Th12 »

1356

  • Bài tập Giải tích

Trang web

  • AMS
  • arxiv
  • Barry Simon
  • Bộ môn Giải tích
  • goettingen
  • Haim Brezis
  • indiana
  • Math.Research Letter
  • Numdam
  • proc.natl.acad.sci.
  • Project Euclide
  • Sciencedirect
  • Spanish Digital Mathematics Library
  • Springer- Verlag
  • Terence Tao
  • Thư viện điện tử

Vịnh Hạ Long

Hoàng hôn Vịnh Hạ Long

Hạ Long bừng sáng

Hạ Long uốn khúc

Nhũ đá Hạ Long

Hư ảo Hạ Long

Số lượt người thăm quan

  • 192 888 lượt
  • Bình luận
  • Đăng lại
  • Theo dõi Đã theo dõi
    • Lý thuyết Hàm Suy Rộng
      • Đã có 48 người theo dõi Theo dõi ngay
    • Đã có tài khoản WordPress.com? Đăng nhập.
    • Lý thuyết Hàm Suy Rộng
    • Tùy biến
    • Theo dõi Đã theo dõi
    • Đăng ký
    • Đăng nhập
    • URL rút gọn
    • Báo cáo nội dung
    • Xem toàn bộ bài viết
    • Quản lý theo dõi
    • Ẩn menu
%d

Từ khóa » Công Thức Poisson