ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9

Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm phương trình bậc 2, định lý Vi-ét, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.

Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.

A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)\]: có nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thì \[S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};\] \[P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\].

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :

– Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \ge 0;P>0;S>0\]

– Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \ge 0;P>0;S0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta  phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m < 0 không xảy ra.

Kết luận: \[m\le 2\].

Cách 3: Giải phương trình (1): \[\Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m\]

Ta có: \[{{x}_{1}}=\frac{-m-(m-4)}{2}=2-m\];  \[{{x}_{2}}=\frac{-m+(m-4)}{2}=-2\]

Do \[{{x}_{2}}=-20\forall m\]

\[P=2m+3;S=-\left( m+4 \right)\]. Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là :

Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Cách 2:

Giải phương trình (1) ta được: \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\].

Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có:

\[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] (3)

- Nếu \[m\le -4\] thì (3) có vế phải âm, vế trái dương nên (3) đúng.

- Nếu \[m>-4\] thì (3) \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\].

Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m.

Ví dụ 2:

Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:

\[3{{x}^{2}}-4x+2\left( m-1 \right)=0\] (1)

Giải

Cách 1: đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào (1) ta được:

\[3{{\left( y+2 \right)}^{2}}-4\left( y+2 \right)+2\left( m-1 \right)=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] (2)

Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:

Kết luận: Với \[-1

Cách 2:

Xét phương trình (1). Giải điều kiện:

Giải (2) được \[m0\Leftrightarrow \frac{2\left( m-1 \right)}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\]

Giải (4): \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-40\Leftrightarrow m