PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT Của ĐƯỜNG ...

Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT của ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG TRONG hệ TRỤC tọa độ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.63 KB, 5 trang )

PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNGVÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘBài viết này giới thiệu với các bạn phương pháp viết phương trình tổng quát củađường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ, đây là bài toán thường có mặt trongcác đề thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng và đại học.Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt phẳng trong hệ trục tọa độ tathường sử dụng một trong các hướng sau đây:Hướng 1: Xác định tọa độ một điểm mà đường thẳng ( mặt phẳng ) đi qua và mộtvéc tơ pháp tuyến của nó rồi áp dụng công thức để viết phương trình đường thẳng(mặt phẳng).Cần nhớ rằng:-Trongrmặt phẳng tọa độ Oxy,đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0)và có véc tơ pháptuyến n( A; B) có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)=0-Trongrhệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0)và có véc tơ pháptuyến n( A; B; C ) có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.Phá ngoặc và thu gọn các phương trình trên ta thu được phương trình tổng quát.* Thí dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5), B(4;-1), C(-4;5).Viết phương trình đường cao AH, đường trung tuyến AM và đường phân giáctrong AD của ∆ABC .Bài giải:uuur+) Đường cao AH của ∆ABC đi qua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến BC (−8; −4)2x+y-7=0nên có phương trình: -8(x-1)-4(y-5)=0 ⇔uuuur+)M là trung điểm của BC nên M(0;-3), AM (−1; −8) suy ra đường trung tuyến AM đirqua điểm A(1;5)và có véc tơ pháp tuyến n(8; −1) có phương trình:8(x-1)-1(y-5)=0 ⇔ 8x-y-3=0+)Theo tính chất của đường phân giác trong ta có:DB AB 3 5 3===DC AC 5 5 533xB + xC 4 + (−4)5 =5=1 xD =381+uuur −3 uuur 555Suy ra DB = DC ⇒ vậy D(1; )3352yB + yC −1 + (−5)−5y =55== D3821+55uuurr15AD(0; − ) suy ra đường thẳng AD có véc tơ pháp tuyến n(8; −1) và đi qua A(1;5)215( x − 1) + 0( y − 5) ⇔ x-1=0 .có phương trình:2* Thí dụ 2: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz ).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua haiđiểm A(0;1;1), B(-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-y+z+1=0.Bài giải:uuurrTa có AB(−1; −1;1) , mặt phẳng (Q) có vtpt nQ (1; −1;1) .uuruuurMặt phẳng (P) nhận AB và nQ làm cặp véc tơ chỉ phương nên (P) có véc tơ phápruuur uurtuyến n =  AB, nQ  =(0;2;2). Mặt khác(P) đi qua điểm A(0;1;1) nên (P) có phươngtrình: 0( x − 0) + 2( y − 1) + 2( z − 1) = 0 ⇔ y + z − 2 = 0Hướng 2: Sử dụng phương trình tổng quát (hướng này được sử dụng trong trườnghợp bài toán có liên quan đến góc,khoảng cách).-Gỉa sử phương trình đường thẳng cần tìm là: ax + by + c = 0(a 2 + b 2 ≠ 0) rồi sử dụng cácdữ kiện của đề bài xác định các hệ số a;b;c .-Đối với phương trình mặt phẳng ta cũng làm tương tự.* Thí dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;5), B(4;-1), C(-4;-5).Viết phươngtrình đường thẳng ∆ đi qua điểm Asao cho biểu thức P = 2d(B, ∆ ) +d(c, ∆ ) đạt giá trịlớn nhất.Bài giải:-Gỉa sử phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: ax + by + c = 0(a 2 + b 2 ≠ 0) .Do ∆ điqua A(1;5) nên c=-3a-4b suy ra phương trình ∆ có dạng ax + by − 3a − 4b = 0 .d ( B, ∆ ) =−2a − 2ba 2 + b2; d (C , ∆ ) =P = 2d ( B, ∆) + d (C , ∆) =2a − 4ba 2 + b2−4a − 4b + 2a − 4ba 2 + b2Trường hợp 1: B và C nằm cùng một phiá so với ∆ thì (−4a − 4b)(2a − 4b) ≥ 0 (*)Ta có P =−2a − 8ba2 + b2. Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có:−2a − 8b ≤ 68(a 2 + b 2 ) = 2 17 a 2 + b 2 do đó P ≤ 2 17 ,dấu bằng xảy raab⇔=⇔ 4a = b . Chọn a=1, suy ra b=4 (thỏa mãn (*)) ta được phương trình−2 −8đường thẳng ∆ là: x+4y-19=0.Trường hợp 2: B và C nằm khác phiá so với ∆ thì (−4a − 4b)(2a − 4b) ≤ 0 (*)−6aTa có P = 2 2 . Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có: −6a = −6a+0b ≤ 6 (a 2 + b 2 ) do đóa +bP ≤ 6 . So sánh trường hợp 1 và 2 ta có P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 17 ,do đóphương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: x+4y-19=0.