Đặt ẩn Phụ Giải Phương Trình Chứa Căn - SlideShare

Trang chủ » Căn(2x^2-x+3)-căn(21x-17)=x^2 » Đặt ẩn Phụ Giải Phương Trình Chứa Căn - SlideShare

Có thể bạn quan tâm

Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn•103 likes•452,564 viewstuituhoctuituhocFollow

Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập website tuituhoc.com để tải nhé :) Read less

Read moreEducationReportShareReportShare1 of 10Download nowDownload to read offlineTrần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN CHUYÊN ĐỀ ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Như các bạn đã biết trong chương trình Toán THPT thì phương trình và hệ phương trình vô tỷ luôn là một chủ đề kinh điển, bởi thế nên nó luôn xuất hiện trong các kì thi lớn như thi Đại học và các kì thi học sinh giỏi lớn nhỏ. Trong đó phương pháp dùng ẩn phụ để giải toán luôn là một công cụ mạnh và hữu ích. Hôm nay bài viết này sẽ trình bày một số phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán. Nội dung: Đặt biểu thức chứa căn bằng biểu thức mới mà ta gọi là ẩn phụ, chuyển về phương trình theo ẩn mới. Giải phương trình ẩn phụ rồi thay vào biểu thức tìm nghiệm ban đầu. Phương pháp: Gồm có các bước sau: Bước 1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ẩn phụ. Để làm tốt bước này phải có sự quan sát, nhận xét mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong phương trình rồi đưa ra biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ. Bước 2: Chuyển phương trình ban đầu về phương trình theo ẩn phụ, thường là nhưng phương trình đã biết cách giải, tìm được nghiệm cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm. Thành viên tham gia chuyên đề: 1-Trần Trí Quốc 11TL8 THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên 2-Hồ Đức Khánh 10CT THPT Chuyên Quảng Bình. 3-Đoàn Thế Hòa 10A7 THPT Long Khánh, Đồng Nai 4-Thầy Mai Ngọc Thi THPT Hùng Vương, Bình Phước. 5-Thầy Nguyễn Anh Tuấn THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh. Đầu tiên ta cùng giải các ví dụ cơ bản sau: Có lẽ nhiều bạn đã quen với bài tập dạng loại này nên mình chỉ muốn nhắc lại 1 tý I-Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ: Dạng 1 a b Pt có dạng ax2 + bx + c = px2 + qx + r trong đó = p q Cách giải : Đặt t = px2 + qx + r, t ≥ 0 Tôi sẽ đưa ra vài ví dụ để các bạn ôn lại vì đây là phần khá dễ Giải các phương trình sau √ 1/(ĐH Ngoại Thương-2000) (x + 5)(2 − x)√ 3 x2 + 3x = 2/(ĐH Ngoại ngữ 1998) (x + 4)(x + 1) − 3 x2 + 5x + 2 = 6 3/(ĐH Cần Thơ 1999) (x + 1)(2 − x) = 1 + 2x − 2x2 √ 4/ 4x2 + 10x + 9 = 5 √ 2 + 5x + 3 2x 2 5/ 18x − 18x + 5 = 3√ 9x2 − 9x + 2 6/ 3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x + 7 = 2 Dạng tiếp theo cũng rất quen thuộc Dạng 2 PT có dạng P (x) + Q(x) + ( P (x) ± Q(x)) ± 2 P (x).Q(x) + α = 0 ( α là số thực) Cách giải Đặt t = P (x) ± Q(x) ⇒ t2 = P (x) + Q(x) ± 2 Page 1 P (x).Q(x) Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ Bài 1: Giải phương trình 1 + PHÚ YÊN √ √ 2√ x − x2 = x + 1 − x 3 Giải ĐK 0 ≤ x ≤ 1, Ta đặt t = √ √ √ t2 − 1 x + 1 − x thì x − x2 = , phương trình trở thành bậc 2 với ẩn 2 là t t2 − 1 = t ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1; t = 2 3 √ √ TH1 t = 2 ⇔ √x + √1 − x = 2 (VN) TH2 t = 1 ⇔ x + 1 − x = 1 ⇔ x = 0; x = 12 Giải các phương trình sau ⇔1+ √ √ √ 1/(HVKTQS-1999) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2 √ √ √ 2/√ 2x + 3 +√ x + 1 = 3x + 2 2x2 + 5x + 3 − 16 √ 1 3/ 4x + 3 + 2x +√ = 6x + √ 8x2 + 10x + 3 − 16 √ 4/(CĐSPHN-2001) x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2x + 2 Thế là đã xong các ví dụ cơ bản rồi bây giờ ta xét đến các ví dụ mà cần sự biến đổi khéo léo một chút và có sự quan sát đánh giá mới có thể đưa về dạng cơ bản để đặt ẩn phụ được. II-Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích Xuất phát từ 1 số hằng đẳng thức cơ bản khi đặt ẩn phụ: x + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) √ √ x4 + 1 = (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) 4x4 + 1 = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) 3 Chú ý: Khi đặt ẩn phụ xong ta cố gắng đưa về những dạng cơ bản như sau u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = 0 x Phương trình đẳng cấp bậc hai ax2 + bxy + cy 2 = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 với t = y Lại lấy Bài 1 ở trên 1 lần nữa Giải √ √ 2√ Giải phương trình 1 + x − x2 = x + 1 − x 3 √ √ 2 Nhận xét: Ta thấy ( x) + ( 1 − x)2 = 1(**), mà từ phương trình đầu ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại Giải √ √ √ √ 3 1−x−3 3t − 3 ⇔ x= √ . Do đó nếu đặt t = 1 − x ⇒ x = 2t − 3 2 1−x−3 Thay vào (**) ta biến đổi thành t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = 0 ⇔ t = 0; t = 1 hay x = 0; x = 1 là nghiệm của phương trình.2 Page 2 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Ta xét ví dụ sau √ √ √ Bài 2: Giải phương trình 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x2 + 3x + 2 Giải Ta thấy (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 √ √ Đặt u = 3 x + 1; v = 3 x + 2 PT⇔ u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 Giải tiếp ta được x = 0; x = −12 Ta xét ví dụ sau, khá giống bài ở trên nhưng khó hơn. √ √ √ Bài 3: Giải phương trình 3 x2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 1 Nhận xét: Cách làm bài này cũng khá giống nhưng phải để ý thật kĩ bên VP vì ta tách VP thành biểu thức "liên quan" đến biểu thức ẩn phụ. Giải Lời giải: Phương trình đã cho tương đương √ với √ √ 3 2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 0 (x + 1) − (x + 2) + x √ √ Ta đặt 3 x + 1 = a; b = − 3 x + 2, khi đó phương trình tương đương a3 + b3 − ab(a + b) = 0 ⇔ (a + b)(a −√ 2 = 0 b) √ 3 ⇔ a = ±b ⇔ x + 1 = ± 3 x + 2 3 ⇔x=− 2 3 3 Thử lại thấy x = − thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = − 2 2 2 Ví dụ tương tự √ √ √ Bài 4: Giải phương trình (x + 2)( 2x + 3 − 2 x + 1) + 2x2 + 5x + 3 − 1 = 0 Giải  x ≥ − 3 ĐK 2 ⇒ x ≥ −1 x ≥ −1 √   2x + 3 = a x + 2 = a2 − b 2 √ √ Đặt ⇒ x+1=b 2x2 + 5x + 3     a; b ≥ 0 1 = a2 − 2b2 Nên PT ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + ab = a2 − 2b2 ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a2 − b2 ) = 0. Vì a + b > 0 nên ta chia 2 vế cho a + b ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) = 0 ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) = 0 √ √ • Với a = b + 1 ⇒ 2x + 3 = x + 1 + 1 (VN) √ √ 1 • Với a = 2b ⇒ 2x + 3 = 2 x + 1 ⇔ x = − (TMĐK) 2 1 Vậy phương trình có nghiệm S = − 2 Page 3 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau √ √ √ 1/(√x + 5 − √x + 2)(1 + √x2 + 7x + 10) = 3 2/( x + 1 + √x − 2)(1 − x2 − x √ 2) = 3 − √ 2+ 1 − x = 1 + (1 − x) x 3/√x − x √ 4/ 3x2 − 18x + 25 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − 4 Bài 5: Giải phương trình √ 2+ 2+ √ x 2− √ +√ 2+ x 2− √ x √ = 2− x √ 2 Giải √ √ Thoạt nhìn ta đưa ra đánh giá rất dễ thấy 2 + x + 2 − x = 4 √ √ Nên ta đặt √ 2 + x = a; 2 − x = b Ta có ab = 4 − x; a2 + b2 = 4 Ta viết lại phương trình như sau: √ a2 b2 √ +√ = 2 2+a 2−b √ √ √ √ √ 2 2 ⇒ √ 2 − a b + b2 2 + ab2 = 2(2 − b 2 + a 2 − ab) a ⇔ √2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab√ 2). Để ý a2 + b2 = 4 + Vì ab + 2 = 0 nên a − b = 2 √ ⇔ a2 + b2 − 2ab = 2 ⇒ ab = 1 ⇒ 4 − x = 1 Nên x = 3 Vậy phương trình có nghiệm S = 32. √ √ √ Bài 6: Giải phương trình (13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x2 − 15 Nhận xét: Dễ thấy rằng (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, nhưng còn các nhị thức ở ngoài căn ta không thể biểu diễn hết theo 1 ẩn phụ được, ta đặt 2 ẩn phụ và cố đưa về phương trình tích. Giải 3 5 Lời giải: ĐK ≤ x ≤ 2 2 √ Đặt √ = 2x − 3 ⇒ u2 = 2x − 3; 2u2 + 3 = 4x − 3 u v = 5 − 2x ⇒ v 2 = √ − 2x; 2v 2 + 3 = 13 − 4x 5 ⇒ u2 + v 2 = 2; uv = 16x − 4x2 − 15(1) ⇒ P T ⇔ (2v 2 + 3)u + (2u2 + 3)v = 2 + 8uv = u2 + v 2 + 8uv ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = 0 T H1 : u + v = 3 √ 7 ⇔ 16x − 4x2 − 15 = (VN) 2 T H2 : u + v = 2uv √ ⇔ 16x − 4x2 − 15 = 1 ⇒ x = 2 (Thỏa ĐK) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 22 Bài 7: Giải phương trình x2 + √ x + 1 = 1 (*) Giải Page 4 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x + 1 = t; t ≥ 0 PT(*) ⇔ (t2 − 1)2 + t = 1 ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = 0 TH1 Với t = 0 thì x = −1. TH2 Với t = 1 thì x = 0. √ √ −1 + 5 1− 5 TH3 Với t = thì x = 2 2 2 Ta tự làm khó với kiểu bài trên lên một tý nhé, nâng bậc lũy thừa, ta xét ví dụ sau Bài 8: Giải phương trình x4 + √ x2 + 3 = 3 Giải Để đơn giản√ hóa, ta đặt x2 = a, a ≥ 0 PT ⇔ a2 + a + 3 = 3, ta sẽ tách để đưa về phương trình tích như sau: √ ⇔ a2 − √ + 3) + (a + a + 3) = 0 (a √ ⇔ (a + a + 3)(a − a + 3 + 1) = 0 √ Vì a ≥ 0 ⇒√ + a + 3 > 0 (VN) a Ta có a + 1 = a + 3 ⇔ a2 + a − 2 = 0 ⇒ a = 1(a ≥ 0) nên x = ±12 √ Bài 9: Giải phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + x2 + 2x + 5 = (2x − 1)2 + 2 (Đề thi chọn đội tuyển 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Nhận xét: Bài này có lũy thừa bậc cao nhất là 4, và có cả căn bậc 2 nên ta sẽ cố nhóm các biểu thức lũy thừa giống trong căn để có thể đặt ẩn phụ. Giải √ 2 ⇔ x4 + 4x2 + 4 + 4(x3 + 3x√+ 3x + 1) + x2 + 2x + 5 = 4x2 − 4x + 3 ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + 5 + 5 = 0 (Công đoạn nhóm lại thế này cũng rất quan trọng) √ Đặt t = x2 + 2x + 5, t ≥ 2 ⇒ t2 − 5 = x2 + 2x Ta viết lại PT đã cho tương tương với (t2 − 5)2 + 8(t2 − 5) + t + 5 = 0 ⇔ t4 − 2t2 + t − 10 = 0 ⇔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = 0 Vì t ≥ 2 nên t3 + 2t2 + 2t + 5 > 0 Ta √ t = 2 có ⇒ x2 + 2x + 5 = 2 Vậy x = −12 Bài 10: Giải phương trình √ √ x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2 Giải Đặt:t = √ x − 1, với x ≥ 1, t ≥ 0 ⇒ t2 = x − 1 Phương trình đã cho viết lại: (x − 1)2 + 4 = 2 − √ Trở thành: t4 + 4 = 2 − t(t ≤ 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = 0 √ x−1 Page 5 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Vì t ∈ [0; 2] nên t3 − t + 4 > 0 Vậy t = 0 ⇒ x = 12 √ Bài 11: Giải phương trình (4x2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0 Giải 5 Điều kiện y ≤ . 2√ Đặt a = 2x và b = 5 − 2y (b ≥ 0) ta có phương trình viết lại thành a3 + a − (b3 + b) + =0⇔a=b 2 2 √ 5 − 4y 2 5 − 4y 2 . Vậy x = là nghiệm của phương trình. Hay 2x = 5 − 2y ⇔ x = 2 2 Nhận xét. Một lời giải thật đẹp phải không ! Chắc các bạn sẽ thắc mắc rằng làm sao mà ta lại có thể đặt được ẩn phụ như trên. √ 5 − b2 − (b2 + 1) Trước tiên ta sẽ đặt 5 − 2y = b ⇒ y − 3 = −3= 2 2 √ − (b2 + 1) b ⇒ (y − 3) 5 − 2y = 2 a (a3 + 1) Bây giờ ta muốn (4x2 + 1) x = 2 ⇒ (4x2 + 1) .2x = a3 + a ⇒ 8x3 + 2x = a3 + a ⇒ a = 2x Từ đó ta có được cách đặt ẩn phụ như ở lời giải 2 Bài 12: Giải phương trình x+2 −1= 2 3 3(x − 3)2 + 3 9(x − 3) Giải Điều kiện x ≥ −2 Đặt t = 3 9 (x − 3) thì ta có x = t3 + 27 9 x+2 t3 + 45 3 t2 = ; 3(x − 3)2 = . 2 18 3 Phương trình đã cho trở thành t3 + 45 t2 −1= +t 18 3 t3 + 45 ⇔ = t2 + 3t + 3 (1) 2 2 3 3 2 Ta có t + 3t + 3 = t + + > 0 nên phương trình (1) tương đương với 2 4 t3 + 45 = (t2 + 3t + 3)2 2 ⇔ 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t − 27 = 0 (2t − 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = 0 1 ⇔ t = ; t = −3 2 1 t3 + 27 217 • Với t = thì x = = 2 9 72 Page 6 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN t3 + 27 • Với t = −3 thì x = =0 9 Các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và 217 x= 2. 72 √ √ Bài 13: Giải phương trình 5 3 x 5 x + 3 5 x 3 x = 8 Giải √ 5 √ 5 3 3 x6 + 3 x4 = 8 Phương trình √ cho tương đương với: 5 đã √ 15 6 + 3 15 x4 = 8 ⇔5 x √ 15 Đặt:y = x2 với y ≥ 0 ta có: 5y 3 + 3y 2 − 8 = 0 ⇔ (y − 1)(5y 2 + 8y + 8) = 0 ⇔y−1=0⇔y =1 √ 15 Do đó ta có: x2 = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:S = {−1; 1} 2. Bài 14: Giải phương trình √ 5 7 6 x4 − √ + = 0 5 x2 x Giải ĐK x = 0. Ta có phương trình đã cho tương đương với √ √ √ 7 6 5 5 5 x4 − √ + √ = 0 ⇔ x9 − 7 x3 + 6 = 0(∗) 5 5 2 5 x x √ 5 3 , y = 0, phương trình (*) trở thành: Đặt:y = x y 3 − 7y + 6 = 0 ⇔ (y − 1)(y 2 + y − 6) = 0   √ 3  5 x = 1√ y=1 √x = 1  y=2  5 x3 = 2  x=234 ⇔ ⇔ √ ⇔ √ 5 3 = −3 y = −3 x = −3 3 9 x √ √ Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1; 2 3 4; −3 3 9 2 Bài 15: Giải phương trình √ 4x − 1 + √ 4x2 − 1 = 1 Giải 4x − 1 ≥ 0 1 ⇔x≥ 2 2 4x − 1 ≥ 0 Bình phương hai vế phương trình đã cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + 2 (4x − 1)(4x2 − 1) = 1 ⇔ 2 (4x − 1) (4x2 − 1) = 3 − 4x2 − 4x = 4 − (2x + 1)2 Đặt y = 2x + 1 ⇒ 4x − 1 = 2y − 3, 4x2 − 1 = y 2 − 2y Phương trình trở thành 2 (2y − 3)(y − 2) = 4 − y 2 4 − y2 ≥ 0 ⇔ 4(2y − 3)(y − 2)y = (4 − y 2 )2 ĐK Page 7 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN  −2 ≤ y ≤ 2  ⇔ y−2=0   4(2y − 3)y = (y + 2)2 (y − 2)  −2 ≤ y ≤ 2  ⇔ ⇔y=2 y=2   3 2 y − 6y + 8y − 8 = 0 Hàm số G(y) = y 3 − 6y 2 + 8y − 8 lấy giá trị âm trên toàn miền [−2; 2] 1 Do đó ta có 2x + 1 = 2 ⇔ x = 2 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 2 √ Bài 16: Giải phương trình 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0 (D-2006) Giải √ t2 + 1 2 PT ⇔ t4 − 4t2 + 4t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t2 + 2t − 1) = 0 * Với t =√ ⇒ x = 1 1 √ *Với t = 2 − 1 ⇒ x = 2 − 22 Đặt t = 2x − 1 ⇒ x = Bài 17: Giải phương trình 2x2 − 6x − 1 = √ 4x + 5 Giải √ √ 3 − 11 3 + 11 ĐK x ≤ ;x ≥ 2 2 √ t2 − 5 Đặt t = 4x + 5 ⇒ x = 4 PT⇔ t4 − 22t2 − 8t + 27 = 0 ⇔ (t2 + 2t − 7)(t2 − 2t − 11) = 0 √ √ Đối chiếu điều kiện ta tìm được nghiệm của phương trình x = 1 − 2; x = 2 + 32 √ √ Nhận xét: Đối với những bài có dạng ax + b+cx2 +dx+e = 0 thì cách giải là đặt ax + b = t, sau đó đưa về phương trình bậc 4, dùng đồng nhất thức để phân tích nhân tử. Nhưng có 1 số bài không giải được bằng cách đó, ta sẽ nhắc lại vấn đề này ở phần sau. √ √ Bài 18: Giải phương trình (x + 3 x + 2)(x + 9 x + 18) = 168x Đối với những bài mà khi phân tích thành các nhị thức hoặc tam thức ta thường nhẩm được nghiệm hữu tỷ khá đẹp, vậy còn đồi với những nghiệm vô tỷ? Ta xét bài toán sau: √ √ Bài 19: Giải phương trình (x − 2) x − 1 − 2x + 2 = 0 √ Nhận xét: Ta thấy trong căn có x − 1, nên ta sẽ cố gắng thêm bớt và tách sẽ được một phương trình theo ẩn mới Giải Page 8 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x − 1 = t, t ≥ 0 √ √ √ √ Ta biến√ phương trình như sau : [(x − 1) − 1] x − 1 − 2[(x − 1) − 2] − 2 = 0 đổi √ ⇔ t3 − 2t2 − t + 2 − 2 = 0 Phương trình này ta bấm máy không có nghiệm hữu tỷ, nhưng bạn nào tinh ý một tý sẽ thấy t = 0.4142......? √ Nhìn vào số này khá quen nhỉ, nó chính là 2 − 1 Áp dụng sơ đồ Horner, ta phân √ được như sau :(t + 1 − tích √ √ √ *TH1 Với t = 2 − 1 ⇒ x − 1 = 2 − 1 ⇒ x = 4 − 2 2 *TH2 t2 − t − Ta có t = 1+ √ √ 2)(t2 − t − 2) = 0 √ 2 = 0, và chỉ nhận t > 0 √ √ 1+4 2 1+ 1+4 2 ⇒x= 2 2 2 + 12 III- Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba. √ Bài 20: Giải phương trình 2(x2 + 2) = 5 x3 + 1 (Đề nghị Olympic 30/4/2007) Đối với bài toán này đầu tiên ta phân tích nhân tử trong căn x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) rồi cố ý biến đổi vế trái thành tổng hoặc hiệu của hai thừa số trong căn. Giải Ta biến√ như sau 2(x2 √ 2) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) đổi + Ta đặt x2 − x + 1 = a; x + 1 = b PT ⇔ 2a2 + 2b2 = 5ab 1 a Đến đây giải ra được 2 nghiệm t = ; t = 2 với t = ( ) 2 b √ 5 ± 37 2 Vậy x = 2 Sau đây là một số bài tập tương tự Giải PT √ 1/2(x2 − 3x + 2) =√ x3 + 8 3 2 2/2x√+ 5x − 1 = 7 x3 − 1 3/10√x3 + 8 = 3(x2 − x + 6) 4/10 x3 + 1 = 3(x2 + 2) Ngoài ra các bạn vẫn có thể sáng tạo thêm các PT bằng các đẳng thức tôi đã nêu ở trên sẽ rất thú vị đấy, để có một phương trình đẹp ta phải chọn hệ số a, b, c sao cho PT at2 + bt + c = 0 có "nghiệm đẹp" là được, bạn hãy thử xem. √ √ Ví dụ bài này chằng hạn 4x2 − 2 2x + 4 = x4 + 1 Cùng thử sức với bài toán sau nhé, bài này khó hơn so với các ví dụ tôi đã nêu ở trên Bài 21: Giải phương trình √ √ √ 5x2 − 14x + 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1 (HSG Quãng Ngãi 2012) Giải ĐK x ≥ 5, chuyển vế bình phương ta có : 2x2 − 5x + 2 = 5 (x2 − x − 20)(x + 1) Đến đây lại gặp 1 vấn đề nữa đó là ta không thể tìm được hai số √ β sao cho α, √ 2 2 α(x − x − 20) + β(x + 1) = 2x − 5x + 2 nên ta không thể đặt a = x2 − x − 20; b = x + 1 như Page 9 Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN các ví dụ trên được. Nhưng lại thấy x2 − x − 20 = (x − 5)(x + 4) PT ⇔ 2x2 − 5x + 2 = (x2 − 4x − 5)(x + 4) Ta thử lại lần nữa và tìm được α, β thỏa mãn, ta biến đối lại PT như sau ⇔ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) = 5 (x2 − 4x − 5)(x + 4) √ √ Đặt a = x2 − 4x − 5; b = x + 4 PT ⇔ 2a2 + 3b2 = 5ab 3 Từ đó ta được a = b; a = b √ 2 5 + 61 Với a = b ⇒ x = (x ≥ 5) 2 3 7 Với a = b ⇒ x = 8; x = − 2 4 √ 5 + 61 Đối chiều với điều kiện ta nhận x = 8; x = là nghiệm của phương trình.2 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: √ √ √ √ 23 ± 341 1/ x2 + x − 6 + 3 x − 1 − 3x2 − 6x + 19 = 0 ĐS: x = 2 √ √ √ √ 21 ± 161 2 + 4x − 5 + 2 + 25x + 2 = 0 ĐS: x = x − 3 − 11x 2/ 3 x 2 √ √ √ √ √ 61 + 11137 3/ 7x2 + 25x + 19 − x2 − 2x − 35 = 7 x + 2 ĐS: S = ;3 + 2 7 18 6 √ 3 Bài 22: Giải phương trình 3x2 − 2x − 2 = √ x + 3x2 + 4x + 2 30 Nhận xét:Bài này hơi khác một chút so với những bài ở trên đó là biểu thức trong căn không có dạng hằng đẳng thức, vì vậy ta xem như một phương trình hữu tỷ và nhẩm nghiệm. √ √ 1+ 7 1− 7 ;x ≥ ĐK 3x2 − 2x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 3 Để ý: x3 + 3x2 + 4x + 2 = (x + 1)3 + (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) Giải 6 Ta viết lại PT như sau 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ (x + 1)(x2 + 2x + 2) 30 √ √ Đến đây dễ rồi, ta đặt a = x2 + 2x + 2; b = x + 1 nên PT viết lại như sau 6 3a2 − 8b2 = √ ab 30 2 Đáp số : x = − 2 3 √ √ Bài 23: Giải phương trình (x2 − 6x + 11) x2 − x + 1 = 2(x2 − 4x + 7) x − 2 Giải Lời giải: ĐK x ≥ 2 √ √ Đặt x2 − x + 1 = a; x − 2 = b với a, b ≥ 0 Ta biểu diễn các biểu thức ngoài căn √ theo a và b như sau √ x2 − 6x + 11 = α( x2 − x + 1)2 + β( x − 2)2 Page 10

Recommended

19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh  72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trìnhHades0510 Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Nhập Vân Long TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNBồi dưỡng Toán lớp 6 Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM Bdt võ quốc bá cẩnBdt võ quốc bá cẩnBdt võ quốc bá cẩnBdt võ quốc bá cẩnThế Giới Tinh Hoa 

Recommended

19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh  72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trìnhHades0510 Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Giải một số phương trình nghiệm nguyên trong đề thi toán 9Nhập Vân Long TUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNTUYỂN TẬP 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 VÀ ÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊNBồi dưỡng Toán lớp 6 Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9Chuyên đề Đẳng Thức và Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 9BOIDUONGTOAN.COM Bdt võ quốc bá cẩnBdt võ quốc bá cẩnBdt võ quốc bá cẩnBdt võ quốc bá cẩnThế Giới Tinh Hoa Cđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCảnh Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Gia sư môn Toán tại nhà Hà Nội Chất Lượng Cao Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nLuu Tuong Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hoplephucduc06011999 Kỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợptuituhoc kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmljmonking Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9youngunoistalented1995 9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênThấy Tên Tao Không BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấunhankhangvt 9 drichle9 drichle9 drichle9 drichleHồng Quang Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnThế Giới Tinh Hoa Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantBui Loi 13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)ljmonking Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaThế Giới Tinh Hoa Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7vukimhoanc2vinhhoa Scp mod pScp mod pScp mod pScp mod pĐình Huy 200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và KhóAnh Thư Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcThế Giới Tinh Hoa Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo tyPhuong trinh vo tyPhuong trinh vo tytututhoi1234 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Sao Băng Lạnh Giá [Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo tyHuynh ICT Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Huynh ICT 

More Related Content

What's hot

Cđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCảnh Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Gia sư môn Toán tại nhà Hà Nội Chất Lượng Cao Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nLuu Tuong Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hoplephucduc06011999 Kỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợptuituhoc kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmljmonking Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9youngunoistalented1995 9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênThấy Tên Tao Không BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấunhankhangvt 9 drichle9 drichle9 drichle9 drichleHồng Quang Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnThế Giới Tinh Hoa Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantBui Loi 13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)ljmonking Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaThế Giới Tinh Hoa Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7vukimhoanc2vinhhoa Scp mod pScp mod pScp mod pScp mod pĐình Huy 200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và KhóAnh Thư Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcThế Giới Tinh Hoa Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo tyPhuong trinh vo tyPhuong trinh vo tytututhoi1234 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Sao Băng Lạnh Giá 

What's hot (20)

Cđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mựcCđ giải hpt không mẫu mực Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8 Bài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo nBài tập về cấp của một số nguyên modulo n Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop Kỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợp kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9 9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu 9 drichle9 drichle9 drichle9 drichle Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophant 13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1) Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7Một số chuyên đề nâng cao đại số lớp 7 Scp mod pScp mod pScp mod pScp mod p 200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo tyPhuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1) 

Similar to Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn

[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo tyHuynh ICT Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Huynh ICT 75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trìnhtuituhoc 72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trìnhtuituhoc Mot so chu y khi giai ptMot so chu y khi giai ptMot so chu y khi giai ptMot so chu y khi giai ptndphuc910 Tông hợp hptTông hợp hptTông hợp hptTông hợp hptCảnh Cac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dienphamtrunght2012 03 phuong phap dat an phu giai pt p403 phuong phap dat an phu giai pt p403 phuong phap dat an phu giai pt p403 phuong phap dat an phu giai pt p4Huynh ICT 52 bài hệ phương trình52 bài hệ phương trình52 bài hệ phương trình52 bài hệ phương trìnhtuituhoc PtvtPtvtPtvtPtvttAlan4 Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenTam Vu Minh Giai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-canGiai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-canGiai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-canGiai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-cangiaoduc0123 [Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014Antonio Krista Cđ van dung bdt giai pt hptCđ van dung bdt giai pt hptCđ van dung bdt giai pt hptCđ van dung bdt giai pt hptCảnh 20 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 8cunbeo 04 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p4Huynh ICT 02 phuong phap dat an phu giai pt p202 phuong phap dat an phu giai pt p202 phuong phap dat an phu giai pt p202 phuong phap dat an phu giai pt p2Huynh ICT Hệ phương trình với phương pháp thếHệ phương trình với phương pháp thếHệ phương trình với phương pháp thếHệ phương trình với phương pháp thếtuituhoc Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyênDuong BUn 1.2.tinh don dieu_cua_ham_so.11.2.tinh don dieu_cua_ham_so.11.2.tinh don dieu_cua_ham_so.11.2.tinh don dieu_cua_ham_so.1vanthuan1982 

Similar to Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn (20)

[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty[Vnmath.com] phuong phap dat an phu voi phuong trinh vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty Tuyen tap cac bai toan va phuong phap giai pt va bpt vo ty  75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình75 bài tập hệ phương trình 72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trình72 hệ phương trình Mot so chu y khi giai ptMot so chu y khi giai ptMot so chu y khi giai ptMot so chu y khi giai pt Tông hợp hptTông hợp hptTông hợp hptTông hợp hpt Cac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dienCac dang toan quy ve bac hai co dien 03 phuong phap dat an phu giai pt p403 phuong phap dat an phu giai pt p403 phuong phap dat an phu giai pt p403 phuong phap dat an phu giai pt p4 52 bài hệ phương trình52 bài hệ phương trình52 bài hệ phương trình52 bài hệ phương trình PtvtPtvtPtvtPtvt Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen Giai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-canGiai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-canGiai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-canGiai bai-toan-bat-phuong-trinh-chua-can [Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014 Cđ van dung bdt giai pt hptCđ van dung bdt giai pt hptCđ van dung bdt giai pt hptCđ van dung bdt giai pt hpt 20 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 820 chuyen de boi duong toan 8 04 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p404 phuong trinh mu p4 02 phuong phap dat an phu giai pt p202 phuong phap dat an phu giai pt p202 phuong phap dat an phu giai pt p202 phuong phap dat an phu giai pt p2 Hệ phương trình với phương pháp thếHệ phương trình với phương pháp thếHệ phương trình với phương pháp thếHệ phương trình với phương pháp thế Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên 1.2.tinh don dieu_cua_ham_so.11.2.tinh don dieu_cua_ham_so.11.2.tinh don dieu_cua_ham_so.11.2.tinh don dieu_cua_ham_so.1 

