Công Thức Viết Phương Trình Tổng Quát Của đường Thẳng Hay, Chi Tiết ...

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhấ

I. Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ n→(n→≠0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δnếu giá của vectơ n→vuông góc với đường thẳng Δ.

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0)và có vectơ pháp tuyến là n→=(a;b), ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

a(x−x0)+b(y−y0)=0

⇔ax+by+c=0 (với c=−ax0−by0).

II. Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng

- Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:

+ Tìm vectơ pháp tuyến của d là: n→=(a;b)

+ Tìm một điểm thuộc vào d là: M0(x0;y0)

+ Viết phương trình tổng quát của d như sau:

a(x−x0)+b(y−y0)=0

⇔ax+by+c=0 (c=−ax0−by0)

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là n→=(1;3). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là n→=(1;3), ta có phương trình tổng quát của d là:

1(x−1)+3(y−3)=0

⇔x−1+3y−9=0

⇔x+3y−10=0

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ chỉ phương u→=(−2;3). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→=(−2;3)

⇒Vectơ pháp tuyến của d là n→=(3;2)

Đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) , ta có phương trình tổng quát:

3(x−3)+2(y−5)=0

⇔3x−9+2y−10=0

⇔3x+2y−19=0

Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua điểm C(1; 0) và song song với đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến là n'→=(2;−5). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì d // d’ nên vectơ pháp tuyến của d là n→có: n→=n'→=(2;−5)

Đường thẳng d đi qua C(1; 0) , ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

2(x−1)−5(y−0)=0

⇔2x−5y−2=0

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2) và có vectơ pháp tuyến n→=(2;−1). Viết phương trình tổng quát của d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm N(3; -1) và có vectơ chỉ phương là u→=(−2;2). Viết phương trình tổng quát của d.

Bài 3: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhậnn→= (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x - 2y + 1 = 0.

B. 2x + y = 0

C. x - 2y - 5 = 0

D. x - 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = (1; -2) làm VTPT

=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x - 1) - 2(y + 2) = 0 hay x - 2y – 5 = 0

Chọn C.

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ n→ (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

A. ∆: x + 2y + 5 = 0

B. ∆: x + 2y – 5 = 0

C. ∆: 2x + y + 1 = 0

D. Đáp án khác

Lời giải

Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT nn→(1; 2)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x - 1) + 2(y + 3) = 0

Hay x + 2y + 5 = 0

Chọn A.

Bài 5: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình

A. x - 2y - 3 = 0

B. x - 2y + 5 = 0

C. x - 2y +3 = 0

D. x + 2y + 1 = 0

Lời giải

Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 (c ≠ 1)

Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 - 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3

Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0

Chọn A

Bài 6: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình

A. 3x - 4y + 8 = 0

B. 3x – 4y - 11 = 0

C. -6x + 8y + 11 = 0

D. 8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta có BC→ = (-6; 8)

Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA' nhận VTPT n→=BC→ = (-6; 8) và qua A(1; -2)

Suy ra phương trình AA’: -6(x - 1) + 8(y + 2) = 0

Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.

Chọn B

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng