Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Giải Bài Tập SGK Toán 11

5/5 - (6 bình chọn)

Một trong số những kiến thức liên quan đến bài thi THPT Quốc gia đó là đạo hàm. Đạo hàm chắc hẳn là một khái niệm mới lạ với các em, đây cũng là nội dung mà các em cần nắm chắc ngay từ đầu để lên lớp 12 có thể làm các dạng bài nâng cao hơn. Vậy đạo hàm là gì và cách sử dụng nó như thế nào thì cô và các em cùng nhau đến với bài học ngày hôm nay. Bài giảng: Đạo hàm được biên soạn bởi Toppy, nhớ làm bài tập phía dưới để củng cổ kiến thức ngay nhé!

Table of Contents

Toggle

• Lý thuyết cần nắm về Đạo hàm
  • Đạo hàm tại một điểm
  • 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
  • 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
  • 3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
  • 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
  • 5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
  • Đạo hàm trên một khoảng
  • Định nghĩa
• Giải bài tập SGK Đạo hàm
  • Bài 1
  • Bài 2 
  • Bài 3
  • Bài 4 
  • Bài 5
  • Bài 6 
  • Bài 7
• Lời kết

Lý thuyết cần nắm về Đạo hàm

Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là

Chú ý:

Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.

Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý:

a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0.

b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là

y – y0 = f’(x0)(x – x0)

trong đó y0 = f(x0).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời: v(t0) = s’(t0).

Cường độ tức thời: I(t0) = Q’(t0).

Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

x → f’(x)

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Giải bài tập SGK Đạo hàm

Bài 1

Tìm số gia của hàm số f(x) = x3, biết rằng:

a.x0 = 1; Δx = 1;

b.x0 = 1; Δx = -0,1;

Lời giải:

a. Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = f(1 + 1) – f(1) = f(2) – f(1) = 23 – 13 = 7

b. Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) = f(1 – 0,1) – f(1) = f(0,9) – f(1) = (0,9)3 – 13 = -0,271.

Bài 2 

Tính Δy và  của các hàm số sau theo x và Δx:

Lời giải:

Gọi Δ x là số gia của biến số x.

Bài 3

Tính ( bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

Lời giải:

Bài 4 

Chứng minh rằng hàm số:

Không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

Lời giải:

⇒ Không tồn tại đạo hàm của f(x) tại x = 0.

Bài 5

Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

a. Tại điểm (-1; -1);

b. Tại điểm có hoành độ bằng 2;

c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Lời giải:

Với mọi x0 ∈ R ta có:

a) Tiếp tuyến của y = x3 tại điểm (-1; -1) là:

y = f’(-1)(x + 1) + y(1)

= 3.(-1)2(x + 1) – 1

= 3.(x + 1) – 1

= 3x + 2.

b) x0 = 2

⇒ y0 = f(2) = 23 = 8;

⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.

Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x3 tại điểm có hoành độ bằng 2 là

y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) k = 3

⇔ f’(x0) = 3

⇔ 3x02 = 3

⇔ x02 = 1

⇔ x0 = ±1.

+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

+ Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến : y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 có hệ số góc bằng 3 là y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

Bài 6 

Viết phương trình tiếp tuyến của hypebol 

a) Tại điểm  ;

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 

Lời giải:

Ta có: Với mọi x0 ≠ 0:

 

b) Tại x0 = -1

⇒ y0 = -1

⇒ f’(x0) = -1.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong  tại điểm có hoành độ -1 là:

y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

⇒ Phương trình tiếp tuyến:

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol  có hệ số góc  bằng

Bài 7

Một vật rơi tự do theo phương trình s = 1/2 gt2, trong đó g≈9,8m/s2 là gia tốc trọng trường.

a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + Δt, trong các trường hợp Δt=0,1s; Δt=0,05s; Δt=0,001s.

b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.

Lời giải:

a) Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + Δt là:

b) Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s chính là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian (t; t + Δt) khi Δt → 0 là :

Lời kết

Bài giảng đến đây là kết thúc rồi. Các em còn băn khoăn gì về nội dung kiến thức bài học không? Hãy bình luận phía bên dưới để cô giải đáp ngay nhé! Đạo hàm là một phần kiến thức quan trọng, làm nền tảng cho tư duy logic của học sinh cũng như xuất hiện nhiều trong các kì thi quan trọng. Để nghe lại bài giảng và ôn tập thêm nhiều bài tập trắc nghiệm tư duy cao, các em có thể tìm trên trang web Toppy. 

 Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Chúc các em học tập thật tốt!