More from tuituhoc

Đề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Trungtuituhoc Đề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháptuituhoc Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhậttuituhoc Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Ngatuituhoc Đề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Đứctuituhoc Đề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Anhtuituhoc Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối Dtuituhoc Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1tuituhoc Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1tuituhoc Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối Dtuituhoc Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1tuituhoc Đề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng Anhtuituhoc Đề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng Anhtuituhoc Đề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng Anhtuituhoc Đề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng Anhtuituhoc Đề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng Anhtuituhoc Đề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh Họctuituhoc Đề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh Họctuituhoc Đề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh Họctuituhoc Đề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh Họctuituhoc 

More from tuituhoc (20)

Đề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng TrungĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Trung Đề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng PhápĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Pháp Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NhậtĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nhật Đề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng NgaĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Nga Đề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng ĐứcĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Đức Đề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2015 môn Tiếng Anh Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối D Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2014 môn Tiếng Anh khối A1 Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2013 môn Tiếng Anh khối A1 Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối DĐề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối D Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1Đề thi đại học 2012 môn Tiếng Anh khối A1 Đề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2011 môn Tiếng Anh Đề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2010 môn Tiếng Anh Đề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2009 môn Tiếng Anh Đề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2008 môn Tiếng Anh Đề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng AnhĐề thi đại học 2006 môn Tiếng Anh Đề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2015 môn Sinh Học Đề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2014 môn Sinh Học Đề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2013 môn Sinh Học Đề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh HọcĐề thi đại học 2012 môn Sinh Học 

Recently uploaded

30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...lamluanvan.net Viết thuê luận văn Tử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnTử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnTử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnTử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnKabala ĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdfĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdfĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdfĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdflevanthu03031984 Trắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiTrắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiTrắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiTrắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiNgocNguyen591215 NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...lamluanvan.net Viết thuê luận văn Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...lamluanvan.net Viết thuê luận văn TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...Nguyen Thanh Tu Collection ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...Nguyen Thanh Tu Collection Bài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàBài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàBài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàBài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàNguyen Thi Trang Nhung 30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...Nguyen Thanh Tu Collection NHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptNHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptNHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptNHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptphanai C.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhC.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhC.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhC.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhBookoTime Giáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdfGiáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdfGiáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdfGiáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdf4pdx29gsr9 MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...lamluanvan.net Viết thuê luận văn Trích dẫn theo Harvard với Microsoft WordTrích dẫn theo Harvard với Microsoft WordTrích dẫn theo Harvard với Microsoft WordTrích dẫn theo Harvard với Microsoft Wordlamluanvan.net Viết thuê luận văn 60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docxasdnguyendinhdang GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...lamluanvan.net Viết thuê luận văn 20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...Nguyen Thanh Tu Collection 

Recently uploaded (20)

30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI... PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ...PHIẾU KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HÀI LÒNG VỀ CHẤT LƯỢNG DỊCH VỤ VẬN CHUYỂN HÀNG KHÁCH BẰ... Tử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnTử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnTử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận HạnTử Vi Là Gì Học Luận Giải Tử Vi Và Luận Đoán Vận Hạn ĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdfĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdfĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdfĐỀ SỐ 1 Của sở giáo dục đào tạo tỉnh NA.pdf Trắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiTrắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiTrắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hộiTrắc nghiệm CHƯƠNG 5 môn Chủ nghĩa xã hội NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n...NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động của n... Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại...Hoàn thiện hoạt động kiểm soát rủi ro tín dụng trong cho vay doanh nghiệp tại... TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ...TUYỂN TẬP ĐỀ THI GIỮA KÌ, CUỐI KÌ 2 MÔN VẬT LÍ LỚP 11 THEO HÌNH THỨC THI MỚI ... ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 11 - CÁN... Bài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàBài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàBài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhàBài học phòng cháy chữa cháy - PCCC tại tòa nhà 30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI... ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN...ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 BIÊN SOẠN THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỀ BGD 2025 MÔN TOÁN 10 - CÁN... NHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptNHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptNHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.pptNHững vấn đề chung về Thuế Tiêu thụ đặc biệt.ppt C.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhC.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhC.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnhC.pptx. Phát hiện biên ảnh trong xử lý ảnh Giáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdfGiáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdfGiáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdfGiáo trình xây dựng thực đơn. Ths Hoang Ngoc Hien.pdf MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ...MỘT SỐ GIẢI PHÁP GÓP PHẦN BẢO TỒN VÀ PHÁT HUY CA TRÙ (CỔ ĐẠM – NGHI XUÂN, HÀ ... Trích dẫn theo Harvard với Microsoft WordTrích dẫn theo Harvard với Microsoft WordTrích dẫn theo Harvard với Microsoft WordTrích dẫn theo Harvard với Microsoft Word 60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx60 CÂU HỎI ÔN TẬP LÝ LUẬN CHÍNH TRỊ NĂM 2024.docx GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC...GIỮ GÌN VÀ PHÁT HUY GIÁ TRỊ MỘT SỐ BÀI HÁT DÂN CA CÁC DÂN TỘC BẢN ĐỊA CHO HỌC... 20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ...20 ĐỀ DỰ ĐOÁN - PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BGD KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 MÔ... 

Đặt ẩn phụ giải phương trình chứa căn

  • 1. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN CHUYÊN ĐỀ ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Như các bạn đã biết trong chương trình Toán THPT thì phương trình và hệ phương trình vô tỷ luôn là một chủ đề kinh điển, bởi thế nên nó luôn xuất hiện trong các kì thi lớn như thi Đại học và các kì thi học sinh giỏi lớn nhỏ. Trong đó phương pháp dùng ẩn phụ để giải toán luôn là một công cụ mạnh và hữu ích. Hôm nay bài viết này sẽ trình bày một số phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán. Nội dung: Đặt biểu thức chứa căn bằng biểu thức mới mà ta gọi là ẩn phụ, chuyển về phương trình theo ẩn mới. Giải phương trình ẩn phụ rồi thay vào biểu thức tìm nghiệm ban đầu. Phương pháp: Gồm có các bước sau: Bước 1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ẩn phụ. Để làm tốt bước này phải có sự quan sát, nhận xét mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong phương trình rồi đưa ra biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ. Bước 2: Chuyển phương trình ban đầu về phương trình theo ẩn phụ, thường là nhưng phương trình đã biết cách giải, tìm được nghiệm cần chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm. Thành viên tham gia chuyên đề: 1-Trần Trí Quốc 11TL8 THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên 2-Hồ Đức Khánh 10CT THPT Chuyên Quảng Bình. 3-Đoàn Thế Hòa 10A7 THPT Long Khánh, Đồng Nai 4-Thầy Mai Ngọc Thi THPT Hùng Vương, Bình Phước. 5-Thầy Nguyễn Anh Tuấn THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh. Đầu tiên ta cùng giải các ví dụ cơ bản sau: Có lẽ nhiều bạn đã quen với bài tập dạng loại này nên mình chỉ muốn nhắc lại 1 tý I-Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ: Dạng 1 a b Pt có dạng ax2 + bx + c = px2 + qx + r trong đó = p q Cách giải : Đặt t = px2 + qx + r, t ≥ 0 Tôi sẽ đưa ra vài ví dụ để các bạn ôn lại vì đây là phần khá dễ Giải các phương trình sau √ 1/(ĐH Ngoại Thương-2000) (x + 5)(2 − x)√ 3 x2 + 3x = 2/(ĐH Ngoại ngữ 1998) (x + 4)(x + 1) − 3 x2 + 5x + 2 = 6 3/(ĐH Cần Thơ 1999) (x + 1)(2 − x) = 1 + 2x − 2x2 √ 4/ 4x2 + 10x + 9 = 5 √ 2 + 5x + 3 2x 2 5/ 18x − 18x + 5 = 3√ 9x2 − 9x + 2 6/ 3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x + 7 = 2 Dạng tiếp theo cũng rất quen thuộc Dạng 2 PT có dạng P (x) + Q(x) + ( P (x) ± Q(x)) ± 2 P (x).Q(x) + α = 0 ( α là số thực) Cách giải Đặt t = P (x) ± Q(x) ⇒ t2 = P (x) + Q(x) ± 2 Page 1 P (x).Q(x)
  • 2. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ Bài 1: Giải phương trình 1 + PHÚ YÊN √ √ 2√ x − x2 = x + 1 − x 3 Giải ĐK 0 ≤ x ≤ 1, Ta đặt t = √ √ √ t2 − 1 x + 1 − x thì x − x2 = , phương trình trở thành bậc 2 với ẩn 2 là t t2 − 1 = t ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1; t = 2 3 √ √ TH1 t = 2 ⇔ √x + √1 − x = 2 (VN) TH2 t = 1 ⇔ x + 1 − x = 1 ⇔ x = 0; x = 12 Giải các phương trình sau ⇔1+ √ √ √ 1/(HVKTQS-1999) 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2 √ √ √ 2/√ 2x + 3 +√ x + 1 = 3x + 2 2x2 + 5x + 3 − 16 √ 1 3/ 4x + 3 + 2x +√ = 6x + √ 8x2 + 10x + 3 − 16 √ 4/(CĐSPHN-2001) x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2x + 2 Thế là đã xong các ví dụ cơ bản rồi bây giờ ta xét đến các ví dụ mà cần sự biến đổi khéo léo một chút và có sự quan sát đánh giá mới có thể đưa về dạng cơ bản để đặt ẩn phụ được. II-Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích Xuất phát từ 1 số hằng đẳng thức cơ bản khi đặt ẩn phụ: x + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) √ √ x4 + 1 = (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 1) x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) 4x4 + 1 = (2x2 − 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) 3 Chú ý: Khi đặt ẩn phụ xong ta cố gắng đưa về những dạng cơ bản như sau u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a) = 0 x Phương trình đẳng cấp bậc hai ax2 + bxy + cy 2 = 0 ⇔ at2 + bt + c = 0 với t = y Lại lấy Bài 1 ở trên 1 lần nữa Giải √ √ 2√ Giải phương trình 1 + x − x2 = x + 1 − x 3 √ √ 2 Nhận xét: Ta thấy ( x) + ( 1 − x)2 = 1(**), mà từ phương trình đầu ta rút được một căn thức qua căn thức còn lại Giải √ √ √ √ 3 1−x−3 3t − 3 ⇔ x= √ . Do đó nếu đặt t = 1 − x ⇒ x = 2t − 3 2 1−x−3 Thay vào (**) ta biến đổi thành t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = 0 ⇔ t = 0; t = 1 hay x = 0; x = 1 là nghiệm của phương trình.2 Page 2
  • 3. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Ta xét ví dụ sau √ √ √ Bài 2: Giải phương trình 3 x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x2 + 3x + 2 Giải Ta thấy (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 √ √ Đặt u = 3 x + 1; v = 3 x + 2 PT⇔ u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 Giải tiếp ta được x = 0; x = −12 Ta xét ví dụ sau, khá giống bài ở trên nhưng khó hơn. √ √ √ Bài 3: Giải phương trình 3 x2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 1 Nhận xét: Cách làm bài này cũng khá giống nhưng phải để ý thật kĩ bên VP vì ta tách VP thành biểu thức "liên quan" đến biểu thức ẩn phụ. Giải Lời giải: Phương trình đã cho tương đương √ với √ √ 3 2 + 3x + 2( 3 x + 1 − 3 x + 2) = 0 (x + 1) − (x + 2) + x √ √ Ta đặt 3 x + 1 = a; b = − 3 x + 2, khi đó phương trình tương đương a3 + b3 − ab(a + b) = 0 ⇔ (a + b)(a −√ 2 = 0 b) √ 3 ⇔ a = ±b ⇔ x + 1 = ± 3 x + 2 3 ⇔x=− 2 3 3 Thử lại thấy x = − thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = − 2 2 2 Ví dụ tương tự √ √ √ Bài 4: Giải phương trình (x + 2)( 2x + 3 − 2 x + 1) + 2x2 + 5x + 3 − 1 = 0 Giải  x ≥ − 3 ĐK 2 ⇒ x ≥ −1 x ≥ −1 √   2x + 3 = a x + 2 = a2 − b 2 √ √ Đặt ⇒ x+1=b 2x2 + 5x + 3     a; b ≥ 0 1 = a2 − 2b2 Nên PT ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + ab = a2 − 2b2 ⇔ (a2 − b2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a2 − b2 ) = 0. Vì a + b > 0 nên ta chia 2 vế cho a + b ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) = 0 ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) = 0 √ √ • Với a = b + 1 ⇒ 2x + 3 = x + 1 + 1 (VN) √ √ 1 • Với a = 2b ⇒ 2x + 3 = 2 x + 1 ⇔ x = − (TMĐK) 2 1 Vậy phương trình có nghiệm S = − 2 Page 3