* Thí dụ 4: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua haiđiểm A(0;0;1), B(3;0;0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một gócπ.3Bài giải:-Gỉa sử phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:C = − DC + D = 0⇒ax + by + cz + d = 0(a + b + c ≠ 0) .Do (P) đi qua A và B ⇒ D3A + D = 0  A = −3−Dx + By − Dz − D = 0 ⇔ − Dx + 3By − 3Dz + 3D = 0 , vtptphương trình (P) có dạng3rn = (− D;3B; −3D) ,mặt phẳng222r(Oxy) có vtpt k = (0;0;1) .Vì góc giữa (P) và (Oxy) làrrn.kr uurcos ( ( P ), (Oxy ) ) = cos(n, k ) = r r =n.k−3 D2D 2 + 9 B + 9D 26 D = 10D 2 + 9 B 2 ⇔ 9 B 2 = 26D 2 ⇔ B = ±πnên ta có:3= cosπ 1= suy ra3 226D326D chọn D=3 ⇒ B = 26 ta được phương trình (P) là :3−3x + 3 26 y − 9z + 9 = 0i) Với B =− 26D chọn D=3 ⇒ B = 26 ta được phương trình (P) là :3−3x-3 26 y − 9z + 9 = 0 .ii) Với B =Vậy phương trình (P) là : −3x + 3 26 y − 9z + 9 = 0 hoặc −3x-3 26 y − 9z + 9 = 0 .Hướng 3: Sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:- Trong mặt phẳng tọa độ ,nếu đường thẳng ∆ cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểmphân biệt A(a;0),B(0;b)Thì phương trình ∆ có dạngx y+ =1a b- Trong hệ trục tọa độ, nếu mặt phẳng (α ) cắt 3 trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại 3điểm phânbiệt A(a;0;0),B(0;b;0) và C(0;0;c)Thì phương trình (α ) có dạngx y z+ + =1a b c* Thí dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi quađiểm M(3;1) và cắt hai trục Ox, Oy sao cho giá trị biểu thức P=11+đạt giá trị2OA OB 2nhỏ nhất.Bài giải:Vì A,B là 2 điểm phân biệt lần lượt thuộc Ox, Oy nên tọa độ của A và B có dạng:1 1+ . Áp dụng công thức viết phương trìnha 2 b2x yđường thẳng theo đoạn chắn phương trình của ∆ có dạng + = 1 .a b3 1Do ∆ đi qua M ta có : + = 1 . Áp dụng BĐT Bu nhi a ta có:a b21 113 13 1 1 11 =  + ÷ ≤ (9 + 1)  2 + 2 ÷ suy ra P = 2 + 2 ≥ . Dấu = xảy ra ⇔ = mặt kháca b 10a ba ba b  a = 103 1xy+ = 1 suy ra nên ∆ có phương trình + = 1 ⇔ 3x + y − 30 = 0 .a b10 30b = 30* Thí dụ 6: Trong hệ trụ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi quaA(a;0), B(0;b) với ab ≠ 0 , khi đó P =điểm M(2;1;1), đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.Bài giải:Vì A,B,C là 3 điểm phân biệt lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên tọa độ của A và B códạng:A(a;0;0), B(0;b;0) với ( a ≥ 0, b ≥ 0; c ≥ 0 ). Áp dụng công thức viết phương trình đườngthẳng theo đoạn chắn phương trình của (α ) có dạng16x y z+ + = 1 .Thể tích tứ diệna b c16OABC là VOABC = OA.OB.OC = abc2 1 1+ + = 1 . Áp dụng BĐT Causy ta có:a b c2 1 12 1 121 = + + ≥ 33⇒ abc ≥ 54 . Dấu = xảy ra ⇔ = = mặt kháca b ca b cabca = 62 1 1+ + = 1 suy ra b = 3 Từ đó suy ra thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhấta b cc = 3Do (α ) đi qua M ta có :bằng 9 và phương trình mặt phẳng (α ) cần tìm là:x y z+ + = 1 ⇔ x + 2 y + 2z − 6 = 0 .6 3 3BÀI TẬP:1)Cho ∆ABC có A(-3;5) và phương trình 2 đường phân giác trong là x+y-2=0;x-3y-6=0 .Viết phương trình của cạnh BC.2)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16 và các cạnh AB,BC,CD,DA lầnlượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5),P(5;2),Q(2;1). Viết phương trình của cạnh củahình chữ nhật.3)Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1;2) đồng thời cắt hai trục Ox,Oy lần lượt tại hai điểm A,B sao cho diện tích ∆OAB đạt giá trị nhỏ nhất.4)Cho 3 điểm: A(1;1;0), B(2;-1;-1), C(0;1;0). Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC .x25)Viết phương trinh mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d : = y =z −3đồng thời tạo3 x = 2 + 2t1với đường thẳng ∆ :  y = −tmột góc ϕ với sin ϕ =.3 z = −3 + t6)Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng8x-11y+8z-30=0; x-y-2z=0 đồng thời cắt mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0Theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6π .Ân thi ngày tháng năm 2015Người viết: Vũ Sỹ Dũng-giáo viên trường THPT Nguyễn Trung Ngạn

Tài liệu liên quan

• PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
  • 4
  • 9
  • 41
• ph­­uong trinh tong quat cua duong thang
  • 20
  • 923
  • 6
• PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
  • 14
  • 2
  • 10
• Tài liệu Vectơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng
  • 12
  • 9
  • 30
• Tiết 03 VECTƠ PHÁP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG pot
  • 6
  • 2
  • 2
• Tiêt 30: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
  • 12
  • 1
  • 2
• TIẾT 20: LUYỆN TẬP PHƯƠNG TRÌNH, TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG doc
  • 4
  • 751
  • 1
• TIẾT 27 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG potx
  • 7
  • 502
  • 0
• Tiết 28:PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG potx
  • 7
  • 534
  • 1
• Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG ( Tiết 1) pdf
  • 5
  • 925
  • 5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(245 KB - 5 trang) - PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT của ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG TRONG hệ TRỤC tọa độ Tải bản đầy đủ ngay ×