Hệ Số Biến Thiên Phân Phối Poisson. Công Thức Phân Phối Và Poisson

Phân phối nhị thức áp dụng cho các trường hợp đã lấy mẫu có kích thước cố định. Phân phối Poisson đề cập đến các trường hợp con số Những sự kiện ngẫu nhiênđang xảy ra chiều dài nhất định, khu vực, khối lượng hoặc thời gian, trong khi tham số xác định của phân phối là số lượng sự kiện trung bình , không phải kích thước mẫu P và tỷ lệ thành công R. Ví dụ, số điểm không phù hợp trong một mẫu hoặc số điểm không phù hợp trên một đơn vị sản phẩm.

Phân phối xác suất cho số lần thành công X có cùng một lúc lần xem tiếp theo:

Hoặc chúng ta có thể nói rằng một biến ngẫu nhiên rời rạc Xđược phân phối theo định luật Poisson nếu các giá trị có thể có của nó là 0,1, 2, ... t, ... p, và xác suất xuất hiện của các giá trị đó được xác định theo quan hệ:

(14)

ở đâu m hoặc λ là một giá trị dương nào đó, được gọi là tham số phân phối Poisson.

Định luật Poisson áp dụng cho các sự kiện "hiếm khi xảy ra", trong khi khả năng xảy ra một thành công khác (ví dụ, thất bại) là liên tục, không đổi và không phụ thuộc vào số lần thành công hoặc thất bại trước đó (khi chúng tôi đang nói chuyện về các quá trình phát triển theo thời gian, điều này được gọi là "sự độc lập so với quá khứ"). Một ví dụ cổ điển, khi luật Poisson được áp dụng, là số cuộc điện thoại đến tổng đài điện thoại trong thời gian khoảng thời gian xác định thời gian. Các ví dụ khác có thể là số vết mực trên một trang của một bản thảo cẩu thả, hoặc số vết trên thân xe trong quá trình sơn. Luật phân phối Poisson đo lường số lượng khuyết tật, không phải số lượng sản phẩm lỗi.

Phân phối Poisson tuân theo số lượng các sự kiện ngẫu nhiên xuất hiện trong những khoảng thời gian cố định hoặc trong một vùng không gian cố định, Đối với λ1 giá trị của P (m) với sự tăng trưởng t đi qua cực đại gần /

Một đặc điểm của phân phối Poisson là sự bình đẳng của phương sai đối với kỳ vọng toán học. Tham số phân phối Poisson

M (x) = σ 2 = λ (15)

Đặc điểm này của phân phối Poisson cho phép chúng tôi phát biểu trong thực tế rằng phân phối thu được bằng thực nghiệm biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson nếu giá trị mẫu kỳ vọng toán học và các phương sai là như nhau.

Pháp luật sự kiện hiếmđược sử dụng trong kỹ thuật cơ khí để kiểm soát chọn lọc thành phẩm, khi theo điều kiện kỹ thuật, cho phép một tỷ lệ loại bỏ nhất định (thường là nhỏ) trong lô sản phẩm được chấp nhận q> 0 và lúc P-> 0 (sự kiện hiếm)).

Từ toán học, một công thức được biết đến cho phép bạn tính toán gần đúng giá trị của bất kỳ phần tử nào của phân phối nhị thức:

ở đâu một = N · P là tham số Poisson (kỳ vọng toán học) và phương sai bằng kỳ vọng toán học. Hãy để chúng tôi trình bày các phép tính toán học giải thích sự chuyển đổi này. Luật phân phối nhị thức

P m = C N m · P m(1 - P) N – m

có thể được viết nếu chúng ta đặt P = một/N , như

Như P rất nhỏ, chỉ những con số nên được tính đến m, nhỏ so với N. Công việc

rất gần với sự thống nhất. Điều tương tự cũng áp dụng cho kích thước

Giá trị

rất gần với e – một. Từ đây, chúng tôi nhận được công thức:

Ví dụ. Trong hộp là N= 100 phần, cả tốt và bị lỗi. Xác suất nhận được một sản phẩm bị lỗi là P= 0,01. Giả sử rằng chúng tôi lấy sản phẩm ra, xác định xem nó có bị lỗi hay không và đặt nó trở lại. Khi làm như vậy, hóa ra trong số 100 mặt hàng mà chúng tôi đã phân loại, có hai mặt hàng bị lỗi. Xác suất của điều này là gì?

Theo phân phối nhị thức, chúng ta nhận được:

Theo phân phối Poisson, chúng tôi nhận được:

Có thể thấy, các giá trị hóa ra là gần nhau, do đó, trong trường hợp hiếm sự kiện, việc áp dụng định luật Poisson là hoàn toàn có thể chấp nhận được, đặc biệt là vì nó đòi hỏi ít nỗ lực tính toán hơn.

Chúng tôi biểu diễn dạng đồ thị của định luật Poisson. Hãy lấy các tham số làm ví dụ. P = 0.05 , N= 10. Sau đó:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 , C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 - 0,05) 10 - 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987; P 1 = 10 0,05 1 (1 - 0,05) 10 - 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151; P 2 = 45 0,05 2 (1 - 0,05) 10 - 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746; P 3 = 120 0,05 3 (1 - 0,05) 10 - 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105; P 4 = 210 0,05 4 (1 - 0,05) 10 - 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096; P 5 = 252 0,05 5 (1 - 0,05) 10 - 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006; P 6 = 210 0,05 6 (1 - 0,05) 10 - 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000; P 7 = 120 0,05 7 (1 - 0,05) 10 - 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000; P 8 = 45 0,05 8 (1 - 0,05) 10 - 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000; P 9 = 10 0,05 9 (1 - 0,05) 10 - 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000; P 10 = 1 0,05 10 (1 - 0,05) 10 - 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000

Tất nhiên rồi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Cơm. 27.3. Biểu đồ phân phối Poisson tại p = 0,05 và n = 10

Tại N-> ∞ phân phối Poisson trở thành chuẩn, theo định lý giới hạn trung tâm (xem bên dưới).