  • 4. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau √ √ √ 1/(√x + 5 − √x + 2)(1 + √x2 + 7x + 10) = 3 2/( x + 1 + √x − 2)(1 − x2 − x √ 2) = 3 − √ 2+ 1 − x = 1 + (1 − x) x 3/√x − x √ 4/ 3x2 − 18x + 25 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − 4 Bài 5: Giải phương trình √ 2+ 2+ √ x 2− √ +√ 2+ x 2− √ x √ = 2− x √ 2 Giải √ √ Thoạt nhìn ta đưa ra đánh giá rất dễ thấy 2 + x + 2 − x = 4 √ √ Nên ta đặt √ 2 + x = a; 2 − x = b Ta có ab = 4 − x; a2 + b2 = 4 Ta viết lại phương trình như sau: √ a2 b2 √ +√ = 2 2+a 2−b √ √ √ √ √ 2 2 ⇒ √ 2 − a b + b2 2 + ab2 = 2(2 − b 2 + a 2 − ab) a ⇔ √2(a2 + b2 + ab − 2) − ab(a − b) = 2(a − b) ⇔ 2(ab + 2) = (a − b)(ab√ 2). Để ý a2 + b2 = 4 + Vì ab + 2 = 0 nên a − b = 2 √ ⇔ a2 + b2 − 2ab = 2 ⇒ ab = 1 ⇒ 4 − x = 1 Nên x = 3 Vậy phương trình có nghiệm S = 32. √ √ √ Bài 6: Giải phương trình (13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x2 − 15 Nhận xét: Dễ thấy rằng (2x − 3)(5 − 2x) = 16x − 4x2 − 15, nhưng còn các nhị thức ở ngoài căn ta không thể biểu diễn hết theo 1 ẩn phụ được, ta đặt 2 ẩn phụ và cố đưa về phương trình tích. Giải 3 5 Lời giải: ĐK ≤ x ≤ 2 2 √ Đặt √ = 2x − 3 ⇒ u2 = 2x − 3; 2u2 + 3 = 4x − 3 u v = 5 − 2x ⇒ v 2 = √ − 2x; 2v 2 + 3 = 13 − 4x 5 ⇒ u2 + v 2 = 2; uv = 16x − 4x2 − 15(1) ⇒ P T ⇔ (2v 2 + 3)u + (2u2 + 3)v = 2 + 8uv = u2 + v 2 + 8uv ⇔ 2uv(u + v) + 3(u + v) = (u + v)2 + 6uv ⇔ (u + v − 3)(2uv − u − v) = 0 T H1 : u + v = 3 √ 7 ⇔ 16x − 4x2 − 15 = (VN) 2 T H2 : u + v = 2uv √ ⇔ 16x − 4x2 − 15 = 1 ⇒ x = 2 (Thỏa ĐK) Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 22 Bài 7: Giải phương trình x2 + √ x + 1 = 1 (*) Giải Page 4
  • 5. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x + 1 = t; t ≥ 0 PT(*) ⇔ (t2 − 1)2 + t = 1 ⇔ t(t − 1)(t2 + t − 1) = 0 TH1 Với t = 0 thì x = −1. TH2 Với t = 1 thì x = 0. √ √ −1 + 5 1− 5 TH3 Với t = thì x = 2 2 2 Ta tự làm khó với kiểu bài trên lên một tý nhé, nâng bậc lũy thừa, ta xét ví dụ sau Bài 8: Giải phương trình x4 + √ x2 + 3 = 3 Giải Để đơn giản√ hóa, ta đặt x2 = a, a ≥ 0 PT ⇔ a2 + a + 3 = 3, ta sẽ tách để đưa về phương trình tích như sau: √ ⇔ a2 − √ + 3) + (a + a + 3) = 0 (a √ ⇔ (a + a + 3)(a − a + 3 + 1) = 0 √ Vì a ≥ 0 ⇒√ + a + 3 > 0 (VN) a Ta có a + 1 = a + 3 ⇔ a2 + a − 2 = 0 ⇒ a = 1(a ≥ 0) nên x = ±12 √ Bài 9: Giải phương trình (x2 + 2)2 + 4(x + 1)3 + x2 + 2x + 5 = (2x − 1)2 + 2 (Đề thi chọn đội tuyển 10 THPT chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên) Nhận xét: Bài này có lũy thừa bậc cao nhất là 4, và có cả căn bậc 2 nên ta sẽ cố nhóm các biểu thức lũy thừa giống trong căn để có thể đặt ẩn phụ. Giải √ 2 ⇔ x4 + 4x2 + 4 + 4(x3 + 3x√+ 3x + 1) + x2 + 2x + 5 = 4x2 − 4x + 3 ⇔ (x2 + 2x)2 + 8(x2 + 2x) + x2 + 2x + 5 + 5 = 0 (Công đoạn nhóm lại thế này cũng rất quan trọng) √ Đặt t = x2 + 2x + 5, t ≥ 2 ⇒ t2 − 5 = x2 + 2x Ta viết lại PT đã cho tương tương với (t2 − 5)2 + 8(t2 − 5) + t + 5 = 0 ⇔ t4 − 2t2 + t − 10 = 0 ⇔ (t − 2)(t3 + 2t2 + 2t + 5) = 0 Vì t ≥ 2 nên t3 + 2t2 + 2t + 5 > 0 Ta √ t = 2 có ⇒ x2 + 2x + 5 = 2 Vậy x = −12 Bài 10: Giải phương trình √ √ x2 − 2x + 5 + x − 1 = 2 Giải Đặt:t = √ x − 1, với x ≥ 1, t ≥ 0 ⇒ t2 = x − 1 Phương trình đã cho viết lại: (x − 1)2 + 4 = 2 − √ Trở thành: t4 + 4 = 2 − t(t ≤ 2) ⇔ t4 − t2 + 4t = 0 √ x−1 Page 5
  • 6. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN Vì t ∈ [0; 2] nên t3 − t + 4 > 0 Vậy t = 0 ⇒ x = 12 √ Bài 11: Giải phương trình (4x2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0 Giải 5 Điều kiện y ≤ . 2√ Đặt a = 2x và b = 5 − 2y (b ≥ 0) ta có phương trình viết lại thành a3 + a − (b3 + b) + =0⇔a=b 2 2 √ 5 − 4y 2 5 − 4y 2 . Vậy x = là nghiệm của phương trình. Hay 2x = 5 − 2y ⇔ x = 2 2 Nhận xét. Một lời giải thật đẹp phải không ! Chắc các bạn sẽ thắc mắc rằng làm sao mà ta lại có thể đặt được ẩn phụ như trên. √ 5 − b2 − (b2 + 1) Trước tiên ta sẽ đặt 5 − 2y = b ⇒ y − 3 = −3= 2 2 √ − (b2 + 1) b ⇒ (y − 3) 5 − 2y = 2 a (a3 + 1) Bây giờ ta muốn (4x2 + 1) x = 2 ⇒ (4x2 + 1) .2x = a3 + a ⇒ 8x3 + 2x = a3 + a ⇒ a = 2x Từ đó ta có được cách đặt ẩn phụ như ở lời giải 2 Bài 12: Giải phương trình x+2 −1= 2 3 3(x − 3)2 + 3 9(x − 3) Giải Điều kiện x ≥ −2 Đặt t = 3 9 (x − 3) thì ta có x = t3 + 27 9 x+2 t3 + 45 3 t2 = ; 3(x − 3)2 = . 2 18 3 Phương trình đã cho trở thành t3 + 45 t2 −1= +t 18 3 t3 + 45 ⇔ = t2 + 3t + 3 (1) 2 2 3 3 2 Ta có t + 3t + 3 = t + + > 0 nên phương trình (1) tương đương với 2 4 t3 + 45 = (t2 + 3t + 3)2 2 ⇔ 2t4 + 11t3 + 30t2 + 36t − 27 = 0 (2t − 1)(t + 3)(t2 + 3t + 9) = 0 1 ⇔ t = ; t = −3 2 1 t3 + 27 217 • Với t = thì x = = 2 9 72 Page 6
  • 7. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN t3 + 27 • Với t = −3 thì x = =0 9 Các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và 217 x= 2. 72 √ √ Bài 13: Giải phương trình 5 3 x 5 x + 3 5 x 3 x = 8 Giải √ 5 √ 5 3 3 x6 + 3 x4 = 8 Phương trình √ cho tương đương với: 5 đã √ 15 6 + 3 15 x4 = 8 ⇔5 x √ 15 Đặt:y = x2 với y ≥ 0 ta có: 5y 3 + 3y 2 − 8 = 0 ⇔ (y − 1)(5y 2 + 8y + 8) = 0 ⇔y−1=0⇔y =1 √ 15 Do đó ta có: x2 = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:S = {−1; 1} 2. Bài 14: Giải phương trình √ 5 7 6 x4 − √ + = 0 5 x2 x Giải ĐK x = 0. Ta có phương trình đã cho tương đương với √ √ √ 7 6 5 5 5 x4 − √ + √ = 0 ⇔ x9 − 7 x3 + 6 = 0(∗) 5 5 2 5 x x √ 5 3 , y = 0, phương trình (*) trở thành: Đặt:y = x y 3 − 7y + 6 = 0 ⇔ (y − 1)(y 2 + y − 6) = 0   √ 3  5 x = 1√ y=1 √x = 1  y=2  5 x3 = 2  x=234 ⇔ ⇔ √ ⇔ √ 5 3 = −3 y = −3 x = −3 3 9 x √ √ Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1; 2 3 4; −3 3 9 2 Bài 15: Giải phương trình √ 4x − 1 + √ 4x2 − 1 = 1 Giải 4x − 1 ≥ 0 1 ⇔x≥ 2 2 4x − 1 ≥ 0 Bình phương hai vế phương trình đã cho, ta có: (4x − 1) + (4x2 − 1) + 2 (4x − 1)(4x2 − 1) = 1 ⇔ 2 (4x − 1) (4x2 − 1) = 3 − 4x2 − 4x = 4 − (2x + 1)2 Đặt y = 2x + 1 ⇒ 4x − 1 = 2y − 3, 4x2 − 1 = y 2 − 2y Phương trình trở thành 2 (2y − 3)(y − 2) = 4 − y 2 4 − y2 ≥ 0 ⇔ 4(2y − 3)(y − 2)y = (4 − y 2 )2 ĐK Page 7
