Đồng Quy Là Gì? Tập Hợp Các Cách Chứng Minh 3 đường Thẳng đồng ...

Trong Toán học, phần đại số và hình học đều có các bài toán chứng minh đồng quy. Vậy đồng quy là gì? Các cách chứng minh đồng quy ra sao? Cùng theo dõi nội dung của bài viết dưới đây để nắm rõ kiến thức về dạng toán này nhé!

Mục lục

• 1 Đồng quy là gì?
• 2 Đồng quy là gì trong Toán học? 
• 3 Các tính chất đường thẳng đồng quy trong hình học
• 4 Các bước chứng minh 3 đường thẳng đồng quy cơ bản trong Toán học
• 5 Hướng dẫn cách giải từng loại bài tập toán đồng quy
  • 5.1 1. Trong hình học mặt phẳng
  • 5.2 2. Trong đồ thị hàm số
  • 5.3 3. Trong hình học không gian
• 6 Luyện tập giải một số bài tập liên quan đến đồng quy

Đồng quy là gì?

Trước khi tìm hiểu định nghĩa về đồng quy trong Toán học, chúng ta cùng xem xét ý nghĩa của “đồng quy” theo mặt từ ngữ. Thực chất “đồng quy” là một từ Hán Việt và được sử dụng phổ biến trong cuộc sống. Cụ thể:

• “Đồng”: Nghĩa là cùng nhau, song hàng, sát nhau.
• “Quy”: Nghĩa là tụ lại, tập trung, tập hợp ở một điểm cố định nào đó.

→ Do đó, đồng quy được hiểu là cùng gặp nhau ở một vị trí cụ thể. 

Đồng quy là gì trong Toán học? 

Trong Toán học, khi xem xét ý đồng quy là gì thì người ta sẽ quy định nghĩa này về ba đường thẳng đồng quy. Theo đó, cho 3 đường thẳng a, b, c không trùng nhau. Ba đường thẳng a, b, c được gọi là đồng quy với nhau khi chúng cùng đi qua một điểm O cố định. 

Ở phần đại số, các bài toán hàm số liên quan đến đồng quy chính là cách chứng minh 3 đường thẳng bất kỳ đồng quy tại 1 điểm. Còn ở phần hình học mặt phẳng và hình học không gian, chứng minh đồng quy sẽ phức tạp hơn về tính chất các loại đường thẳng như đường cao, đường trung trực, đường phân giác,… Từ đó đòi hỏi học sinh cần nắm vững hệ thống kiến thức đồng quy. 

Các tính chất đường thẳng đồng quy trong hình học

Trong hình học, khi gặp các bài toán về chứng minh đồng quy thì người ta sẽ cố gắng đưa 3 đường thẳng đã cho về các loại đường đặc biệt nhằm áp dụng tính chất của chúng giúp bài toán giải quyết dễ dàng. Các tính chất quan trọng gồm:

• Ba đường trung tuyến của 1 tam giác sẽ đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm trong tam giác. Khi đó, nếu 2 đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm thì ta có thể suy ra được đường trung tuyến còn lại cũng đi qua điểm cố định đó. Đồng thời, trọng tâm chia đường trung tuyến thành 3 phần và chiếm ⅔ toàn độ dài. 
• Ba đường phân giác của 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Khi đó, nếu 2 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm cố định thì ta có thể suy ra đường phân giác còn lại cũng đi qua điểm đó. Đồng thời, giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh tam giác.
• Ba đường trung trực của 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó, nếu 2 đường trung trực cắt nhau tại 1 điểm thì ta có thể suy ra đường trung trực còn lại cũng đi qua điểm đó. Đồng thời, giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác. 

Các bước chứng minh 3 đường thẳng đồng quy cơ bản trong Toán học

Bài toán đưa ra: Cho 3 đường thẳng khác nhau a, b, c. Chứng minh a, b, c đồng quy tại 1 điểm cố định O.

Gợi ý: Đối với bất kỳ bài toán nào trong hình học mặt phẳng, hình học không gian và hàm số trong phần đại thì có thể áp dụng nguyên lý chung gồm các bước sau:

• Bước 1: Tìm giao điểm của 2 trong số 3 đường thẳng đã cho.
• Bước 2: Chứng minh được đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm này.

Hướng dẫn cách giải từng loại bài tập toán đồng quy

1. Trong hình học mặt phẳng

Ở các bài toán hình học phẳng, để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm thì chúng ta có thể sử dụng các cách sau đây :

Cách 1: Sử dụng hệ quả các tính chất đồng quy trong tam giác của đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực và đường cao. 