  • 8. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN  −2 ≤ y ≤ 2  ⇔ y−2=0   4(2y − 3)y = (y + 2)2 (y − 2)  −2 ≤ y ≤ 2  ⇔ ⇔y=2 y=2   3 2 y − 6y + 8y − 8 = 0 Hàm số G(y) = y 3 − 6y 2 + 8y − 8 lấy giá trị âm trên toàn miền [−2; 2] 1 Do đó ta có 2x + 1 = 2 ⇔ x = 2 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 2 √ Bài 16: Giải phương trình 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0 (D-2006) Giải √ t2 + 1 2 PT ⇔ t4 − 4t2 + 4t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t2 + 2t − 1) = 0 * Với t =√ ⇒ x = 1 1 √ *Với t = 2 − 1 ⇒ x = 2 − 22 Đặt t = 2x − 1 ⇒ x = Bài 17: Giải phương trình 2x2 − 6x − 1 = √ 4x + 5 Giải √ √ 3 − 11 3 + 11 ĐK x ≤ ;x ≥ 2 2 √ t2 − 5 Đặt t = 4x + 5 ⇒ x = 4 PT⇔ t4 − 22t2 − 8t + 27 = 0 ⇔ (t2 + 2t − 7)(t2 − 2t − 11) = 0 √ √ Đối chiếu điều kiện ta tìm được nghiệm của phương trình x = 1 − 2; x = 2 + 32 √ √ Nhận xét: Đối với những bài có dạng ax + b+cx2 +dx+e = 0 thì cách giải là đặt ax + b = t, sau đó đưa về phương trình bậc 4, dùng đồng nhất thức để phân tích nhân tử. Nhưng có 1 số bài không giải được bằng cách đó, ta sẽ nhắc lại vấn đề này ở phần sau. √ √ Bài 18: Giải phương trình (x + 3 x + 2)(x + 9 x + 18) = 168x Đối với những bài mà khi phân tích thành các nhị thức hoặc tam thức ta thường nhẩm được nghiệm hữu tỷ khá đẹp, vậy còn đồi với những nghiệm vô tỷ? Ta xét bài toán sau: √ √ Bài 19: Giải phương trình (x − 2) x − 1 − 2x + 2 = 0 √ Nhận xét: Ta thấy trong căn có x − 1, nên ta sẽ cố gắng thêm bớt và tách sẽ được một phương trình theo ẩn mới Giải Page 8
  • 9. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN √ Đặt x − 1 = t, t ≥ 0 √ √ √ √ Ta biến√ phương trình như sau : [(x − 1) − 1] x − 1 − 2[(x − 1) − 2] − 2 = 0 đổi √ ⇔ t3 − 2t2 − t + 2 − 2 = 0 Phương trình này ta bấm máy không có nghiệm hữu tỷ, nhưng bạn nào tinh ý một tý sẽ thấy t = 0.4142......? √ Nhìn vào số này khá quen nhỉ, nó chính là 2 − 1 Áp dụng sơ đồ Horner, ta phân √ được như sau :(t + 1 − tích √ √ √ *TH1 Với t = 2 − 1 ⇒ x − 1 = 2 − 1 ⇒ x = 4 − 2 2 *TH2 t2 − t − Ta có t = 1+ √ √ 2)(t2 − t − 2) = 0 √ 2 = 0, và chỉ nhận t > 0 √ √ 1+4 2 1+ 1+4 2 ⇒x= 2 2 2 + 12 III- Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba. √ Bài 20: Giải phương trình 2(x2 + 2) = 5 x3 + 1 (Đề nghị Olympic 30/4/2007) Đối với bài toán này đầu tiên ta phân tích nhân tử trong căn x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1) rồi cố ý biến đổi vế trái thành tổng hoặc hiệu của hai thừa số trong căn. Giải Ta biến√ như sau 2(x2 √ 2) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) đổi + Ta đặt x2 − x + 1 = a; x + 1 = b PT ⇔ 2a2 + 2b2 = 5ab 1 a Đến đây giải ra được 2 nghiệm t = ; t = 2 với t = ( ) 2 b √ 5 ± 37 2 Vậy x = 2 Sau đây là một số bài tập tương tự Giải PT √ 1/2(x2 − 3x + 2) =√ x3 + 8 3 2 2/2x√+ 5x − 1 = 7 x3 − 1 3/10√x3 + 8 = 3(x2 − x + 6) 4/10 x3 + 1 = 3(x2 + 2) Ngoài ra các bạn vẫn có thể sáng tạo thêm các PT bằng các đẳng thức tôi đã nêu ở trên sẽ rất thú vị đấy, để có một phương trình đẹp ta phải chọn hệ số a, b, c sao cho PT at2 + bt + c = 0 có "nghiệm đẹp" là được, bạn hãy thử xem. √ √ Ví dụ bài này chằng hạn 4x2 − 2 2x + 4 = x4 + 1 Cùng thử sức với bài toán sau nhé, bài này khó hơn so với các ví dụ tôi đã nêu ở trên Bài 21: Giải phương trình √ √ √ 5x2 − 14x + 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1 (HSG Quãng Ngãi 2012) Giải ĐK x ≥ 5, chuyển vế bình phương ta có : 2x2 − 5x + 2 = 5 (x2 − x − 20)(x + 1) Đến đây lại gặp 1 vấn đề nữa đó là ta không thể tìm được hai số √ β sao cho α, √ 2 2 α(x − x − 20) + β(x + 1) = 2x − 5x + 2 nên ta không thể đặt a = x2 − x − 20; b = x + 1 như Page 9
  • 10. Trần Trí Quốc THPT NGUYỄN HUỆ PHÚ YÊN các ví dụ trên được. Nhưng lại thấy x2 − x − 20 = (x − 5)(x + 4) PT ⇔ 2x2 − 5x + 2 = (x2 − 4x − 5)(x + 4) Ta thử lại lần nữa và tìm được α, β thỏa mãn, ta biến đối lại PT như sau ⇔ 2(x2 − 4x − 5) + 3(x + 4) = 5 (x2 − 4x − 5)(x + 4) √ √ Đặt a = x2 − 4x − 5; b = x + 4 PT ⇔ 2a2 + 3b2 = 5ab 3 Từ đó ta được a = b; a = b √ 2 5 + 61 Với a = b ⇒ x = (x ≥ 5) 2 3 7 Với a = b ⇒ x = 8; x = − 2 4 √ 5 + 61 Đối chiều với điều kiện ta nhận x = 8; x = là nghiệm của phương trình.2 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: √ √ √ √ 23 ± 341 1/ x2 + x − 6 + 3 x − 1 − 3x2 − 6x + 19 = 0 ĐS: x = 2 √ √ √ √ 21 ± 161 2 + 4x − 5 + 2 + 25x + 2 = 0 ĐS: x = x − 3 − 11x 2/ 3 x 2 √ √ √ √ √ 61 + 11137 3/ 7x2 + 25x + 19 − x2 − 2x − 35 = 7 x + 2 ĐS: S = ;3 + 2 7 18 6 √ 3 Bài 22: Giải phương trình 3x2 − 2x − 2 = √ x + 3x2 + 4x + 2 30 Nhận xét:Bài này hơi khác một chút so với những bài ở trên đó là biểu thức trong căn không có dạng hằng đẳng thức, vì vậy ta xem như một phương trình hữu tỷ và nhẩm nghiệm. √ √ 1+ 7 1− 7 ;x ≥ ĐK 3x2 − 2x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 3 Để ý: x3 + 3x2 + 4x + 2 = (x + 1)3 + (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) Giải 6 Ta viết lại PT như sau 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ (x + 1)(x2 + 2x + 2) 30 √ √ Đến đây dễ rồi, ta đặt a = x2 + 2x + 2; b = x + 1 nên PT viết lại như sau 6 3a2 − 8b2 = √ ab 30 2 Đáp số : x = − 2 3 √ √ Bài 23: Giải phương trình (x2 − 6x + 11) x2 − x + 1 = 2(x2 − 4x + 7) x − 2 Giải Lời giải: ĐK x ≥ 2 √ √ Đặt x2 − x + 1 = a; x − 2 = b với a, b ≥ 0 Ta biểu diễn các biểu thức ngoài căn √ theo a và b như sau √ x2 − 6x + 11 = α( x2 − x + 1)2 + β( x − 2)2 Page 10
Download now

Từ khóa » Căn(2x^2-x+3)-căn(21x-17)=x^2