Cách 2: Sử dụng cách chứng minh phản chứng: Đưa ra giả sử 3 đường thẳng đã cho không đồng quy; sau đó chứng minh điều giả sử là sai và đưa ra khẳng định mệnh đề đối nghịch là đúng. 

Cách 3: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm trong hình học phẳng.

Cách 4: Sử dụng tính chất các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và các đoạn thẳng tỉ lệ nhau:

→ Cho tam giác ABC và 3 điểm bất kì M, N, P nằm trên AB, AC và BC. Khi đó, 3 đường thẳng AM, BN, CP đồng quy tại 1 điểm khi và chỉ khi: MBMC=NCNA=PAPB=1

Cách 5: Chứng minh được các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

2. Trong đồ thị hàm số

Đây là dạng bài toán hàm số trong phần đại số và để chứng minh ba đường thẳng bất kì đồng quy tại 1 điểm thì chúng ta sẽ vận dụng nguyên lý chung là tìm giao điểm của hai trong số ba đường thẳng đó. Sau đó, tiến hành chứng minh đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm này. 

Ví dụ: Trong mặt phẳng (Oxy), cho 3 phương trình đường thẳng: 

(a) x-y+6=0, (b) 3x-y+7=0, (c) (m-2)x+y-1=0

Tìm m để 3 đường thẳng a, b, c đồng quy tại 1 điểm.

Cách giải

Tìm giao điểm (O) giữa 2 đường thẳng a và b. Tọa độ của O sẽ là nghiệm của hệ phương trình: x-y+6=0 và 3x-y+7=0

→ O ( -12 ,112)

Để 3 đường thẳng đồng quy thì O( -12 ,112) ∊ (c) 

→ (m-2).(-12)+112-1=0⇔m=11

3. Trong hình học không gian

Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c. Chứng minh ba đường thẳng này đồng quy tại 1 điểm cố định với 2 cách sau đây:

Cách 1: Áp dụng nguyên lý cơ bản

• Tìm I=a∩b
• Tìm hai mặt phẳng (P),(Q) chứa ( I ) thỏa mãn c = (P) ∩ (Q). Khi đó hiển nhiên I ∊ c

Cách 2: Áp dụng định lý, nếu 3 mặt phẳng chứa 3 đường thẳng a, b, c đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó sẽ song song hoặc đồng quy. Vì vậy, khi áp dụng vào bài toán thì ta chỉ cần chứng minh 3 đường thẳng a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau đôi một là được.

Luyện tập giải một số bài tập liên quan đến đồng quy

Bài 1: Cho tam giác ABC, ở mỗi đỉnh tam giác qua A, B, C tiến hành kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng cắt nhau lần lượt tại F, D, E. Chứng minh rằng, ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm duy nhất.

Gợi ý 

Căn cứ vào đề bài, ta có: AE // BC và AB // CE

⇒  ABCE là hình bình hành → AE = BC

Chứng minh tương tự, ta có ACBF là hình bình hành

→  AF = BC và AE = AF

Do đó, A sẽ là trung điểm của EF

Tương tự, B sẽ là trung điểm của DF và là trung điểm của DE

Kết luận: A, B, C lần lượt là trung điểm của 3 cạnh tam giác DEF nên AD, BE, CF sẽ đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.

Bài 2: Tìm m sao cho 3 đường thẳng d1, d2 và d3 đồng quy tại 1 điểm duy nhất.

(d1): y = 2x + 1; (d2): y = (-x) – 2; (d3): y = (m-1)x – 4

Gợi ý

Gọi O là giao điểm của 2 đường thẳng d1, d2

Ta có, phương trình hoành độ là giao điểm của d1 và d2: 

y = 2x + 1 = (-x) – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1

⇒ y = 2 x (-1) + 1 = -1

→  O (-1, -1) là giao điểm của d1 và d2.

Khi đó, để 3 đường thẳng đồng quy thì điểm I phải thuộc d3

⇒ -1 = (m – 1) x (-1) – 4 ⇔ m = -2

Như vậy, ta có phương trình đường thẳng d3 là: y = -3x – 4

Nội dung bài viết trên chúng tôi chia sẻ đến bạn đọc đồng quy là gì, tính chất đồng quy trong toán học. Với các cách chứng minh được tổng hợp thì hy vọng đã giúp bạn biết giải được các bài tập liên quan đến đồng quy nhanh chóng và dễ dàng nhất.